北师大版七年级下册期末专题02 相交线与平行线（原卷+解析）

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专题02  相交线与平行线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（    ）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【解析】解： 一个角的余角是60°， 这个角是 这个角的补角是 故选：本题考查的是余角与补角的含义，掌握利用余角与补角的含义是解题的关键．2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70°，则∠DOE的度数是（    ）A．70° B．35° C．120° D．145°【答案】D【解析】解：∵∠BOD＝70°，∴∠AOC＝∠BOD＝70°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝×70°＝35°，∠DOE＝∠COD-∠COE＝145°故选：D．3．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】A【解析】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；②若则，故说法正确；③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误故正确的有：①② 故选：A4．如图，中，是的平分线，，则图中能用字母表示的相等的角的对数有（   ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【解析】解：∵，∴，，，，∵是的平分线，∴，∴，能用字母表示的相等的角的对数有6对．，，，，，．故选：．5．下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，正确；④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．故选：A6．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝(   )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1【答案】D【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1，∵CD∥EF，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故选D．7．如图所示，，，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：，，，，，，，故选：．8．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是(   )           A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C. 二、填空题9．直线、交于，，，则_______．【答案】150或30【解析】∵∠AOC：∠BOC=2：1，且∠AOC+∠BOC=180，∴∠BOC=60，∴∠AOD=60，如图，当OE、OC在直线AB同侧时：∴∠EOD=90+60=150如图，当OE、OC在直线AB异侧时：∠EOD=90-60=30．故答案为：150或30．10．如图，如果添加一个条件使得AD平行于BC ,那么这个条件可以是_______.【答案】∠1=∠4【解析】∵∠1=∠4，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故添加条件为∠1=∠4.11．如图，一辆汽车在公路上由西向东行驶，经两次拐弯后驶上公路，驾驶员发现在公路和公路上行驶的方向都是正东方向，如果汽车第一次拐弯转过的角度，则第二次弯转过的角度________．【答案】44°【解析】解：∵经两次拐弯后在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，∴AB∥CD，∴α=β，∵α=44°，∴β=44°．∴第二次拐弯转过的角度β是44°，故答案为：44°．12．如图，，则___________．【答案】35°【解析】解：过P作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠APE=55°，∵∠APC=90°，∴∠CPE=90°-55°=35°，∵EF∥CD，∴∠CPE=∠2=35°，故答案为：35°．13．如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．【答案】或【解析】解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．故答案为：30°或110°．14．如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．【答案】．【解析】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y∵PH∥ME，∴∠EPH＝x，∵EM∥FN，∴PH∥FN，∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，同理，，∵∠EPN＝∠EIF，∴＝x+2y，∴，∴，故答案为：． 三、解答题15．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）在射线的上方，作；（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）＝【解析】（1）如图所示：作法：①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可（2）如图所示：作法：①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角　   　，∠COE的补角是　   　；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°【解析】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，∵∠AOC＝60°，∴x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝120°，∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．17．完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥　   　（　   　）．∵∠3+∠4＝180°，∴　   　∥　   　．∴AB∥EF（　   　）．【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行【解析】证明：如图所示：∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∵∠3+∠4＝180°（已知），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．18．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CEGF，∴∠C＝∠DGF，又∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠EFG，∴；（2）解：∵∠CED＝∠GHD，∠GHD＝∠EHF＝80°，∴∠CED＝80°，在CDE中，∠CED＝80°，∠D＝30°，∴∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠C＝70°，答：∠BEM的度数为70°．19．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．（1）求证：EF∥MN；（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA=60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．【答案】（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【解析】解：（1）∵AB⊥AK∴∠BAC=90°∴∠MAB+∠KAN=90°∵∠MAB+∠KCF=90°∴∠KAN=∠KCF∴EF∥MN （2）设∠KAN=∠KCF=α，则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α∠KCB=180°－∠KCF=180°－α     ∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α过点G作GH∥EF∴∠HGC=∠FCG=90°＋α又∵MN∥EF∴MN∥GH∴∠HGA=∠GAN=45°＋α∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45° （3）①当CP交射线AQ于点T∵∴又∵∴由（1）可得：EF∥MN ∴∵∴∵，∴∴即∠FCP+2∠ACP=180°②当CP交射线AQ的反向延长线于点T，延长BA交CP于点G，由EF∥MN得∴又∵，，∴∵，∴∴∴由①可得∴∴20．已知点O为直线上一点，，射线平分．（1）如图①所示，若，则_________．（2）若将绕点O旋转至图②的位置，试判断和的数量关系，并说明理由．（3）若将绕点O旋转至图③的位置，和的数量关系是否发生变化？只需写出结论，不需说明理由．（4）若将绕点O旋转至图④的位置，继续探究和的数量关系，请直接写出和之间的数量关系：__________．【答案】（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE，利用见解析；（3）∠BOD=2∠COE；（4）∠BOD+2∠COE=360°．【解析】解：（1）∠EOD=∠COD-∠COE=90°-20°=70°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-140°=40°．故答案为：40°；（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：∵∠COD=90°，∴∠DOE=90°-∠COE，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE，∵A、O、B在同一直线上，∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-90°-（90°-2∠COE）=2∠COE，即：∠BOD=2∠COE；（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD，∵∠BOD+∠AOD=180°，∴∠BOD+2∠EOD=180°．∵∠COD=90°，∴∠COE+∠EOD=90°，∴2∠COE+2∠EOD=180°，∴∠BOD=2∠COE；（4）∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COE-90°，又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-2∠COE+180°=360°-2∠COE，即：∠BOD+2∠COE=360°．故答案为：∠BOD+2∠COE=360°．