2021-2022学年广西南宁市宾阳县宾阳中学高二3月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年广西南宁市宾阳县宾阳中学高二3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（       ）

A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒

【答案】C

【解析】根据导数的物理意义可求得结果.

【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是在时的导数值，

因为，所以物体在3秒末的瞬时速度是米/秒.

故选：C

2．函数y=x2㏑x的单调递减区间为

A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）

【答案】B

【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B

考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域

3．定积分等于

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果．

【详解】由题意可知定积分表示半径为的半个圆的面积，所以，选B.

【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．

(1)画出图形，确定图形范围；

(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；

(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；

(4)计算定积分，求出平面图形的面积．

2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．有些由函数的性质求函数的定积分．

4．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b

又因为在x=1处有极值

∴a+b=6

∵a＞0，b＞0

∴

当且仅当a=b=3时取等号

所以ab的最大值等于9

故选D

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由三角形面积为，，所以阴影部分面积为，所求概率为

【解析】定积分及几何概型概率

6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（       ）

A．[0，1) B．(0，1)

C．(－1，1) D．

【答案】B

【分析】对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.

【详解】由题意，＝3x2－3a＝3(x2－a),

当a≤0时，＞0，

∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.

当a＞0时，＝3(x－)( x＋),不妨只讨论时

当x＞，，f(x)为增函数，当0＜x＜时，, f(x)为减函数，

∴f(x)在x＝处取得最小值，

∴＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.

故选：B.

7．曲线上的点到直线的最短距离是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】在曲线上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．

【详解】设曲线上的一点是，，且过的切线与直线平行．

由，所以切线的斜率．

解得，．

即到直线的最短距离是．

故选：B

8．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】不妨设与轴的四个交点的横坐标从左到右分别为、、、，结合导函数图象，得到的单调性，即可判断；

【详解】解：不妨设与轴的四个交点的横坐标从左到右分别为、、、，易知，由图可知当时函数单调递增，当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减，结合选项可知只有C选项满足条件；

故选：C

9．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．

10．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是（　　　）

A．[0,) B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以，选A.

【解析】导数的几何意义、正切函数的值域.

11．若函数在上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：对恒成立，

故，即恒成立，

即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．

【解析】三角变换及导数的应用

【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是______．

【答案】

【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.

【详解】由题意可得：，

若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，

即：，整理可得：整理可得：，

据此可知的取值范围是或.

【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

14．设，则=________．

【答案】.

【分析】首先根据函数是分段函数，所以将定积分转化为两段，利用微积分定理求得结果.

【详解】∵，

∴，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关定积分的求解问题，涉及到的知识点有利用微积分定理求定积分的值，在解题的过程中，注意对分段函数应该分段来处理，属于简单题目.

15．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【详解】因为，所以函数是奇函数，

因为，所以数在上单调递增，

又，即，所以，即，

解得，故实数的取值范围为．

点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．

16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．

【答案】

【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.

【解析】导数的几何意义

【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．

注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．

三、解答题

17．已知曲线

(1)求曲线在点处的切线方程．

(2)求曲线过点的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得函数的导数，得到曲线在点处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）设切线坐标为，得出切线的方程为，根据点在切线上，列出方程求得的值，代入即可求解.

【详解】(1)由题意，函数，可得，

所以，即曲线在点处的切线的斜率为，

所以所求切线方程为，即.

(2)解：设切点坐标为，则切线的斜率为，

所以切线的方程为，

因为点在切线上，可得，解得，

所以所求切线的方程为，即.

18．已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 单调递增区间是，单调递减区间是

【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间

试题解析：（I） ，

由已知，，

（II）由（I）知，.

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，，

当时，从而.

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.

【解析】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义

19．某车间生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该车间制造电子元件的过程中，次品率与日产量的函数关系是：．

（1）写出该车间的日盈利额（元）与日产量（件）之间的函数关系式；

（2）为使日盈利额最大，该车间的日产量应定为多少件？

【答案】（1）；（2）当时，最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

【详解】试题分析：（1）)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，正品数为x(1－P)，即可写出函数；（2）利用导数求导，令导数为0，即可求出函数的最值.

试题解析：

(1)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，

正品数为x(1－P)．

因为次品率P＝，当每天生产x件时，

有x·件次品，有x件正品，

所以T＝200x－100x·

＝25·.

(2)T′＝－25·，

由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)

当0<x<16时，T′>0；当x>16时，T′<0；

所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．

20．已知函数在点处取得极值.

(1)求的值；

(2)若有极大值，求在上的最小值．

【答案】(1) ;(2) .

【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．

（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．

【详解】解：因.故

由于在点x=2处取得极值c-16.

故有即化简得解得a=1，b=-12.

（2）由（1）知；

.

令，得，.

当时，，故在上为增函数；

当时，，故在上为减函数；

当时，，故在上为增函数.

由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.

由题设条件知16+c=28，得c=12.

此时，，，因此在上的最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.

22．已知函数．

(1)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

(2)若在时恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围，

（2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可

【详解】(1)由，得，

因为在区间上是增函数，

所在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为在上为增函数，

所以满足题意只需，得，

所以的取值范围为

(2)因为

所以 即在时恒成立，                                                                                                                 

令 ，，则，

所以在上递减，

所以，

所以，

所以的取值范围为