2021-2022学年河北省石家庄市平山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省石家庄市平山县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法中不正确的是

A. 三个角度之比为：：的三角形是直角三角形
B. 三边之比为：：的三角形是直角三角形
C. 三个角度之比为：：的三角形是直角三角形
D. 三边之比为：：的三角形是直角三角形

3. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是

A. 一组对边相等 B. 一组对角相等
C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分

4. 下列说法正确的是

A. 若，则 B. ，则
C.  D. 的平方根是

5. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是

A.
B.
C.
D.

6. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，、两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了、间的距离：先在外选一他点，然后测出，的中点、，并测量出的长为，由此他就知道了、间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是

A.  B.  C.  D.

8. 已知是一个正整数，是整数，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是

A. 四边相等 B. 对角线相等
C. 对角相等 D. 对角线互相垂直

11. 化简的结果为

A.  B.  C.  D.

12. 平行四边形的一条边长是，那么它的两条对角线的长可能是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

13. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是

A.
B.
C.
D.

14. 如图，设是▱一边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则

A.  B.  C.  D. 不能确定

15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是

A.
B.
C.
D.

16. 已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：
    ≌；
    点到直线的距离为；
    ；
    ；
    ．
    其中正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共10分）

17. 一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为______．
18. 如图，正方形中，，若，则的度数是______．
    
    
     

19. 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为元，楼梯宽为，则地毯的长为______米，购买这种地毯至少需要______元．
     

三、计算题（本大题共2小题，共17分）

20. ．
    ．
21. 若，先化简再求的值．

四、解答题（本大题共5小题，共51分）

22. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，的三个顶点都在格点上，已知，，画出，并判断是不是直角三角形．
    
     

23. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？假设绳子是直的，结果保留根号
24. 如图，在四边形中，，，．
    求证：；
    若，，，求、的度数及四边形的周长．
25. 在中，于点，点为边的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
    如图，求证：四边形是矩形；
    如图，当时，取的中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形不包括矩形．

26. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．
    求证：四边形为菱形；
    当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动；
    当点与点重合时如图，求菱形的边长；
    若限定、分别在边、上移动，求出点在边上移动的最大距离．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

2.【答案】

【解析】解：不正确，因为根据三角形内角和定理求得各角的度数，其中没有直角；
B正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
C正确，根据内角和公式求得三角的度数，有直角；
D正确，因为其三边符合勾股定理的逆定理；
故选：．
根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
判定直角三角形可用勾股定理的逆定理或用求角中是否有角等于度来判定．
 

3.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的判定可知，只有满足条件，故选D．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法知D正确．
平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
 

4.【答案】

【解析】解：、若，则，错误；
B、，则，错误；
C、，正确；
D、的平方根是，错误．
故选：．
根据二次根式的意义化简，逐一判断．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当时，，当时，注意最简二次根式的条件是：被开方数的因数是整数，因式是整式．被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备缺一不可的二次根式叫最简二次根式．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
【解答】
解： 米， 米，
，
，
米，
这棵树在折断之前的高度是 米．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：已知，，三点的坐标分别是，，，
在轴上，
点与点的纵坐标相等，都为，
又点相对于点横坐标移动了，
点横坐标为，
即顶点的坐标．
故选：．
因为点坐标为，由平行四边形的性质，可知点的纵坐标一定是，又由点相对于点横坐标移动了，故可得点横坐标为，即顶点的坐标．
本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余补角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．
 

7.【答案】

【解析】解：，，
，，
，
，
故A、、D正确，
故选：．
根据三角形的中位线定理即可判断；
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
 

8.【答案】

【解析】解：，若是整数，则也是整数；
的最小正整数值是；
故选：．
先将中能开方的因数开方，然后再判断的最小正整数值．
解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简．
 

9.【答案】

【解析】

【解答】
解：
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
， ，
四边形 是菱形，
四边形 的周长为： ．
故选： ．
【分析】
本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形 是菱形是解此题的关键．
由 ， ，可证得四边形 是平行四边形，又由四边形 是矩形，根据矩形的性质，易得 ，即可判定四边形 是菱形，则可求得答案．   

10.【答案】

【解析】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：．
根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：





，
故选：．
利用积的乘方的法则，二次根式的相应的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，积的乘方，解答的是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】

【解析】解：、，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B、，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C、，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D、，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
故选：．
根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
主要考查了平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形的性质．并结合三角形的性质解题．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
在矩形 中根据 得出 ，由折叠的性质可得 ， ， ， ， 根据直角三角形的性质得出 ，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：在矩形 中，
，
，
由折叠的性质得 ， ， ， ，
．
在 中，
，
，而 ，
，
，即 ，
， ，
，
矩形 的面积 ．
故选： ．   

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
的面积为高，的面积为高，的面积为高，
而它们的高都是等于平行四边形的高，
高高高高高，
则，，的大小关系是．
故选：．
根据平行四边形的性质得到，而的面积为高，的面积为高，的面积为高，这样得到高高高高，由此则可以推出，，的大小关系．
本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
四边形是菱形；
当时，
，
则时，菱形是正方形．
，，


菱形是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当时，无法得出菱形是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，进而得出四边形是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，
又，，
≌故正确；
≌，
，
又，，
，
故正确；
过作，交的延长线于，
，，
，
又中，，
，
又，
故不正确；
如图，连接，在中，
，
，
又，
，
≌，
，
故不正确．
，，
在中，，
故正确；
故选：．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；过作，交的延长线于，利用中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积；连接，求出的面积，然后减去的面积即可．
本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．
 

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先设三角形的三边长分别为 ， ， ，再由其周长为 求出 的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】
解： 三角形的三边长的比为 ： ： ，
设三角形的三边长分别为 ， ， ．
其周长为 ，
，解得 ，
三角形的三边长分别是 ， ， ．
，
此三角形是直角三角形，

故答案为： ．   

18.【答案】

【解析】解：过做于，则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
过做于，则，易证≌，即可得，根据直角三角形内角和为即可求得．
本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】

 

20.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】根据平方差和完全平方公式计算；
根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

21.【答案】解：
．
，
原式．
把代入得：
．

【解析】本题考查了二次根式的化简求值与分式的化简求值，难度不大，关键是把二次根式化为最简再代入求值．
根据，先把化成最简二次根式，然后代入的值即可得出答案．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．

，，
，
，
，
是直角三角形．

【解析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
根据勾股定理结合网格结构，画出，，求出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形．
 

23.【答案】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
，
．
答：船向岸边移动了．

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
．
又，
四边形为平行四边形，
，
，即；

，
，
，
．
由知，四边形是平行四边形，
，，．
，，
四边形的周长．

【解析】首先判断四边形和四边形为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”推知，，由等式的性质证得结论；
根据平行四边形的对边平行，平行线的性质以及平行四边形的对角相等进行解答．
考查了平行四边形的性质，解题的关键是平行四边形的判定，与平行四边形的性质的综合应用．
 

25.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
线段、线段、线段都是的中位线，又，
，，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形．

【解析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
由≌，推出，又，推出四边形是平行四边形，根据，即可推出四边形是矩形．
根据平行四边形的判定即可求解．
 

26.【答案】证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，
点与点关于对称，
，，，
又，
，
，
，
，
四边形为菱形；
解：四边形是矩形，
，，，
点与点关于对称，
，
在中，，
；
在中，，，
，
解得：，
菱形的边长为；
当点与点重合时，如图：
点离点最近，由知，此时；
当点与点重合时，如图所示：
点离点最远，此时四边形为正方形，，
点在边上移动的最大距离为．

【解析】由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论；
由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；
当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．