2022年高考数学真题类汇编：03代数填空题容易题&基础题&中档题

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03代数填空题容易题&基础题&中档题 一、代数填空题容易题1．（2022•乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝　2　．【答案】2．【解析】解：∵2S3＝3S2+6，∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，∵{an}为等差数列，∴6a2＝3a1+3a2+6，∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．2．（2022•北京）函数f（x）＝+的定义域是 　（﹣∞，0）∪（0，1]　．【答案】（﹣∞，0）∪（0，1]．【解析】解：要使函数f（x）＝+有意义，则，解得x≤1且x≠0，所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．3．（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　（1，2）　．【答案】（1，2）．【解析】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．4．（2022•上海）不等式＜0的解集为 　（0，1）　．【答案】（0，1）．【解析】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．5．（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝　2﹣i　．【答案】2﹣i．【解析】解：∵z＝2+i，∴．二、代数填空题基础题6．（2022•浙江）已知函数f（x）＝则f（f（））＝　　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　3+　．【答案】；3+．【解析】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．7．（2022•甲卷）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝　﹣　．【答案】﹣．【解析】解：∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，∴＝m+3（m+1）＝0，则m＝﹣，8．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）　．【答案】（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【解析】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），9．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 　x﹣ey＝0　，　x+ey＝0　．【答案】x﹣ey＝0，x+ey＝0．【解析】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，10．（2022•乙卷）若f（x）＝ln|a+|+b是奇函数，则a＝　﹣　，b＝　ln2　．【答案】﹣；ln2．【解析】解：f（x）＝ln|a+|+b，若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，∴x≠1且x，∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，∴f（x）＝ln||+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，由f（0）＝0得，ln+b＝0，∴b＝ln2，11．（2022•甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+）•＝　11　．【答案】11．【解析】解：由题意可得，则．12．（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　3　．【答案】3．【解析】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．13．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　﹣　．【答案】﹣．【解析】解：建立平面直角坐标系如下， 则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，∴•的最小值为﹣．三、代数填空题中档题14．（2022•北京）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是 　①③④　．【答案】①③④．【解析】解：对于①n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2•S2＝9，可得a2•（a1+a2）＝9，可得a2＝＜3，故①正确；对于②，当n≥2时，由得，于是可得，即，若{an}为等比数列，则n≥2时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；对于③，因为an•Sn＝9，an＞0，a1＝3，当n≥2时，Sn＝，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＞0，所以＞⇒＞⇒an＜an﹣1，所以{an}为递减数列，故③正确；对于④，假设所有项均大于等于，取n＞90000，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；15．（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 　[12+2，16]　．【答案】[12+2，16]．【解析】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A1（0，1），，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，A7（﹣1，0），，设P（x，y），则2+2+…+2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2＝8（x2+y2）+8，∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤8（x2+y2）+8≤16，即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，16．（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 　　．【解析】解：对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，故仅需满足f′（x0）＞0，即：⇒⇒⇒，解得：，又因为0＜a＜1，故综上所述：a的取值范围是．17．（2022•上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　2　．【答案】2．【解析】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．