2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列数列中成等差数列的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答.【详解】对于A，，A不是等差数列；对于B，，B不是等差数列；对于C，，C是等差数列；对于D，，D不是等差数列.故选：C2．已知椭圆，则它的短轴长为（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B3．已知向量是两两垂直的单位向量，且，则（       ）A．5 B．1 C．-1 D．7【答案】B【分析】根据单位向量的定义和向量的乘法运算计算即可.【详解】因为向量是两两垂直的单位向量，且所以.故选：B4．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（       ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.故选：D5．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（       ）A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.【详解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，当时，，所以，当时，，所以，故选：C6．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】由题意，又，，，∴,故选：B．7．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，∴，且，∴，将代入到双曲线方程，可得，解得，即，则，即，即，解得（舍负），故.故选:D.8．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是A．153 B．171 C．190 D．210【答案】C【解析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为故选：C【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。二、多选题9．点P在圆上，点Q在圆上，则（       ）A．两个圆心所在的直线斜率为B．两个圆相交弦所在直线的方程为C．两圆公切线有两条D．|PQ|的最小值为0【答案】AD【分析】根据直线斜率公式，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.两个圆心所在的直线斜率为，所以本选项正确；因为，，所以两圆相外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项BC不正确，选项D正确，故选：AD10．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（       ）A．直线BC1与直线所成的角为90°B．B1D⊥平面ACD1C．点B1到平面ACD1的距离为D．直线B1C与平面所成角的余弦值为【答案】BD【分析】根据空间向量夹角公式，结合空间点到面的距离公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此本选项不正确；B：，因为，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本选项正确；C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以点B1到平面ACD1的距离为，因此本选项不正确；D：由上可知：，所以直线B1C与平面所成角的余弦值，因此本选项正确，故选：BD11．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（       ）A．{Sn}为等比数列 B．C． D．{nSn}的前n项和为【答案】ACD【分析】根据数列前n项和与第n项的关系，结合等比数列的定义和通项公式、错位相减法进行逐一判断即可.【详解】因为，所以{Sn}为等比数列，因此选项A正确；当时，，当时，，不适合上式，所以选项B不正确，选项C正确；设{nSn}的前n项和为，，，，得，，所以选项D正确，故选：ACD12．已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】问题转化为，存在，使得，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A：的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点，存在着点Q（x2，y2）使得，所以满足；B：的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时，当P，Q不在双曲线同一支上，此时，所以不满足；C：的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以，所以D：取P（0，1），若，则有显然不成立，所以此时不成立，故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.三、填空题13．直线的倾斜角为_______________.【答案】【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.【答案】0【分析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量的运算，属于基础题.15．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为___________.【答案】【分析】首先根据已知条件得到，再结合双曲线的几何性质求解即可.【详解】如图所示：，，所以，即.设，则，.即，，，，所以，渐近线方程为.故答案为：四、双空题16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.【答案】          【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值．【详解】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得即化简得则设则由抛物线的定义可得当且仅当四点共线时取等号，的最小值为故答案为：            【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．五、解答题17．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.(1)求圆D的标准方程；(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆D的标准方程，利用待定系数法即可得出答案；（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】(1)解：设圆D的标准方程，由题意可得，解得，所以圆D的标准方程为；(2)解：由（1）可知圆心，半径，所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，所以.18．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．【详解】(1)由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故(2)由题设，直线l的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又P是线段AB的中点，∴，即故l19．王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.(1)求证：数列{-5000}为等比数列；(2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？【答案】(1)证明见解析(2)足够【分析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；（2） 由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.【详解】(1)依题意，第1个月底股票市值为 则 又∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.(2)由（1）知∴∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.20．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.(1)证明：AB1//平面；(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证；（2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可．【详解】(1)证明：如图，连，使，连，由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，在中，、分别为和中点，，又因平面平面，面，面，平面． (2)解：设，以为坐标原点如图建系， 则，，所以、，设平面的法向量则，故可取． 设平面的法向量，则，故可取，因为面与面的夹角余弦值为，所以，即，解得，．21．已知数列{an}的前n项和为Sn，.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和，求使不等式成立的最大整数m的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定的递推公式变形，再构造常数列求解作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和，由单调性求出最大整数m值作答.【详解】(1)依题意，，当时，，两式相减得：，即，整理得：，于是得，所以数列{an}的通项公式是.(2)由（1）得，，数列是递增数列，因此，，于是有，则，不等式成立，则，，于是得，所以使不等式成立的最大整数m的值是505.【点睛】思路点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．22．已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.(1)求动点P的轨迹的方程；(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，T(0，1)﹒【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【详解】(1)由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；(2)假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴()由题可知，将()代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.