2021-2022学年上海师大第三附属实验学校八年级（下）期中数学试卷(含解析 )

2021-2022学年上海师大第三附属实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 一次函数在轴上的截距是

A.  B.  C.  D.

2. 下列关于的方程一定有实数根的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件，是必然事件的是

A. 掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是
B. 掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C. 打开电视，正在播广告
D. 抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面

4. 如图反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中，汽车离开甲地的距离千米与所用时间分之间的函数关系．已知汽车在途中停车加油一次，根据图象，下列描述中，不正确的是

A. 汽车在途中加油用了分钟
B. 汽车在加油前后，速度没有变化
C. 汽车加油后的速度为每小时千米
D. 甲乙两地相距千米
 

5. 点、、、在同一平面内，若从、、、这四个条件中选两个，能证明四边形是平行四边形的组合有种．

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题为假命题的是

A. 四个内角相等的四边形是矩形
B. 对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C. 一组邻边相等的矩形是正方形
D. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

二、填空题（本大题共14小题，共28分）

7. 方程在实数范围内的解是______．
8. 一次函数与轴的交点坐标为______．
9. 换元法解方程时，可设，那么原方程变形为______．
10. 某件商品连续两次降价后，零售价由原来的元降为元，设此商品平均每次降价的百分率为，则恨据题意列出的方程是______．
11. 已知一次函数的图象过点，且与直线平行，则函数的解析式是______．
12. 有一个正多边形，它的内角和等于外角和，那么这个正多边形的边数是______ ．
13. 如图，在▱中，，则的度数为______．
    
     

14. 已知葵形中，对角线，，则菱形的面积是______．
15. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为______．
     

16. 平行四边形中，，，对边和的距离是，则对边和间的距离是______．
17. 如图，在平行四边形中，，，于，则 ______ 度．
    
     

18. 小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是______．
19. 某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______．
20. 如图，在直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴上，，，将绕着点顺时针旋转，使得点落在点处，点落在点处，联结、那么的余切值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

21. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共54分）

22. 解方程组：
23. 解方程：．
24. 如图，在平行四边形中，，分别是对角线上的两点，且求证：．

25. 一项工程，甲、乙两人合作天可完成，若甲单独做天后，剩下的由乙独做还需天才能完成．甲、乙两人单独完成此项工程各需多少天．
26. 已知：如图，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与反比例函数的图象交于点，若的面积为求一次函数的解析式．
    
    
     

27. 如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值．
     

28. 已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，
    求证：四边形为矩形；
    当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
     

29. 如图，在直角坐标系中，点和点，直线与轴正半轴交于点，过点作，垂足为，联结．

求的长；
    当时，求点的坐标；
    在的条件下，已知点在直角坐标平面内，如果  以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：当时，，
一次函数在轴上的截距是．
故选：．
代入求出值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“代入，求出的值即为一次函数图象在轴上的截距”是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、方程，
整理得：，
当时，方程无解；
当时，方程解为，
不符合题意；
B、方程，
整理得：，
当时，方程无解；
当时，方程无解；
当时，方程的解为，
不符合题意；
C、方程，
解得：，符合题意；
D、方程，
整理得：，
当，即时，方程解为；
当时，方程无解，
不符合题意．
故选：．
分类讨论的范围确定出各方程的解，确定出一定有实数根的即可．
此题考查了解一元二次方程直接开平方法，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、、都可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D、一定发生，是必然事件，符合题意．
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】

【解析】解：、图中加油时间为至分钟，共分钟，故本选项正确；
B、汽车加油前的速度为千米分；汽车加油后的速度为千米分；汽车在加油前后，速度发生了变化，故本选项错误；
C、由可知，汽车加油后的速度为千米时；故本选项正确；
D、由图可知，甲、乙两地相距千米；故本选项正确．
故选：．
根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．
此题考查了函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：路程速度时间．
 

5.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有种，分别是：、、、．
故选：．
根据平行四边形的判定方法中，、、、均可判定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；
D、两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，是假命题，符合题意，
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】

【解析】解：由，得
，
，
故答案为：．
看作是求的立方根．
本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，，则与轴的交点坐标为，
故答案为：
利用函数解析式计算出当时的值即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数与轴的交点坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题中所设可得，
原方程变形为．
故答案为．
设，关键是明确方程各分式与的关系，将代入即可．
本题考查用换元法整理分式方程的能力，用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是而不是．
 

11.【答案】

【解析】解：设直线的解析式为，
直线直线平行，
，
，
把代入得，解得，
故直线的解析式为．
故答案为：．
设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点的坐标代入可计算出．
本题考查了两直线平行或相交的问题：直线和直线平行，则；若直线和直线相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
 

12.【答案】

【解析】解：设多边形有条边，由题意得：
，
解得．
故答案为．
设多边形有条边，则内角和为，再根据外角和等于列方程解答即可．
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为．
 

13.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，，，
菱形的面积；
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
本题考查了菱形的性质；数据菱形的面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：由题意可得，，
，，
点的坐标为，
则点的坐标为．
故答案为：．
根据菱形的性质，作轴，先利用三角函数求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标．
本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，解答本题的关键有两点，掌握菱形的四边相等，理解三角函数的定义，及各三角函数在直角三角形中的表示形式．
 

16.【答案】

【解析】解：设对边和间的距离是，
根据平行四边形的面积公式可得：，
可得．
故答案为．
根据平行四边形的面积公式求解即可．
此题考查平行四边形的性质，“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．
 

17.【答案】

【解析】解：，
；
，
，
，
，
．
故答案为：．
平行四边形对角相等，所以可先求出，在等腰三角形中，利用等边对等角这一性质，可以求出，再利用直角三角形两锐角互余即可求解．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

18.【答案】

【解析】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，符合条件的结果有个，
小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是，
故答案为：．
画树状图，展示所有种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】

【解析】解：设每盒茶叶的进价为元．根据题意得
．
故答案为：．
等量关系为：总售价总进价．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
 

20.【答案】

【解析】解：绕着点顺时针旋转，点落在点处，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，直线的解析式为，
设与轴相交于点，则点的坐标为，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质写出点的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再设与轴相交于点，求出点的坐标，再求出，然后根据锐角的余切值等于邻边比对边列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化旋转，锐角三角函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，作出图形并确定出以为锐角的直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：方程两边同乘，得，
整理，得，
，
，．
经检验：，都是原方程的根．
所以原方程的根是，．

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
本题考查解分式方程的能力．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

22.【答案】解：方法：由得：，
代入化简得，解得，，
分别将，代入，得，．
原方程组的解为．

方法：由得、或分
原方程组可化为分
解这两个方程组，得原方程组的解为分

【解析】由可知，代入可得一个关于的一元二次方程，进行解答，求出值，再进一步求即可．
解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
 

23.【答案】解：，
，
，
化简，得
，
，
或，
解得，，，
经检验，不是原方程的根，是原方程的根，
故原方程的根是．

【解析】根据解无理方程的方法可以解答此方程．
本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法，注意最后要检验．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
≌．
．

【解析】根据已知条件利用来判定≌，从而得出．
此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
 

25.【答案】解：设甲、乙单独完成此项工程各自需要，天，
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程组的解．
答：甲单独完成此项工程需要天，乙单独完成此项工程需要天．

【解析】可以设甲、乙单独完成此项工程各自需要，天，根据甲、乙两人合作，天可以完成；甲独做天后，剩下的由乙做，还需天才能完成，即可列方程组求得，的值；
本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题目中的相等关系，理解工作时间、工作量、工作效率之间的关系是解题关键．
 

26.【答案】解：反比例函数的图象交于点，
，
，
的面积为，
，
，
，
设一次函数，
代入、的坐标得，
解得
即一次函数的解析式为．

【解析】根据题意，可以求得点的坐标，从而可以得到这两个函数的解析式；
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积以及待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解答本题的关键．
 

27.【答案】解：四边形为菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
的值为．

【解析】由四边形为菱形可得，设，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形与菱形的性质是解题的关键．
 

28.【答案】证明：在中，，，
，
是外角的平分线，
，
，
又，，
，
四边形为矩形．

当满足时，四边形是一个正方形．
理由：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
当时，四边形是一个正方形．

【解析】根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形为矩形．
根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由的结论可知四边形为矩形，所以证得，四边形为正方形．
本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识点的综合运用．
 

29.【答案】解：如图，，
，
，，
，
．

，，
，
，
在中，，


四边形是平行四边形，，，
，，
，
，同法可得，

【解析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
首先证明，在中，根据计算即可．
点有三种可能，利用平行四边形的性质，以及中点坐标公式即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质、锐角三角函数、直角三角形斜边中线定理、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．