北师大版八年级下册期末专题06 平行四边形（原卷+解析）

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一、单选题
1．如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于（ ）
A．110°B．35°C．80°D．55°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝100°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．18
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是18cm，
∴AB+AD=9cm，
∵OE⊥BD，OB=OD,∴BE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=9cm．
故选：B．
3．以下条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边相等，一组对角相等D．一组对边平行，一组邻角互补
【答案】B
【解析】A.一组对边平行，另一组对边相等，可能是梯形，故不符合题意；
B. 一组对边平行，一组对角相等，可以判定是平行四边形，故满足题意；
C.一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形，故不符合题意；
D.一组对边平行，一组邻角互补，也不能判定，故不符合题意；
故答案选：B．
4．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
A．AC⊥DFB．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BED．÷S四边形BCDE＝
【答案】C
【解析】解：，，，，
是等边三角形，，，
，
为的中点，，，，
四边形为平行四边形，B选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，又，
，A选项正确，不符合题意；
∵等边三角形ACD和ABE，
， ，
，C选项错误，符合题意；
设，则，
，，，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
5．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
A．11B．17C．18D．16
【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴，
∵点E为AC的中点，∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，故选：B．
6．如图，平行四边形的周长为20，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】C
【解析】解：的周长为20，
∴2(BC+CD)=20，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
∴OD=OB=12BD=3．
点是的中点，是的中位线，，
，的周长，
即的周长为8．故选：．
7．如图，在平行四边形中，平分，交于点且，延长与的延长线相交于点，连接、.下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤；其中正确的有( )
A．个B．个
C．个D．个
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，
∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，∴S△ABE=S△CEF；⑤正确．
若AD与BF相等，则BF=BC，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S△BEF=S△ACD；则S△BEF=S△ABC，
则AB=BF，∴BF=BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；正确的有①②⑤．故选：B．
二、填空题
8．如图，在平行四边形中，的平分线交边于，平形四边形的周长是，，则＝______．
【答案】3
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
平行四边形的周长是16，
，
是的平分线，，
，，
，，，故答案为：3．
9．如图，直角坐标系中，原点O是的对称中心，点A在x正半轴上，点B在第一象限，边交y轴于点E，，则点D的坐标为________．
【答案】
【解析】解：设AD与y轴交于点F，连接BD，过点D作DH⊥y轴于H，
∵平行四边形ABCD关于原点O中心对称，
∴，，∴，
在和中，，∴≌（ASA），
∴，，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴，∴，
∴，∴点D的坐标为：，
故答案为：．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为_____；平行四边形ABCD的面积为_____．
【答案】 28
【解析】解：，，
在中，，，，
在平行四边形中，，
，，，
在中，，
．
故答案为，28．
11．如图，平行四边形中，、相交于点，若，则的周长为________．
【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＋BD＝16，∴OB＋OC＝8，
∴△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋8＝14．故答案是：14．
12．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________
【答案】
【解析】解：连接DE，
∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=BC=4，
∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，CE= BC=2，
∴DE∥AC，DE= AC=2，
∵EF⊥AC，∴∠EFC=∠DEF=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°﹣∠C=30°，CE=2，
∴CF= CE=1，EF= ，
∵G为EF的中点，∴EG= EF= ，
在Rt△DEG中，由勾股定理得DG=，
故答案为：．
13．如图，已知，点在边上，，过点作于点，以为一边在内作等腰直角三角形，点是围成的区域（不包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点，设，则取值范围是______．
【答案】．
【解析】解：过点P做交于点H，
∵，∴ ，
∵，∴ ，∴ ，
∵，，∴四边形ODPE是平行四边形，
∴，∴，
∴，
∵点P是围成的区域（先考虑包括各边）内的一点，
结合图形，当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；
当点P在AC上时， ，
∵，，∴，
∴最小值；
当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G，
∴ ，
∵，，，
∴ , ， ，
∵等腰直角三角形ABC，
∴ ，∴，
∴ ，
∴ ，∴GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，
∴ ，
又∵，即 ，
∴是的中位线，，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵，∴ ，∴ ，
∴，
∴最大值，
点是围成的区域（不包括各边）内的一点，
∴．故答案为：．
14．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
【答案】4.8s或8s或9.6s
【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C-B，方程为12-4t=12-t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C-B-C，方程为4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C-B-C-B，方程为12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C-B-C-B-C，方程为4t-36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝_ ，CD＝_ ．
【答案】（1）作图见解析；（2）3，5 .
【解析】（1）如图．
（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，
∵AC=6，∴DE=3，
∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD=5，故答案为3，5．
16．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）AC=
【解析】解：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点,
∴DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，
即DF∥BC，
∵CF//AB，∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）∵AB＝BC，E是AC的中点∴BE⊥AC，
∵点D是边AB的中点，∴AB=2BD=4，
在Rt△ABE中，，
∴AC=2AE= .
17．如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．
（1）五边形ABCDE的内角和为 度；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）540；（2）65°
【解析】解：（1）五边形ABCDE的内角和为，
（2）∵在五边形ABCDE中，，
，，
∴，
∵AP平分，BP平分，
∴，，
∴，
∴．
18．如图，在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的长．
【答案】（1）答案见详解；（2）CD=3．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ADBC，
∵BE=DF，∴AD-AF=BC-BF，即AF=EC，
又AFCF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AE=CF；
（2）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴BA=BE=3，∴CD=BA=3．
19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（0，4），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．
（1）当BD与AC的距离等于2时，求线段OC的长；
（2）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线BD的解析式．
【答案】（1）；（2） y＝－x＋4.
【解析】（1）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，6），
∵BD∥AC，BD与AC的距离等于2，
∴BF=2，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，点G为AB的中点，
∴FG=BG=AB=2，
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°，∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，根据勾股定理得：OA==x，
∵OA=8，∴x=，
∵点C在x轴的正半轴上，∴点C的坐标为（，0）；
（2）如图：
∵四边形ABDE为平行四边形，∴DE∥AB，∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，∴△OEC为等腰三角形，
∵OE⊥AC，∴△OEC为等腰直角三角形，∴∠C=45°，
∴点C的坐标为（8，0），点D的坐标为（4，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为y=-x+4．
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过的直线与直线交于点
（1）求直线的解析式；
（2） 若点是第一象限位于直线上的一动点，过点作轴交于点．当时，试在轴上找一点，在直线上找一点，使得的周长最小，求出周长的最小值；
（3）如图 2，将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，点是直线上一点，到轴的距离为2且位于第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点，将沿射线 NM 方向平移个单位，平移后的记为．在平面内是否存在一点，使得以点顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的解析式为
（2）最小值为2
（3）存在，Q点坐标为（-7，-2）或（0，）或（16，）．
【解析】（1）∵点C在直线上，把点C的坐标代入得：
解得m=-6，∴点C的坐标为（-6，-5），
设的解析式为，把点B、C代入得：
解得：的解析式为．
（2）如图：
∵点是第一象限位于直线上的一动点，轴交于点，
设D点坐标为（m，），∴H点的坐标为（m，m+1），
∵∴m+1-=8，∴m=10，
∴D点坐标为（10，3），H点坐标为（10,11），
分别做点D关于x轴和的对称点和，
连接和，则周长可转化为线段的长，
此时的周长最小，
∵∴令x=0，则y=1，令y=0，则x=1，
可得与x轴的夹角为45°，∴∠AHD=45°，
又∵与D关于对称，∴∆DH为等腰直角三角形，∴的纵坐标为11，
设的坐标为（x，11），则有：10-x=8，解得：x=2，∴（2，11），
又∵是D关于轴的对称点，∴的坐标为（10，-3），
∴===2，
∴=2，周长的最小值为2．
（3）如图：
∵直线与轴交于点，
令x=0，得y=1，∴A（0,1），
又∵直线：与轴交于点，与轴交于点，
分别令x=0，得y=-2，令y=0，得x=4，∴N（0，-2），M（4,0），
∴AN=3，AM==，
又∵将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，
∴分别将AN，AM绕点A逆时针旋转90°，得到 和，
∵AN=3，=90°，∴（3,1），为等腰直角三角形，
∴过点做y轴的垂线交y轴于点S，
∵==90°，∴=，又AM=，
可得RT∆≅ RT∆，
又∵AM=∴（1，4）
连接即可得直线，
设的解析式为： ，
把（3,1）和（1，4）代入可解得：
：，
又∵点是直线上一点，到轴的距离为2且位于第一象限．
∴P（2，），
∵MN==，
∴平移后的的与点M重合，过M做x轴的垂线交x轴于R，
可得RT∆≅ RT∆，
又∵N（0，-2），M（4,0），
∴OM=4，ON=2，
∴的坐标为（8，2），
由题意可知四边形QPC为平行四边形，
分别过P点做C的平行线、过C点做P的平行线，过点做PC的平行线，
三条平行线分别相交于、、，
得到四边形、、，
根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，
四边形、、均为平行四边形，
∵C点坐标为（-6，-5），P点坐标为P（2，），
得PC的解析式为：，
∵∥PC，的坐标为（8，2），
∴的解析式为：，
∵P点坐标为P（2，），的坐标为（8，2），
得P的解析式为：，
∵∥P，C点坐标为（-6，-5），
∴的解析式为：，
又∵∥C，P点坐标为P（2，），
∴的解析式为：，
分别联立、、可得：
（-7，-2），（0，），（16，），
∴存在这样的点，使得以点顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为（-7，-2）或（0，）或（16，）．