2021—2022学年度天津各区第二学期高三年级总复习试卷及参考答案

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河西区2021—2022学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. （1）A（2）B（3）D（4）C（5）D（6）C（7）A（8）C（9）D    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（10）（11）（12）（13）   （14） （15）   三、解答题：本大题共5小题，共75分. （16）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，             …………5分所以.             …………7分（Ⅱ）解：依题意，令，，解得，所以的单调递增区间为，.设，，易知，  …………10分所以当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减.           …………14分（17）（本小题满分15分）如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…………1分（Ⅰ）证明：设平面的法向量n，，，，，，，，，由，即，取，得n，，，          …………3分又，，，因为n，所以n，所以∥平面.           …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知n，，，，，，n，所以∥n，所以平面.           …………10分（Ⅲ）解：设点的坐标为，，，       …………11分，，，设直线与平面所成角为，则，解得，              …………14分所以点的坐标为，，，，，，，所以的长为．            …………15分（18）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为（），所以（），两式相减，整理得：（），当时，，，是以为首项，为公比的等比数列，.            …………3分设等差数列的公差为，因为，是和的等比中项，所以，即，解得或，因为公差不为，所以，故.          …………6分（Ⅱ）解：，    …………8分所以.     …………10分（Ⅲ）解：因为 （），，所以  …………12分.      …………15分（19）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：设椭圆方程为（），由题意，得．因为，所以．又是椭圆上的一个点，所以，解得或（舍去），所以椭圆的标准方程为．        …………5分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为，，则，且．因为为线段中点，所以．又，所以直线的方程为．因为，  令，得．又，为线段的中点，有．所以．因此，．所以．             …………10分 （ⅱ）解：由（ⅰ）知，．因为 ，所以在△中，，因此，从而有，解得.   …………15分（20）（本小题满分16分）（Ⅰ）解：因为，所以，，，，所以，故函数在上单调递减，函数的最大值为；函数的最小值为；所以函数的值域为.                                                                        …………5分（Ⅱ）解：原不等式可化为，因为恒成立，故可化为.令，，,当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；当时，令，得，所以当时，函数；当时，函数.所以当，即时，函数成立；当，即时，函数在上单调递减，，解得，综上，.           …………10分（Ⅲ）证明： 令，则.令，则，所以在上单调递增，由，，故存在，使得，即.所以当时，；当时，.故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，因为，所以，故，即.     …………16分