人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.2 等差数列的前n项和教学设计

等差数列的前n项和

【教学目标】

1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。

2．了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题。

【教学重难点】

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点：灵活应用求和公式解决问题。

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学用具】

多媒体、实物投影仪

【内容分析】

本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的。

【教学过程】

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等差数列的前项和公式1：

2．等差数列的前项和公式2：

3．，当d≠0，是一个常数项为零的二次式。

4．对等差数列前项和的最值问题有两种方法：

利用：

当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值

当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值

利用：由二次函数配方法求得最值时n的值

二、例题讲解  

例1.求集合M={m|m=2n－1，n∈N*，且m＜60}的元素个数及这些元素的和。

解：由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*

∴满足不等式n＜的正整数一共有30个。

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1， =59，n=30的等差数列。

∵=，∴==900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2．在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2，m＜100，m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2，m＜100，n∈N*}

由3n+2＜100，得n＜32，且m∈N*，

∴n可取0，1，2，3，…，32．

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2．

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98．

它们可组成一个以=2，d=3， =98，n=33的等差数列。

由=，得==1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650。

例3已知数列是等差数列，是其前n项和，

求证：（1），-，-成等差数列；

（2）设 （）成等差数列

证明：设首项是，公差为d

则

∵

∵∴

是以36d为公差的等差数列

同理可得是以d为公差的等差数列。

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解。

解：根据题意，得=24， －=27

则设等差数列首项为，公差为d，

则

解之得：     ∴=3+2（n－1）=2n+1．

2．两个数列1， ， ， ……，， 5和1， ， ， ……，， 5均成等差数列公差分别是， ， 求与的值

  解：5＝1＋8， ＝， 又5＝1＋7， ＝， ∴＝；

        ++……+＝7＝7×＝21，

++ ……+＝3×（1＋5）＝18，

      ∴  ＝。

3．在等差数列{}中， ＝－15， 公差d＝3， 求数列{}的前n项和的最小值

  解法1：∵＝＋3d， ∴ －15＝＋9， ＝－24，

∴ ＝－24n＋＝[（n－）－]，

     ∴ 当|n－|最小时，最小，

即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小。

  解法2：由已知解得＝－24， d＝3， ＝－24＋3（n－1），

由≤0得n≤9且＝0，

∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小。

四、小结 

本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角为100°，求边数n。

  解：由（n－2）·180＝100n＋×10，

求得n－17n＋72＝0，   n＝8或n＝9，

当n＝9时， 最大内角100＋（9－1）×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8．

2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足

（n∈N， m∈R）， 求数列{}的前n项和。

解：由题设知

＝lg（）＝lgm＋nlg3＋lg2，

 即 ＝[]n＋（lg3＋）n＋lgm，

 ∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

∴≠0且lgm＝0， ∴ m＝－1，

 ∴ ＝（－lg2）n＋（lg3－lg2）n，

 则 当n=1时，＝

当n≥2时，＝－＝（－lg2）（2n－1）＋（lg3－lg2）

＝

∴＝

 d==

=

     =

数列{}是以=为首项，5d=为公差的等差数列，    ∴数列{}的前n项和为

n·（）＋n（n－1）·（）＝

 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差D．

  解：设这个数列的首项为， 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得， 解得d＝5．

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得，求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d， ∴ d＝5．

 4．两个等差数列，它们的前n项和之比为， 求这两个数列的第九项的比

  解：。

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和

 解：在等差数列中，

， －， －， ……， －， －， 成等差数列，

  ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10＋·D＝＝10， 解得D＝－22

   ∴ －＝＋10×D＝－120， ∴ ＝－110.

6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，（1） 求公差d的取值范围；

（2） 指出， ， ， ……， 中哪一个最大，说明理由

  解：（1） ，

∵ ＝＋2d＝12， 代入得   ， ∴ －<d<－3，

（2） ＝13<0， ∴ <0， 由＝6（＋）>0， ∴ ＋>0，

∴>0，    最大。

【板书设计】

【教学反思】