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专题强化训练二+因式分解的四大方法和化简应用综合练-2021-2022学年八年级数学下册《考点+题型+技巧》精讲与精练高分突破（北师大版）
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这是一份专题强化训练二+因式分解的四大方法和化简应用综合练-2021-2022学年八年级数学下册《考点+题型+技巧》精讲与精练高分突破（北师大版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·四川绵阳·八年级期末）已知，那么的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
3．（2022·山东烟台·八年级期末）下列各式中，正确的因式分解是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·河南开封·八年级期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
5．（2021·全国·八年级专题练习）已知（ ）.
A．3B．-3C．5D．-5
6．（2021·全国·八年级专题练习）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0B．1C．2D．3
7．（2021·福建三明·八年级期中）已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )．
A．b＝3，c＝－1B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4D．b＝－4，c＝－6
8．（2021·重庆八中宏帆初级中学校八年级阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·全国·八年级专题练习）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）
10．（2022·重庆黔江·八年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
11．（2021·全国·八年级专题练习）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
12．（2021·全国·八年级课时练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2020·河北南宫中学八年级期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
14．（2021·全国·八年级课时练习）把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b）B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a）D．-2（7a-8b）
二、填空题
15．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）因式分解：__________．
16．（2021·全国·八年级专题练习）已知， 则_______．
17．（2021·全国·八年级专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．
18．（2021·山东·临沭县第一初级中学八年级阶段练习）若，，则代数式的值为__________．
19．（2019·山东德州·八年级期末）若，则的值为_____．
20．（2021·全国·八年级课时练习）=_______．
21．（2021·全国·八年级专题练习）已知，则的值是_________
22．（2018·河南南阳·八年级期末）因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
三、解答题
23．（2018·全国·八年级单元测试）因式分解：
．
24．（2021·全国·八年级专题练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
25．（2021·江西·南城县第二中学八年级阶段练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
26．（2021·全国·八年级）分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）．
27．（2021·四川省隆昌市第一中学八年级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
28．（2018·全国·八年级课时练习）请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
29．（2019·山东威海·八年级期中）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
30．（2019·重庆八中八年级课时练习）分解因式
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
31．（2019·江西·南昌大学附属中学八年级期中）根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
32．（2018·内蒙古·八年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【详解】
解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
2．C
【解析】
【分析】
利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
=
=
=
=
=﹣1+2023
=2022，
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题本题的关键是掌握因式分解的方法．
3．C
【解析】
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项不合题意；
B、2（x﹣y）+3x（y﹣x）＝（2﹣3x）（x﹣y），故此选项不合题意；
C、x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6），故此选项符合题意；
D、（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝（x+1）2（x+3）（x﹣1），故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
对式子进行彻底的因式分解，对照密码即可解题．
【详解】
解：由题意得，
=
=
∴式子所代表的的字为：我、爱、封、开．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解的基础运算，注意分解要彻底．
5．A
【解析】
【分析】
观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】
∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，
故选A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.
6．D
【解析】
【分析】
把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】
原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
7．D
【解析】
【分析】
利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
【详解】
解：∵2(x-3)(x+1)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6，
又∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)，
∴b=-4，c=-6，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解与整式乘法的关系，计算整式乘法，对应找到各项系数是解题关键.
8．B
【解析】
【分析】
分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．
【详解】
A. ，故该选项不符合题意．
B. ，故该选项符合题意．
C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意．
D. ．故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．D
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），
故选：D．
【点睛】
此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
11．A
【解析】
【分析】
先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
12．D
【解析】
【分析】
分组后应用公式法、提公因式法分解，看是否有公因式可提出或者公式法分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A. ，不能分解，本选项不合题意；
B. ，不能分解，本选项不合题意；
C. ，不能分解，本选项不合题意；
D. ，本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，合理分组后能继续分解是解题关键．
13．B
【解析】
【分析】
由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】
解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
14．C
【解析】
【详解】
把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
15．
【解析】
【分析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式，
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．0
【解析】
【分析】
利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】
解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．
【点睛】
本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
17．．
【解析】
【分析】
根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】
解：由面积可得：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
18．-12
【解析】
【详解】
分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解.
详解：，，
，
故答案为
点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
19．4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】
先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】
解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
21．
【解析】
【分析】
由，，利用两个等式之间的平方关系得出；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【详解】
由平方得：，
且，则：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简、求值问题；解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
22．3a（a﹣b）2
【解析】
【分析】
首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
3a3﹣6a2b+3ab2，
＝3a（a2﹣2ab+b2），
＝3a（a﹣b）2．
故答案为：3a（a﹣b）2．
【点睛】
此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.
23．； ；； ；；．
【解析】
【分析】
（1）根据提公因式法，可得方程的解；
（2）根据提公因式法，可得答案；
（3）根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案；
（4）根据平方差公式，可得答案；
（5）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；
（6）根据整式的乘法、合并同类项，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案.
【详解】
；
；
；
；
；
．
【点睛】
本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底.
24．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】
本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
25．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．（1）；（2）；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】
（1）原式
；
（2）
当时，有最小值；
（3）
解得
则．
【点睛】
本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
28．（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
29．（1）．（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）原式
．
∵为正整数，
∴为正整数．
∴代数的值一定是某个整数的平方．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
30．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）提取公因式6ab进行因式分解；
（2）将原式变形为，然后先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式，然后利用完全平凡公式进行因式分解；
（4）先用完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：（1）
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
【点睛】
本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式的结构正确进行计算是本题的解题关键．
31．(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).
【解析】
【分析】
(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可；
(2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；
(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；
(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；
(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得.
【详解】
(1)原式=(x+2)(x+5)；
(2)原式=(x+9)(x-2)；
(3)原式=(2x-1)(x-2)；
(4)原式=(2y+1)(3y-2)；
(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3
=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)
=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)
=(x-2y+1)(x-y-3).
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键.
32．(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm
【解析】
【分析】
（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
【详解】
（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·四川绵阳·八年级期末）已知，那么的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
3．（2022·山东烟台·八年级期末）下列各式中，正确的因式分解是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·河南开封·八年级期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：封，爱，我，数，学，开．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱开封C．我爱开封D．开封数学
5．（2021·全国·八年级专题练习）已知（ ）.
A．3B．-3C．5D．-5
6．（2021·全国·八年级专题练习）已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0B．1C．2D．3
7．（2021·福建三明·八年级期中）已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )．
A．b＝3，c＝－1B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4D．b＝－4，c＝－6
8．（2021·重庆八中宏帆初级中学校八年级阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·全国·八年级专题练习）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）
10．（2022·重庆黔江·八年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
11．（2021·全国·八年级专题练习）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
12．（2021·全国·八年级课时练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2020·河北南宫中学八年级期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
14．（2021·全国·八年级课时练习）把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b）B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a）D．-2（7a-8b）
二、填空题
15．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）因式分解：__________．
16．（2021·全国·八年级专题练习）已知， 则_______．
17．（2021·全国·八年级专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．
18．（2021·山东·临沭县第一初级中学八年级阶段练习）若，，则代数式的值为__________．
19．（2019·山东德州·八年级期末）若，则的值为_____．
20．（2021·全国·八年级课时练习）=_______．
21．（2021·全国·八年级专题练习）已知，则的值是_________
22．（2018·河南南阳·八年级期末）因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
三、解答题
23．（2018·全国·八年级单元测试）因式分解：
．
24．（2021·全国·八年级专题练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
25．（2021·江西·南城县第二中学八年级阶段练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
26．（2021·全国·八年级）分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）．
27．（2021·四川省隆昌市第一中学八年级期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
28．（2018·全国·八年级课时练习）请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
29．（2019·山东威海·八年级期中）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
30．（2019·重庆八中八年级课时练习）分解因式
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
31．（2019·江西·南昌大学附属中学八年级期中）根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
32．（2018·内蒙古·八年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【详解】
解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
2．C
【解析】
【分析】
利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
=
=
=
=
=﹣1+2023
=2022，
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题本题的关键是掌握因式分解的方法．
3．C
【解析】
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项不合题意；
B、2（x﹣y）+3x（y﹣x）＝（2﹣3x）（x﹣y），故此选项不合题意；
C、x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6），故此选项符合题意；
D、（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝（x+1）2（x+3）（x﹣1），故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
对式子进行彻底的因式分解，对照密码即可解题．
【详解】
解：由题意得，
=
=
∴式子所代表的的字为：我、爱、封、开．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解的基础运算，注意分解要彻底．
5．A
【解析】
【分析】
观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】
∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，
故选A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.
6．D
【解析】
【分析】
把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】
原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
7．D
【解析】
【分析】
利用整式的乘法计算出2(x-3)(x+1)的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
【详解】
解：∵2(x-3)(x+1)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6，
又∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)，
∴b=-4，c=-6，
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解与整式乘法的关系，计算整式乘法，对应找到各项系数是解题关键.
8．B
【解析】
【分析】
分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．
【详解】
A. ，故该选项不符合题意．
B. ，故该选项符合题意．
C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意．
D. ．故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．D
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），
故选：D．
【点睛】
此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
11．A
【解析】
【分析】
先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
12．D
【解析】
【分析】
分组后应用公式法、提公因式法分解，看是否有公因式可提出或者公式法分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A. ，不能分解，本选项不合题意；
B. ，不能分解，本选项不合题意；
C. ，不能分解，本选项不合题意；
D. ，本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，合理分组后能继续分解是解题关键．
13．B
【解析】
【分析】
由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】
解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
14．C
【解析】
【详解】
把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
15．
【解析】
【分析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式，
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．0
【解析】
【分析】
利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】
解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．
【点睛】
本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
17．．
【解析】
【分析】
根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】
解：由面积可得：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
18．-12
【解析】
【详解】
分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解.
详解：，，
，
故答案为
点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
19．4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴；
故答案为4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】
先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】
解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
21．
【解析】
【分析】
由，，利用两个等式之间的平方关系得出；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【详解】
由平方得：，
且，则：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简、求值问题；解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
22．3a（a﹣b）2
【解析】
【分析】
首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
3a3﹣6a2b+3ab2，
＝3a（a2﹣2ab+b2），
＝3a（a﹣b）2．
故答案为：3a（a﹣b）2．
【点睛】
此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.
23．； ；； ；；．
【解析】
【分析】
（1）根据提公因式法，可得方程的解；
（2）根据提公因式法，可得答案；
（3）根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案；
（4）根据平方差公式，可得答案；
（5）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；
（6）根据整式的乘法、合并同类项，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案.
【详解】
；
；
；
；
；
．
【点睛】
本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底.
24．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】
本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
25．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．（1）；（2）；（3）4．
【解析】
【分析】
（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】
（1）原式
；
（2）
当时，有最小值；
（3）
解得
则．
【点睛】
本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
28．（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
29．（1）．（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）原式
．
∵为正整数，
∴为正整数．
∴代数的值一定是某个整数的平方．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
30．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）提取公因式6ab进行因式分解；
（2）将原式变形为，然后先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式，然后利用完全平凡公式进行因式分解；
（4）先用完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：（1）
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
【点睛】
本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式的结构正确进行计算是本题的解题关键．
31．(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).
【解析】
【分析】
(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可；
(2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；
(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；
(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；
(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得.
【详解】
(1)原式=(x+2)(x+5)；
(2)原式=(x+9)(x-2)；
(3)原式=(2x-1)(x-2)；
(4)原式=(2y+1)(3y-2)；
(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3
=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)
=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)
=(x-2y+1)(x-y-3).
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键.
32．(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm
【解析】
【分析】
（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
【详解】
（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
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