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专题07 期末模拟测试卷2（提优卷）
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专题07 期末模拟测试卷2（提优卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．(本题2分)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、（−a3）2＝a6，故此选项错误；B、，故此选项正确；C、，故此选项错误；D、（a−b）2＝a2−2ab＋b2，故此选项错误；故选：B．
2．(本题2分)若式子有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知： ∴ 故选：C
3．(本题2分)下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．
4．(本题2分)下列说法中：
①如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率为0；
②如果一个事件发生的可能性很大，那么它的概率为1；
③如果一个事件可能发生，也可能不发生，那么它的概率介于0与1之间；
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【解析】①如果一个事件发生的可能性很小，也有可能发生，那么它的概率接近于0，故①错误；②如果一个事件发生的可能性很大，那么它的概率接近于1，故②错误；
③如果一个事件可能发生，也可能不发生，那么它的概率介于0与1之间，故③正确，
故正确的只有③一个，故选：．
5．(本题2分)为了了解某校九年级300名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是指（ ）
A．300名学生 B．300名学生的体重
C．被抽取的50名学生 D．被抽取的50名学生的体重
【答案】D
【解析】解：为了解某校九年级300名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是被抽取的50名学生的体重．
故选：D．
6．(本题2分)如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，AD=BC，∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，∵ABCD的周长等于24，AE=2，∴AB+AD=12，
∴AB+AE+DE=12，∴AB=5．
故选：A．
7．(本题2分)若为整数，关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解为，此不等式组有且只有3个整数解，
，即，则整数的所有可能取值为，，
两边同乘以得：，解得，
此分式方程有整数解，，即，，
（1）当时，，经检验，不是分式方程的解；
（2）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
（3）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
则满足条件的所有整数的和为，
8．(本题2分)如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
【答案】D
【解析】
解：设 A（ ），∴AB＝，∵矩形的面积为10，∴BC＝，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，∴，
∴∴∴k＝5，
故选：D．
9．(本题2分)七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵图1的总面积为16，∴正方形的边长为4，
∴①、②的直角边长为，斜边长为4，④的短边长为，长边长为2，
③的直角边长为，长边长为2，⑤为正方形，边长为，⑥的斜边长为2，直角边长为，⑦的直角边长为，
∴．故选：D．
10．(本题2分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．4
【答案】D
【解析】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，
在△AED和△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，
∴DF+CF的最小值为4，故选：D．
第II卷（非选择题）
11．(本题2分)计算：________．
【答案】
【解析】解：= = =
故答案諀：
12．(本题2分)若关于的方程有增根，则的值是__________．
【答案】2
【解析】解：去分母，得 ax=4+x-2，∵方程有增根，所以x-2=0，x=2是方程的增根，将x=2代入上式，2a=4+2-2，∴a=2，故答案为2．
13．(本题2分)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，旋转后的△CDA与△ABC构成四边形ABCD，作ONAB交AD于点N，若∠BAC＝∠BCA，四边形ABCD的周长为24，则ON＝___．
【答案】3
【解析】解：∵将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB＝CD，BC＝AD，∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，∴AB＝CD＝BC＝AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∵四边形ABCD的周长为24，∴CD＝6，
∵ON∥AB，∴ON∥CD，∵点O是AC的中点，∴N是AD的中点，∴ON＝CD＝3，故答案为：3．
14．(本题2分)2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
【答案】
【解析】解：设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，则“神威•太湖之光”的浮点运算速度为2.74x亿亿次/秒，根据题意，得：，故答案为：．
15．(本题2分)如图，有一张矩形纸条，，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为_________．
【答案】（−）
【解析】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠3，由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM＝M ，
∴∠2=∠3，∴M=N，∵N==（cm），
∴BM=M=N=（cm），D=4-；
如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AE＝EN＝x cm，
在Rt△ADE中，则有x2=22＋（4−x）2，解得x=，∴DE＝4−=（cm），
如图3中，当点M运动到M⊥AB时，D的值最大，D＝5−1−2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点落在CD时，D（即）=4-（cm），
∴点E的运动轨迹E→→，运动路径＝E＋＝2−＋2−（4−）=（−）（cm）．故答案是：（−）
16．(本题2分)如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
【答案】 4或
【解析】解：（1）设矩形的两边为、，则，
矩形的对角线，，，，，矩形的周长为，
故答案为；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，
矩形的面积，而，，
点与点关于对称，垂直平分，，
，，，，，
垂直平分，，，；
当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，
点与点关于对称，，，为等腰直角三角形，
平分，四边形为正方形，，，，
，而，，
综上所述，的面积为4或，故答案为4或．
17．(本题6分)解下列方程
（1） （2）
【答案】（1） ，为增根，原方程无解
【解析】解：（1）去分母得：15x+3+3x﹣3=8x+20，移项合并得：10x=20，解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，∴分式方程的解为x=2；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4=x2-1，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
18．(本题6分)（1）先化简，再求值：．其中且m为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．
（2）已知，，求下列各式的值：① ②
【答案】（1），将代入，原式；（2）①6；②6．
【解析】（1）原式==，∵其中且m为整数，
∴不能选择，则在0，1中选择即可，将代入原式得：，
∴当时，原式；
（2）由题意可得：，，，
①；
②．
19．(本题6分)在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
124
190
325
538
670
2004
摸到白球的频率
0.70
0.62
0.633
0.65
0.6725
0.670
0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；(精确到0.01)
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5．
【答案】（1）0.67；（2）33；（3）C．
【解析】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，故答案为：0.67；
（2）根据题意得：100×（1﹣0.67）=33（只），答：盒子里黑球有33只，
故答案为：33；
（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为==0.5＜0.67，故此选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为=0.5，不符合题意；
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C．
故答案为：C．
20．(本题8分)某校为了加强学生的安全意识，组织学生参加安全知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如图所示，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）若组的频数比组小24，则频数分布直方图中___________，__________；
（2）扇形统计图中_____________，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，请估计成绩优秀的学生有多少名？
【答案】（1）16；40；（2）126，图形见解析；（3）940
【解析】（1）学生总数是24÷（20%−8%）＝200（人），
则a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝＝126°．
C组频数为200×0.25=50，频数分布直方图如下：
（3）1-8%-20%-25%=47%，2000×47%=940（名）
答：估计出全校2000名学生中成绩优秀的大约有940名.
21．(本题8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝13，DE＝5，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形AODE的面积为．
【解析】（1）证明：，，四边形AODE是平行四边形，
在菱形ABCD中，，，四边形AODE是矩形；
（2）解：四边形AODE是矩形，，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
四边形AODE的面积．
22．(本题9分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利
【解析】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
23．(本题9分)如图，已知直线与双曲线交于、两点，点横坐标为4．
（1）求值；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
（3）若双曲线上有一点的纵坐标为8,求的面积；
（4）若在轴上有点，轴上有点，且点、、、四点恰好构成平行四边形，直接写出点、的坐标．
【答案】（1）k=8；（2）-4≤x＜0或x≥4；（3）；（4）M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．
【解析】解：（1）∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为4，∴点A的纵坐标为：，∴点A（4，2），∴，∴k=8；
（2）∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴B（-4，-2），∴关于x的不等式的解集为：-4≤x＜0或x≥4；
（3）过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵双曲线上有一点C的纵坐标为8，∴把y=8代入得：x=1，
∴点C（1，8），∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=；
（4）如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，
∵点A（4，2），点C（1，8），
∴根据平移的性质可得：M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．
24．(本题12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿着线段CA方向运动到A点，再沿着射线AB方向运动，且速度始终为每秒2cm，设点P运动的时间为t秒．
（1）点C到AB的距离为 ．
（2）是否存在某一时刻，使△PBC为等腰三角形，若存在，求出时间t；不存在，说明理由．
（3）请直接写出使的t值．
【答案】（1）4.8cm；（2）存在，t=4s或5.5s或12s时；（3）t=4.25s或11.75s
【解析】解：（1）在△ABC中，∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴cm，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，
∵S△ABC=，∴（cm）；
故答案为：4.8cm；
（2）若点P在AC上，由于BC＜BP，故此时不存在使△PBC为等腰三角形的点P；
若点P在射线AB上，则
当BP=BC=8cm时，△PBC为等腰三角形，AP=2cm或18cm，此时点P运动的路程为：8cm或24cm，相应的点P的运动时间t=4s或12s；
当PB=PC时，△PBC为等腰三角形，此时点P在BC的垂直平分线PQ上，如图2，
设PQ交BC于点Q，则BQ=CQ，PQ∥AC，∴AP=BP=5cm，
∴点P的运动路程为：6+5=11cm，相应的点P的运动时间t=11÷2=5.5s；
综上，当t=4s或5.5s或12s时，△PBC为等腰三角形；
（3）∵，
∴cm，∴AP=2.5cm或17.5cm，
所以点P的运动路程=8.5cm或23.5cm，相应的点P的运动时间t=4.25s或11.75s．
25．(本题12分)综合与实践
问题背景
在综合实践课上，同学们以“图形的平移与旋转”为主题开展数学活动，如图（1)，先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC．
操作发现
（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；
实践探究
（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD沿射线BC的方向平移a个单位长度，得到△E′F′D′，连接BF′，CE′，若四边形BF′E′C为菱形，如图（3），则a的值为多少？请你帮聪聪解决这个问题，求出a的值；
（3）如果将（2）中聪聪所提问题的平移方向改为：沿射线CB的方向平移a个单位长度，其余条件都不变，则是否还存在四边形BF′E′C为菱形？若存在，直接写出平移距离a的值，若不存在，请说明理由；
（4）老师提出问题：请参照聪聪的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△E"F"D"，请在图（4）中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．
【答案】（1）四边形BFEC为平行四边形，理由见解析；（2）a=2-2 （3）存在，a=2+2；（4）答案不唯一，合理即可给分．
【解析】（1）四边形BFEC为平行四边形。理由如下：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABD=60°，AB=BC由题意，知FD=BD ∴△BFD为等边三角形 ∴∠FDB=60°
∵∠EFD=60° ∴EF∥BC ∵EF=AB=BC∴四边形BEFC为平行四边形
（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=BC=4∴AD=4
当△DEF沿射线BC方向平移时，过点E′作E′G垂直BC交BC的延长线于点G
∵E′F′ ∥BC， ∠F′E′D′=30°∴∠E′D′ G=30°在Rt△E′D′G 中，E′D′=4
∴E′G=2∴D′G=6∵四边形BF′E′C为菱形。∴CE′=8
在Rt△E′CG中，由勾股定理得CG=2 ∴DG=DC+CG=4+2 ∴DD′=DG-D′G=2-2 ∴a=2-2
（3）存在
当△DEF沿射线CB方向平移时，过点F′作F′G垂直BC交CB的延长线于点G，如图
∵E′F′ ∥BC， ∠F′E′D′=30°∴∠E′D′ C=30°∵∠F′D′E′=90°∴∠F′D′G=60°，∴∠D′F′ G=30°在Rt△F′D′G 中，F′D′=FD=4∴D′G=2∴F′G=2
若四边形BF′E′C为菱形，则BF′=8在Rt△F′BG中，由勾股定理得BG=2
∴DG=BD+BG=4+2 ∴DD′=DG-D′G=2+2 ∴a=2+2
（4）将△EFD沿FA方向平移4个单位长度，得到△E"F"D"，则D"是AC的中点，所以DF=FA，且四边形AFD D"是平行四边形，从而四边形AFD D"是菱形．
26．(本题12分)如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）为定值，等于．
【解析】（1）∵a、b满足+（a+b+3）2＝0，则，解得，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，∴xD＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．∴t＝2t﹣4．∴t＝4．∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝上，∴k＝xy＝1×4＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则﹣＝x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴﹣＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，
∴△BFN≌△BHN（SAS），∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴=．
即为定值，等于．
专题07 期末模拟测试卷2（提优卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．(本题2分)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、（−a3）2＝a6，故此选项错误；B、，故此选项正确；C、，故此选项错误；D、（a−b）2＝a2−2ab＋b2，故此选项错误；故选：B．
2．(本题2分)若式子有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知： ∴ 故选：C
3．(本题2分)下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．
4．(本题2分)下列说法中：
①如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率为0；
②如果一个事件发生的可能性很大，那么它的概率为1；
③如果一个事件可能发生，也可能不发生，那么它的概率介于0与1之间；
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【解析】①如果一个事件发生的可能性很小，也有可能发生，那么它的概率接近于0，故①错误；②如果一个事件发生的可能性很大，那么它的概率接近于1，故②错误；
③如果一个事件可能发生，也可能不发生，那么它的概率介于0与1之间，故③正确，
故正确的只有③一个，故选：．
5．(本题2分)为了了解某校九年级300名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是指（ ）
A．300名学生 B．300名学生的体重
C．被抽取的50名学生 D．被抽取的50名学生的体重
【答案】D
【解析】解：为了解某校九年级300名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中，样本是被抽取的50名学生的体重．
故选：D．
6．(本题2分)如图，在中，平分交于点，若，的周长等于24，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，AD=BC，∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，∵ABCD的周长等于24，AE=2，∴AB+AD=12，
∴AB+AE+DE=12，∴AB=5．
故选：A．
7．(本题2分)若为整数，关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解为，此不等式组有且只有3个整数解，
，即，则整数的所有可能取值为，，
两边同乘以得：，解得，
此分式方程有整数解，，即，，
（1）当时，，经检验，不是分式方程的解；
（2）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
（3）当时，，经检验，是分式方程的整数解，符合题意；
则满足条件的所有整数的和为，
8．(本题2分)如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10 B．4 C．3 D．5
【答案】D
【解析】
解：设 A（ ），∴AB＝，∵矩形的面积为10，∴BC＝，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，∴，
∴∴∴k＝5，
故选：D．
9．(本题2分)七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵图1的总面积为16，∴正方形的边长为4，
∴①、②的直角边长为，斜边长为4，④的短边长为，长边长为2，
③的直角边长为，长边长为2，⑤为正方形，边长为，⑥的斜边长为2，直角边长为，⑦的直角边长为，
∴．故选：D．
10．(本题2分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．4
【答案】D
【解析】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，
在△AED和△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，
∴DF+CF的最小值为4，故选：D．
第II卷（非选择题）
11．(本题2分)计算：________．
【答案】
【解析】解：= = =
故答案諀：
12．(本题2分)若关于的方程有增根，则的值是__________．
【答案】2
【解析】解：去分母，得 ax=4+x-2，∵方程有增根，所以x-2=0，x=2是方程的增根，将x=2代入上式，2a=4+2-2，∴a=2，故答案为2．
13．(本题2分)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，旋转后的△CDA与△ABC构成四边形ABCD，作ONAB交AD于点N，若∠BAC＝∠BCA，四边形ABCD的周长为24，则ON＝___．
【答案】3
【解析】解：∵将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB＝CD，BC＝AD，∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，∴AB＝CD＝BC＝AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∵四边形ABCD的周长为24，∴CD＝6，
∵ON∥AB，∴ON∥CD，∵点O是AC的中点，∴N是AD的中点，∴ON＝CD＝3，故答案为：3．
14．(本题2分)2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
【答案】
【解析】解：设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，则“神威•太湖之光”的浮点运算速度为2.74x亿亿次/秒，根据题意，得：，故答案为：．
15．(本题2分)如图，有一张矩形纸条，，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为_________．
【答案】（−）
【解析】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠3，由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM＝M ，
∴∠2=∠3，∴M=N，∵N==（cm），
∴BM=M=N=（cm），D=4-；
如图2中，当点M与A重合时，AE=EN，设AE＝EN＝x cm，
在Rt△ADE中，则有x2=22＋（4−x）2，解得x=，∴DE＝4−=（cm），
如图3中，当点M运动到M⊥AB时，D的值最大，D＝5−1−2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点落在CD时，D（即）=4-（cm），
∴点E的运动轨迹E→→，运动路径＝E＋＝2−＋2−（4−）=（−）（cm）．故答案是：（−）
16．(本题2分)如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
【答案】 4或
【解析】解：（1）设矩形的两边为、，则，
矩形的对角线，，，，，矩形的周长为，
故答案为；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，
矩形的面积，而，，
点与点关于对称，垂直平分，，
，，，，，
垂直平分，，，；
当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，
点与点关于对称，，，为等腰直角三角形，
平分，四边形为正方形，，，，
，而，，
综上所述，的面积为4或，故答案为4或．
17．(本题6分)解下列方程
（1） （2）
【答案】（1） ，为增根，原方程无解
【解析】解：（1）去分母得：15x+3+3x﹣3=8x+20，移项合并得：10x=20，解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，∴分式方程的解为x=2；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4=x2-1，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
18．(本题6分)（1）先化简，再求值：．其中且m为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．
（2）已知，，求下列各式的值：① ②
【答案】（1），将代入，原式；（2）①6；②6．
【解析】（1）原式==，∵其中且m为整数，
∴不能选择，则在0，1中选择即可，将代入原式得：，
∴当时，原式；
（2）由题意可得：，，，
①；
②．
19．(本题6分)在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
124
190
325
538
670
2004
摸到白球的频率
0.70
0.62
0.633
0.65
0.6725
0.670
0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；(精确到0.01)
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5．
【答案】（1）0.67；（2）33；（3）C．
【解析】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，故答案为：0.67；
（2）根据题意得：100×（1﹣0.67）=33（只），答：盒子里黑球有33只，
故答案为：33；
（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为==0.5＜0.67，故此选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为=0.5，不符合题意；
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C．
故答案为：C．
20．(本题8分)某校为了加强学生的安全意识，组织学生参加安全知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如图所示，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）若组的频数比组小24，则频数分布直方图中___________，__________；
（2）扇形统计图中_____________，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，请估计成绩优秀的学生有多少名？
【答案】（1）16；40；（2）126，图形见解析；（3）940
【解析】（1）学生总数是24÷（20%−8%）＝200（人），
则a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝＝126°．
C组频数为200×0.25=50，频数分布直方图如下：
（3）1-8%-20%-25%=47%，2000×47%=940（名）
答：估计出全校2000名学生中成绩优秀的大约有940名.
21．(本题8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝13，DE＝5，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形AODE的面积为．
【解析】（1）证明：，，四边形AODE是平行四边形，
在菱形ABCD中，，，四边形AODE是矩形；
（2）解：四边形AODE是矩形，，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
四边形AODE的面积．
22．(本题9分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利
【解析】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，解得：m＝9．经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
23．(本题9分)如图，已知直线与双曲线交于、两点，点横坐标为4．
（1）求值；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
（3）若双曲线上有一点的纵坐标为8,求的面积；
（4）若在轴上有点，轴上有点，且点、、、四点恰好构成平行四边形，直接写出点、的坐标．
【答案】（1）k=8；（2）-4≤x＜0或x≥4；（3）；（4）M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．
【解析】解：（1）∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为4，∴点A的纵坐标为：，∴点A（4，2），∴，∴k=8；
（2）∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴B（-4，-2），∴关于x的不等式的解集为：-4≤x＜0或x≥4；
（3）过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵双曲线上有一点C的纵坐标为8，∴把y=8代入得：x=1，
∴点C（1，8），∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=；
（4）如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，
∵点A（4，2），点C（1，8），
∴根据平移的性质可得：M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．
24．(本题12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿着线段CA方向运动到A点，再沿着射线AB方向运动，且速度始终为每秒2cm，设点P运动的时间为t秒．
（1）点C到AB的距离为 ．
（2）是否存在某一时刻，使△PBC为等腰三角形，若存在，求出时间t；不存在，说明理由．
（3）请直接写出使的t值．
【答案】（1）4.8cm；（2）存在，t=4s或5.5s或12s时；（3）t=4.25s或11.75s
【解析】解：（1）在△ABC中，∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴cm，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，
∵S△ABC=，∴（cm）；
故答案为：4.8cm；
（2）若点P在AC上，由于BC＜BP，故此时不存在使△PBC为等腰三角形的点P；
若点P在射线AB上，则
当BP=BC=8cm时，△PBC为等腰三角形，AP=2cm或18cm，此时点P运动的路程为：8cm或24cm，相应的点P的运动时间t=4s或12s；
当PB=PC时，△PBC为等腰三角形，此时点P在BC的垂直平分线PQ上，如图2，
设PQ交BC于点Q，则BQ=CQ，PQ∥AC，∴AP=BP=5cm，
∴点P的运动路程为：6+5=11cm，相应的点P的运动时间t=11÷2=5.5s；
综上，当t=4s或5.5s或12s时，△PBC为等腰三角形；
（3）∵，
∴cm，∴AP=2.5cm或17.5cm，
所以点P的运动路程=8.5cm或23.5cm，相应的点P的运动时间t=4.25s或11.75s．
25．(本题12分)综合与实践
问题背景
在综合实践课上，同学们以“图形的平移与旋转”为主题开展数学活动，如图（1)，先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC．
操作发现
（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；
实践探究
（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD沿射线BC的方向平移a个单位长度，得到△E′F′D′，连接BF′，CE′，若四边形BF′E′C为菱形，如图（3），则a的值为多少？请你帮聪聪解决这个问题，求出a的值；
（3）如果将（2）中聪聪所提问题的平移方向改为：沿射线CB的方向平移a个单位长度，其余条件都不变，则是否还存在四边形BF′E′C为菱形？若存在，直接写出平移距离a的值，若不存在，请说明理由；
（4）老师提出问题：请参照聪聪的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△E"F"D"，请在图（4）中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．
【答案】（1）四边形BFEC为平行四边形，理由见解析；（2）a=2-2 （3）存在，a=2+2；（4）答案不唯一，合理即可给分．
【解析】（1）四边形BFEC为平行四边形。理由如下：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABD=60°，AB=BC由题意，知FD=BD ∴△BFD为等边三角形 ∴∠FDB=60°
∵∠EFD=60° ∴EF∥BC ∵EF=AB=BC∴四边形BEFC为平行四边形
（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=BC=4∴AD=4
当△DEF沿射线BC方向平移时，过点E′作E′G垂直BC交BC的延长线于点G
∵E′F′ ∥BC， ∠F′E′D′=30°∴∠E′D′ G=30°在Rt△E′D′G 中，E′D′=4
∴E′G=2∴D′G=6∵四边形BF′E′C为菱形。∴CE′=8
在Rt△E′CG中，由勾股定理得CG=2 ∴DG=DC+CG=4+2 ∴DD′=DG-D′G=2-2 ∴a=2-2
（3）存在
当△DEF沿射线CB方向平移时，过点F′作F′G垂直BC交CB的延长线于点G，如图
∵E′F′ ∥BC， ∠F′E′D′=30°∴∠E′D′ C=30°∵∠F′D′E′=90°∴∠F′D′G=60°，∴∠D′F′ G=30°在Rt△F′D′G 中，F′D′=FD=4∴D′G=2∴F′G=2
若四边形BF′E′C为菱形，则BF′=8在Rt△F′BG中，由勾股定理得BG=2
∴DG=BD+BG=4+2 ∴DD′=DG-D′G=2+2 ∴a=2+2
（4）将△EFD沿FA方向平移4个单位长度，得到△E"F"D"，则D"是AC的中点，所以DF=FA，且四边形AFD D"是平行四边形，从而四边形AFD D"是菱形．
26．(本题12分)如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）为定值，等于．
【解析】（1）∵a、b满足+（a+b+3）2＝0，则，解得，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，∴xD＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．∴t＝2t﹣4．∴t＝4．∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝上，∴k＝xy＝1×4＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则﹣＝x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴﹣＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，
∴△BFN≌△BHN（SAS），∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴=．
即为定值，等于．
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