2021-2022学年河南省商丘市商丘名校高二下学期期中联考 数学（文）解析版

2021-2022学年河南省商丘市商丘名校高二下学期期中联考

数学（文）

一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 观察下列各式：，，则的个位数字是（    ）

A. 3 B. 9 C. 7 D. 1

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】个位数出现顺序为，且周期为4，即可确定的个位数字.

【详解】由题设，个位数出现顺序为，且周期为4，

所以，即的个位数字与相同.

故选：B

2. 虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（    ）

A. 复数､小数､整数 B. 复数､无理数､自然数

C. 复数､无理数､整数 D. 复数､整数､小数

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据实数和复数的概念，直接判断即可.

【详解】由复数的分类可得：1处填入复数；

由实数的分类可得：2处填入无理数；

由有理数的分类可得：3处填入整数.

故选：C.

3. 已知复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数在复平面内对应点的特征得到，解之即可求出结果.

【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，得，解得，所以m的取值范围为.

故选：C.

4. 通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：①；②.对这两个模型进行了残差分析发现：第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若用、，、分别表示模型①与模型②的相关指数与残差平方和，则结论正确的是(    )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】相关指数越大，残差平方和越小，拟合效果越好，据此即可判断．

【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∵第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好，∴，．

故选：A．

5. 给出如下“三段论”的推理过程：已知是函数的导函数，如果，那么是函数的极值点，（大前提）；因为函数在处的导数值，（小前提）；所以是函数的极值点.（结论）则上述推理错误的原因是（    ）

A. 大前提错误 B. 小前提错误

C. 大前提､小前提都错误 D. 推理形式错误

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用“三段论”的推理和极值点的定义判断.

【详解】因为对应可导函数，如果，且满足和时，导函数值异号，那么是函数的极值点.

所以大前提：“可导函数，如果，那么是函数的极值点”错误，但推理形式正确.

故选：A.

6. 如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，零件到达后，一件成品最少､最多需要经过的工序数目分别为（    ）

A. 4，6 B. 4，7 C. 5，6 D. 5，7

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据流程图，直接判断答案即可

【详解】由某产品加工为成品的流程图看出，一件成品最少经过的工序有：粗加工，检验，精加工，最后检验，共4道程序；一件成品最多经过的工序有：粗加工，检验，返修加工，返修检验，精加工，最后检验，共6道程序.

故选：A

7. 新教材人教B版必修第二册课后习题：“求证方程只有一个解”.证明如下：“化为，设，则在R上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，解不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】将不等式变形为，进而构造函数，结合函数单调性解不等式即可求出结果.

【详解】由不等式得.设函数，则，由，所以在R上单调递增，所以得，解得或.

故选：D.

8. 已知复数，，且有，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据，，求得，，再由求解.

【详解】因为，，

则，，

因为，

则，

解得，此时，

所以.

故选：C.

9. 甲､乙､丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦､瑞典､挪威､芬兰､冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲､乙､丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（    ）

A. 丹麦 B. 挪威 C. 芬兰 D. 冰岛

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，逐一分析此运动员来着丹麦、瑞典、挪威、芬兰、冰岛，结合题意，分析即可得答案.

【详解】①若此运动员来自丹麦，则甲､乙､丙三人中甲､乙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自丹麦；

②若此运动员来自瑞典，则甲､乙､丙三人都猜测错误，与题设矛盾，故此运动员不来自瑞典；

③若此运动员来自挪威，则甲､乙､丙三人中只有甲猜测正确，与题设相符，故此运动员来自挪威；

④若此运动员来自芬兰，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测是正确，与题设矛盾，故此运动员不来自芬兰；

⑤若此运动员来自冰岛，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自冰岛.

综上可知，此运动员只能是来自挪威.

故选：B

10. 有如下四个命题，其中正确命题的序号是（    ）

①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位；

②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，越接近于0，表示回归效果越好；

③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越小，则“X与Y有关系”的把握程度越小；

④在一组样本数据（，），（，），…，（，），（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为.

A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①③④

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据线性回归的相关概念，解析回归方程的意义，逐个选项进行判断即可.

【详解】对于①，在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，①正确；

对于②，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故②错误；

对于③，对分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，则“X与Y有关系”的把握程度越小，故③正确；

对于④，相关系数反映是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中样本数据的线性相关系数为，故④错误.

故选：A

11. 某实验室在对细胞分裂的研究过程中发现，某种细胞的分裂速度y与细胞所处的温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）进行拟合.设，其变换后得到一组数据：

由上表可得线性回归方程为，则当时，估计该细胞的分裂速度y的值为（    ）

A. 4.9 B.  C. 5.9 D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由回归直线过样本中心可得，进而代入自变量求估计值.

【详解】由表格数据得：，

，

代入，得：，

所以，即，

从而有，当时，.

故选：D.

12. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男､女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占女生调查人数的.若有99%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的学生中男生人数可能为（    ）

附表：

附：.

A. 135 B. 145 C. 146 D. 150

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】设参加调查的男生､女生各x人，然后完善列联表数据，计算出对比临界值，结合，且x是15的整数倍即可求出结果.

【详解】设参加调查的男生､女生各x人，依题意填写22列联表，如下：

若有99%的把握认为是否支持该政策与性别有关，则，

即，解得，由题意知，且x是15的整数倍，所以x取150.

故选：D.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某高中建立了本校女学生的身高和预报体重的回归方程为：，其中，的单位分别是，，则此方程在样本处的残差的绝对值是___________.

【13题答案】

【答案】1.5

【解析】

【分析】利用回归直线方程，求出的估计值，然后求解残差的绝对值.

【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是，当时，，此方程在样本处残差的绝对值：.

故答案为：1.5.

14. 若复数，为虚数单位）的实部和虚部相等，则___________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】化简可得，进而得到，再计算模长即可

详解】依题意，，则，得，所以，所以.

故答案为：.

15. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为33，则输入的整数t的最大值为___________.

【15题答案】

【答案】32

【解析】

【分析】利用程序框图的功能一一循环，直至终止循环求解.

【详解】第一次循环，，不成立；

第二次循环，，不成立；

第三次循环，，不成立；

第四次循环，，，不成立；

第五次循环，，，成立；

所以，

则输入的整数t的最大值为32.

故答案为：32.

16. 在样本点的散点图中，所有的点都在曲线附近波动.经计算，，，则实数b的值为___________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据样本中心点满足线性回归方程，代入计算即可

【详解】令，则为，

，，

因为样本中心点在回归直线上，所以，可得.

故答案为：.

三､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

17. 请选择适当方法证明.

（1）已知，，且，证明：；

（2）已知，，，证明：a，b中至少有一个不小于0.

【17题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）方法一：利用做差法，对因式分解，判断正负即可得出结论；即可证明；方法二：利用综合法即可证明；

（2）结合反正法假设a､b都小于0，推出矛盾即可得出结论.

【小问1详解】

方法一（做差法）：

因为，

，

因为且，，所以，

所以，得证

方法二（综合法）：因为，，且，

所以，，所以，

展开得：，

所以，

即，得证

【小问2详解】

（反证法）假设a､b都小于0，即，，则有，

因为，，，

则，

这与假设所得相矛盾，因此，假设不成立.

所以，a､b中至少有一个不小于0.

19. 已知复数，，，为虚数单位.

（1）若是纯虚数，求实数m的值；

（2）若，求实数m的值.

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解.

（2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解.

【小问1详解】

化简，，

，

因为为纯虚数，

则，解得

【小问2详解】

因为，

则，解得.

21. 开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在教材选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，很多平面图形可以推广为空间图形.如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等.如图1，在三角形ABC中，已知，若，则.类比该命题：

（1）如图2，三棱锥A—BCD中，已知平面ABC，若A点在三角形BCD所在的平面内的射影为M，你能得出什么结论；

（2）判断该命题的真假，并证明.

【21题答案】

【答案】（1）答案见解析；   

（2）真命题，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用类比推理可得命题；

（2）利用线面垂直的判定定理及性质可得，，进而可得，然后利用面积公式即得.

【小问1详解】

命题是：在三棱锥中，已知平面ABC，若A点在三角形BCD所在的平面内的射影为M，则有；

【小问2详解】

该命题为真命题.

证明如下：

连接DM并延长交BC于点E，连接AE，

因为平面ABC，AE､平面ABC，

所以，.

因为平面BCD，DE､平面BCD，

所以，.

因为，

所以平面ADE.

因为AE､平面ADE，

所以，，

因为，，

所以，，

所以，，

所以，，

即.

23. 2022年年度大剧《人世间》自1月28日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂.某调研机构为了解某社区居民对该剧的收视情况，随机抽取了该社区年龄在30~60岁的600名居民进行调查，经统计，其中男性居民与女性居民的人数之比是.收看本剧的居民比没有收看本剧的居民多300人，女性居民中仅有60人没有收看本剧.

（1）完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关？

（2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5人，若要从这5人中随机选出2人对其做进一步的观剧感受访谈，求选出的2人中至少有一位是男性居民的概率.

附：，其中.

【23题答案】

【答案】（1）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题目信息完善列联表数据，进而计算出，对比临界值即可得出结论；

（2）根据古典概型的计算公式即可求出结果.

【小问1详解】

由题意，调查的600名居民中，男性与女性居民的人数之比是9：11，故男性有人，女性有人.

因为收看过本剧的居民比没有收看过的居民多300人，所以收看过本剧的居民有450人，

没有收看过本剧的居民有150人；

因为没有收看过本剧的女性有60人，所以收看过本剧的女性居民有270人，没收看过本剧的男性有90人.完成22列联表，如下：

所以，

所以有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关.

【小问2详解】

收看过电视剧《人世间》的共有450人，从中抽取5人，抽到的男性人数､女性人数分别为：（人），（人），

记2名男性分别是a，b；3名女性分别是A，B，C.

则从5人中选出2人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，

共10个；选出的2人中至少有一位是男性的事件有7个.

所以选出的2人至少有一位是男性的概率.

25. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”，近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车某区域销售在2021年11月至2022年3月这5个月的销售量y（单位：百辆）的数据如下表：

（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码x与该品牌的新能源汽车区域销售量y（单位；百辆）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01.）

（2）求销售量y与月份代码x之间的线性回归方程，并预测2022年4月份该区域的销售量（单位：百辆）.

参考数据：，，，参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.

【25题答案】

【答案】（1）有较高的线性相关程度   

（2），80.8百辆

【解析】

【分析】（1）根据所给数据算出相关系数即可；

（2）根据所给数据和公式算出答案即可.

【小问1详解】

由表中数据可得，，

所以，又，，

所以.

所以月份代码x与销售量y（单位：百辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量y与月份代码x之间的关系.

【小问2详解】

由表中数据可得，

则，所以，

令，可得（百辆），

故可预测2022年4月该品牌新能源汽车该区域的销售量为80.8百辆.

27. 椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线

（1）设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；

（2）设椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值，类比椭圆的性质：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想的值，并证明.

【27题答案】

【答案】（1）猜想：，证明见解析   

（2）猜想：，证明见解析

【解析】

【分析】（1）设，，，再表示，最后根据A，B满足椭圆的方程式化简即可

（2）设，再根据，求得直线PA方程为，得到点M坐标，表达出，同理得到，再根据满足双曲线方程代入化简即可

【小问1详解】

猜想：.

证明：设，，，则有

，，

则.

将A，B的坐标代入椭圆方程中得：①，②，

①-②得：，，即.

【小问2详解】

猜想：

证明：由题意得，，设，则，

所以直线PA方程为.

令，则，所以点M坐标为.

又，所以；同理可得：.

所以，又因为，

所以，得证.

【点睛】本题主要考查了利用圆锥曲线上的点满足圆锥曲线的方程，进而化简所求表达式的值的方法，需要根据题意根据相关直线的方程联立求解得出相关点的坐标，再化简求解，属于中档题