北师大版八年级下册期末专题05 分式与分式方程（原卷+解析）

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一、单选题
1．分式的值是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：x﹣3＝0且x+1≠0，解得：x＝3，故选：A．
2．下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、，符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项A不符合题意；
B、，符号改变了两处，改变了分子与分母的符号，分式的值不变，正确，故选项B不符合题意；
C、，符号改变了一处，改变了分母的符号，分式的值发生改变，不正确，故选项C符合题意；
D、， 符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项D不符合题意；故选：C．
3．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在B．6C．12D．6或12
【答案】D
【解析】解：，去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
4．已知，则的值为（ ）
A．﹣3B．3C．D．
【答案】B
【解析】解：∵，∴x＝2y，∴．故选：B．
5．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：=
==故选：D．
6．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．4B．5C．11D．12
【答案】A
【解析】解得
由题意可知不等式解集为即a<7
∵，，，
解得
又的解为非负整数
故选：A．
7．为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，可列方程为 ，
故选：D．
二、填空题
8．使有意义的的取值范围是________．
【答案】且
【解析】解：∵要求，∴，
∵被开方数，∴，
∵分母有，∴，
使有意义的的取值范围是且．
故答案为：且．
9．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是__．
【答案】﹣
【解析】解：原式＝==．
故答案为：﹣．
10．若，则分式______﹒
【答案】
【解析】解：两边都乘，得：①
②
将①代入②得：
故答案为：﹒
11．已知整数a满足，则分式的值为________．
【答案】
【解析】
==，
由题意且，
所以且且，
又∵整数a满足，∴，
当时，原式=，故答案为：．
12．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
【答案】0
【解析】解：
＝＝
＝，
∵＝，且A、B为常数，
∴，∴，解得：，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案为：0．
13．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【解析】解：，解得：或；
，解得：或；
，解得：或；
得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，
根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5，故答案为：x=n+4或x=n+5
14．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则：
（1）=____，
（2）当时．求x=____．
【答案】
【解析】解：（1）根据题意得：=；
（2）由可得，
方程两边同乘以3（x+1）得：3（x+1）=1，解得：x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
故答案为：（1），（2）．
15．如图，小明和小强分别从A、B两地同时出发相向而行，小明在过了A、B两地的中点C的100米处与小强相遇，相遇后两人继续朝着原来的方向向前进，小明走到B后立即原路返回，又在过了中点C的300米处追上小强．已知小明和小强在行走过程中均保持匀速行走，则A、B两地的距离是__米．
【答案】600
【解析】解：设两地距离为2x米，
依题意，得：＝，
整理，得：2x﹣200＝400，解得：x＝300，
经检验得x＝300是原分式方程的解．
故答案为：600．
三、解答题
16．（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵，∴，
∴=；
（2）∵，∴，∴，
∴====．
17．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
【答案】，-2．
【解析】解：=xxx+1-1⋅x+12x+1x-1=1x+1-x+1x+1⋅x+12x+1x-1，
由2x≤3x+12x-1<4得，，
是不等式组2x≤3x+12x-1<4的整数解，，
，当时，原式．
18．已知，关于x的分式方程．
（1）当时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
【答案】（1）；（2）或．
【解析】解：（1）把代入分式方程中，得
方程两边同时乘以，得
解得，
检验：把代入，所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）把代入分式方程得，
方程两边同时乘以，
①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即不存在；
时，分式方程无解，即．
综上所述，或时，分式方程无解．
19．春节前夕，某超市用元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种箱装饮料.已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多元，且数量是第一批箱数的倍.
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】（1）第一批箱装饮料每箱的进价是200元；（2）至少标价元.
【解析】解：（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，依题意列方程得
解得：经检验，是所列方程的解，
答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元.
（2）设每箱饮料的标价是y元，依题意得
解得：
答：至少标价元.
20．某地产公司为了吸引年轻人购房，持推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．
户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．
【答案】（1）M＜N；（2）户型二的单价较低．理由见解析．
【解析】解：（1）∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，
N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，
∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，
∵9b＞0，∴﹣2b2＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
（2）户型一的单价为：万元，
户型二的单价为：万元，
∴
∵0＜9b＜a，∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，∴＞0，
∴户型二的单价较低．