第六章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷-2021-2022学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（北师大版）

这是一份第六章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷-2021-2022学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（北师大版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第六章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷
一、单选题
1．下列性质，平行四边形具有而一般四边形不具有的是（　　）
A．对角相等 B．内角和360° C．外角和360° D．不确定性
2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
3．如图，正六边形IMNPGH的顶点分别在正六边形ABCDEF的边上．若，则∠BIM等于（       ）

A． B． C． D．
4．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（       ）

A． B．
C． D．
5．如图，的对角线、相交于点O，点E是的中点，的周长为，则的周长是（       ）

A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
6．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若，，则△ABC的周长为（       ）

A．17 B．18 C．19 D．20
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（　　）

A．a B．a C．a D．a
9．在五边形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之比为3：5：3：4：3，则∠D的外角等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°





10．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）

A．8 B．9
C．12 D．15
11．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（       ）


A． B． C． D．




二、填空题
13．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则∠BOC的度数为____°．

14．如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使，需添加一个条件_____________．（填一个符合要求的答案即可）

15．如图，点D是的边BC上的点，点F是AB的中点，且AC＝DC，，垂足为E．若EF＝3，则BD＝________．

16．如图，在平行四边形中，平分，交边于点E，，则的长等于____________．


17．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________．


三、解答题
18．如图，矩形ABCD，EF分别为BCAD上的点，满足AF=CE，分别连接AE，CF．

(1)试说明四边形AECF是平行四边形．
(2)若AB=6，BC=11，AE=10，求四边形AECF的面积．


19．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．

(1)求证：；
(2)若，，，连接DE，求DE的长．


20．如图，点E，F是对角线上的两点，且．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若．
①线段长为____________；
②四边形的面积为_______．
21．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

(1)请回答：BC+DE的值为　　；
(2)参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD.



22．已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：


(1)在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．


23．如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．


(1)求点A的坐标；
(2)取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD＝8．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值______．

参考答案：
1．A
【详解】
A.对角相等一般四边形不具有，平行四边形才具有，故A正确；
B.任意四边形的内角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，故B错误
C.任意四边形的外角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，故C错误；
D.任意四边形都具有不确定性，不仅仅是平行四边形具有，故D错误．
故选：A．
2． D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AD=BC=3+1=4，
故点D的坐标为（1+4，2），即（5，2）
故选：D．
3．B
解：根据题意得：IM=IH=HG，∠MIH=∠IHG=∠B=∠A=∠F= ，
∴∠BMI+∠BIM=∠AIH+∠AHI=∠FHG+∠FGH=60°，∠AIH+∠BIM=∠FHG+∠AHI=60°，
∴∠BMI=∠AIH=∠FHG，
同理∠BIM=∠FGH，
∴△IBM≌△GFH，
∴∠BMI=∠FHG=28°，
∴∠BIM=180°-∠BMI-∠B=32°．
故选：B
4．B
【详解】
解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
5．B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可得，，，再结合点E是的中点，证得是的中位线，最后利用的周长为，代换后即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是cm，
故选：B
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定证得△ABN≌△EBN，从而得到BA＝BE，AN＝NE，同理证得CA＝CD，AM＝MD，再由中位线的性质得到DE的长，然后由线段之间的关系即可得到结果．
【详解】
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBN，
∵BN⊥AE，
∴∠ANB＝∠ENB＝90°，
在△ABN和△EBN中，，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴BA＝BE，AN＝NE，
同理可得：CA＝CD，AM＝MD，
∵AN＝NE，AM＝MD，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，熟练运用各性质及判定定理进行推理是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．
【详解】
解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．
【详解】
解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长．
∵以各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长，
…，
∴的周长
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
设∠A＝3x°，根据四边形内角和为360°即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x的值，将其代入∠D中，再结合内外角之和为180°即可得出结论．
【详解】
解：设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，
∴（3x°+5x°+3x°+4x°+3x°）＝540°，
解得：x＝30．
∴∠D＝4×30°＝120°．
∵180°﹣120°＝60°，
∴∠D的外角等于60°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过解方程找出∠D＝60°．
10．A
【解析】
【分析】
过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【详解】
解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，


由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，根据等边三角形的性质作辅助线构造平行四边形是解题的关键．
11．B
【解析】
【分析】
证明四边形BGFE是平行四边形可判断①， BO＝BC，结合点E是OC的中点，可得BE⊥AC，再利用四边形BGFE是平行四边形可判断②，证明∠BOC＝∠BCO，结合∠BOC＝∠ACD+∠BDC，可判断③，由BE⊥AC，可得∠BOE＜90°，可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，，AB＝2BG，
∴BG＝EF，，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，故①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，故②正确；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，故③错误；
∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，故④错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键.
12．B
【解析】
【分析】
取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，构建计算即可．
【详解】
如图，取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，

∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵， ，
∴ ， ，
∵，
∴，，
∴ ，，
∴



故选：B
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称图形，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确添加辅助线构建三角形解决问题．
13．110
【解析】
【分析】
在四边形AFOE中，利用四边形的内角和与直角先求出∠EOF，再求出∠BOC．
【详解】
解：∵BE、CF是△ABC的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°．
∵AFOE是四边形，
∴∠AFC+∠AEB+∠BAC+∠FOE=360°．
∴∠FOE=360°-（∠AFC+∠AEB+∠BAC）
=360°-（90°+90°+70°）
=110°．
故答案为：110．
【点睛】
本题主要考查了四边形形内角和，掌握四边形的内角和是360°是解决本题的关键．
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
可以添加条件使四边形FBED为平行四边形，进而得到．
【详解】
解：可以添加的条件为：．
理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
又∵添加的条件为，
∴，
∴四边形FBED为平行四边形，
∴．
∴可以添加的条件为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定定理．
15．6
【解析】
【分析】
根据等腰三角形“三线合一”的性质可知点E为AD中点，即可得出EF为中位线，从而可求出．
【详解】
∵AC＝DC，，
∴点E为AD中点．
∵点F是AB的中点，
∴EF为中位线，
∴．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线的性质．根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出点E为AD中点，即得出EF为中位线是解题关键．
16．2
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD∥BC，且AD=BC=5，求出DE=2，结合角平分线的性质可求得DE=CD=2，则可得AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，AB=CD，
∴DE=AD-DE=5-3=2，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=2，
∴AB=2；
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定，利用平行线的性质及等腰三角形的判定求得DE=CD是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10），结合运动轨迹及运动图象得出AB=6，BD=6，AD=AP=10，然后利用等腰三角的性质得出AE=DE=5，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积．
【详解】
解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E，

在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10），

当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段，
∴AB=x=6，
当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN，
∴AB+BD=x=12，
∴BD=6，
当点P到点D时，对应于图中的点N，
∴AD=AP=y=10，
在∆ABD中，
AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD，
∴AE=DE=5，
在Rt∆ABE中，
，
∴平行四边形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键．
18．(1)证明见详解
(2)9
【解析】
【分析】
（1）由题意直接依据对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析求证即可；
（2）根据题意先利用勾股定理求出BE进而得出CE，即可利用求出四边形AECF的面积．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴,
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是矩形, AB=6，AE=10，
∴,
∴,
∴四边形AECF的面积为.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定以及勾股定理的运用和矩形的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)12
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB＝CF，进而得出CF＝CD；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE＝EF，证出DA＝DF，利用等腰三角形的性质求出即可，然后勾股定理求解即可．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD；
(2)
由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在中，，
∴
【点睛】
此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．
20．(1)证明见解析
(2)①2；②．
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形性质证明，进而可得， ，由一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可得出结论．
（2）①由勾股定理可求，根据即可计算出EF长；②由，可得，求出，由四边形的面积为的两倍即可解题．
(1)
证明：∵，
∴，即，
∵在中，，，
∴，
在和中


∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质和勾股定理的应用，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)
(2)过程见详解
【解析】
【分析】
（1）由，，可得四边形DEFC是平行四边形，据此得DE=CF，DC=EF，继而得到，根据CD⊥BE得EF⊥BE，则有，得解；
（2）过D点作，交BC的延长线于F点，在平行四边形ABCD中，有，，则有四边形AEFD是平行四边形，继而得到AD=EF=10，AE=DF=9，根据AD=BC=10，E点是BC中点，得BC=EF，，则在中，有，则是直角三角形，得到，即可得BD⊥DF，即推出AE⊥BD．
(1)
按小明作的辅助线进行解答，
∵，，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE=CF，DC=EF，
又∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴在中，有，
已知CD=3，BE=5，
则有，
又∵，
∴．
(2)

过D点作，交BC的延长线于F点，
又∵在平行四边形ABCD中，有，，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF=10，AE=DF=9，
又∵AD=BC=10，E点是BC中点，
∴BC=EF，
∴CF=BE=EC，
∴
∴在中，BD =12，
有，
则是直角三角形，且，
∴BD⊥DF，
即AE⊥BD．
【点睛】
本题考察了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，按上一问的提示准确作出辅助线构建平行四边形是解答本题的关键．
22．(1)；理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解．
(1)
解：在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
(2)
解：如图3，


连接 ，则，
根据“8字形”数量关系，，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
23．(1)点A的坐标为
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质：被开方数一定大于等于0，去列出不等式组并求解，即可求出点A的坐标；
（2）利用对称的性质、等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可得出NC和AP垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形性质即可得出求证；
（3）利用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出和的长，再利用三角形三边关系得出当P、Q、E三点共线时PE的长度最大，进而求出答案．
(1)
解：由二次根式的性质，
可得：m－10≥0且20－2m≥1，
解得m＝10，
当m＝10时，
，
解得n＝6，
故点A的坐标为，
(2)
如图，连接NC，


∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，
∴MO⊥NC，
∴CM＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC，
又M为AC中点，
∴AM＝CM，
∴AM＝MN，
∴∠MAN＝∠MNA，
又在△ACN中，
∠ACN＋∠CAN＋∠ANC＝∠ACN＋∠CAN＋∠ANM＋∠MNC＝180°，
即2∠MNC＋2∠ANM＝180°，
∴∠ANC＝∠MNC＋∠ANM＝90°，
即NC⊥AP，
∴MO∥AP
又AM∥OP，
∴四边形MOPA为平行四边形，
∴，
∴点P为OB的中点；
(3)
如图，连接OD，取OD的中点Q，
连接EQ、PQ．


由（2）知，点P坐标为
∵CD＝8，OC＝6，
∴，
∴点Q的坐标为，
则，
又∵∠OED＝90°，
∴，
三角形两边之和大于第三边，
即，
∴当P、Q、E三点共线时，
，
此时PE的长度最大，
则PE的最大值．