高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册3 简谐运动的回复力和能量学案设计

第3节 简谐运动的回复力和能量

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点 简谐运动的回复力

在 回复力①的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。

如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比②，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

自主思考

①（1）回复力的方向总是与位移的方向相反吗？

（2）回复力为0时，物体所受合力一定为0吗？

（3）如图所示， 和 保持相对静止，在弹簧的作用下一起在光滑的水平面上做简谐运动。 的回复力由谁提供？

答案：（1）提示 回复力的方向总是指向平衡位置，而位移的方向是由平衡位置指向物体所在位置，所以回复力的方向总是与位移的方向相反。

（2）物体做简谐运动回到平衡位置时，回复力为0，但合力可能不为0。例如：物体沿圆弧做简谐运动，如图所示。当小球运动到圆弧的最低点（平衡位置）时，回复力为0，小球所受的合力用来提供向心力，所以小球所受的合力不为0。

（3）由 对 的静摩擦力提供。

②（1）公式 中的 是否就是指弹簧的劲度系数？

（2）弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力如何变化？从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢？

答案：（1）提示 不一定。做简谐运动的物体，其回复力特点为 ，这是判断物体是否做简谐运动的依据，但 不一定是弹簧的劲度系数。

（2）由回复力 可知：从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力逐渐增大，方向一直指向平衡位置。从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力逐渐减小，方向一直指向平衡位置。

名师点睛

1.简谐运动是一种变加速的往复运动。物体离开平衡位置的运动是加速度不断增大的减速运动，物体向着平衡位置的运动是加速度不断减小的加速运动。

2.回复力 和加速度 是简谐运动的动力学特征和运动学特征。一个物体是否做简谐运动，在它满足了在平衡位置附近做振动的运动特征后，就看它是否满足 或 。

3.回复力可以由某一个力提供（如弹力），也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力，而并非是物体所受的合力。

互动探究·关键能力

探究点一 简谐运动的回复力

情境探究

1.如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型， 点为振子的平衡位置， 间和 间距离都是 。

（1）振子在 点时受到几个力的作用？分别是什么力？

（2）振子在 点时受到哪些力的作用？

（3）除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在 点还受到回复力的作用吗？

答案：（1）提示 两个力；重力、支持力。

（2）在 点时，受重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；在 点时，受重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。

（3）不受。回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种另外受到的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力。

探究归纳

1.回复力

做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力，叫作回复力，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置。回复力是根据力的作用效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。

2.简谐运动的动力学特征：

（1）凡是满足 的运动都是简谐运动。 是比例系数，并非一定是弹簧的劲度系数（水平弹簧振子中 为弹簧的劲度系数），其值由振动系统决定，与振幅无关。

（2）“ ”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。

（3）判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力 与位移 之间的关系，若满足 ，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动。

3.间歇运动的运动学特征：加速度

（1） 可以简化为 ，表示加速度跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。当然 也可以写为 ，这里用 表示是为了与 的比例系数相区别， 。

（2） 表明简谐运动是变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。

（3）判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。 与 都可以作为判断的依据。

探究应用

例 （多选）如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧的劲度系数分别为 和 ，且 ，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在 间振动， 为平衡位置（不计阻力）。设向右为正方向，物体相对 点的位移为 ，则下列判断正确的是(      )

A.物体做简谐运动，

B.物体做简谐运动，

C.物体所受合力

D.物体所受合力

答案： ;

解析：设物体的位移为 ，则物体所受的合力 ， 正确， 错误；可知物体做简谐运动，由简谐运动的对称性可得 ， 正确， 错误。

易错题醒 回复力是一种效果力，它不是振动物体另外受到的一种力，所以对振动物体进行受力分析时，切忌添加回复力。

迁移应用

1.一根劲度系数为 的轻弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，让其上下振动，振幅为 ，当物体运动到最高点时，其回复力大小为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：在平衡位置时，回复力为零，有 。在下端最大位移处，回复力大小 。由对称性可知在最高点时的回复力大小也为 ，故 正确。

2.如图所示， 两物体组成弹簧振子，在振动过程中， 始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中 所受摩擦力 与振子的位移 关系的图像应为(      )

A. B.C.D.

答案：

解析： 整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故 也应做简谐运动，即 的回复力也应满足 ，即选 。当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出 受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中 始终保持相对静止，可以把 看成整体。设 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 ，则有 ，得 ， 受到的摩擦力 。

探究点二 简谐运动的能量

情境探究

1.你喜欢荡秋千吗？也许你很喜欢却荡不好。要知道，会荡秋千的人，不用别人帮忙助推，就能越摆越高，而不会荡秋千的人始终也摆不起来，知道这是什么原因吗？

答案：观察一下荡秋千高手的动作：他从高处摆下来的时候身子是从直立到蹲下，而从最低点向上摆时，身子又从蹲下到直立起来。由于他从蹲下到站直时，重心升高，无形中就对自己做了功，自身化学能转化为机械能，增大了重力势能。因而，每摆一次秋千，都使荡秋千的人自身机械能增加一些。如此循环往复，总机械能越积越多，秋千就摆得越来越高了。

探究归纳

1.简谐运动的能量

（1）不考虑阻力，水平弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻振动系统的动能与势能之和不变，即机械能守恒。

（2）简谐运动的机械能的大小由振子的振幅决定

对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。

（3）动能、势能随位置的变化情况

①在最大位移处，势能最大，动能为零。

②在平衡位置处，动能最大，势能最小。

（4）实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的物理模型。

2.简谐运动中各物理量的变化

如图所示，振子以 点为平衡位置在 、 之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：

总结：（1）在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。

（2）平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点。

（3）最大位移处是速度方向变化的转折点。

探究应用

例 如图所示为一弹簧振子的振动图像，在 各时刻中：

（1）哪些时刻振子有最大动能？

（2）哪些时刻振子有相同速度？

（3）哪些时刻振子有最大势能？

（4）哪些时刻振子有相同的最大加速度？

答案：（1） 时刻振子有最大动能（2） 时刻振子速度相同， 时刻振子速度相同（3） 时刻振子有最大势能（4） 时刻振子有相同的最大加速度

解析：由题图知， 时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大； 时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0。 时刻振子向负方向运动， 时刻振子向正方向运动，可知 时刻与 时刻虽然速率相同，但方向相反。 两时刻振子的位移相同， 时刻振子的位移虽然大小与 两时刻相同，但方向相反。由回复力知识可知 时刻与 时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反。

规律总结

对简谐运动能量的三点认识

（1）决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。

（2）能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。

（3）能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。

迁移应用

1.（多选）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 在 间振动，如图所示，下列结论正确的是(      )

A.小球在 位置时，动能最大，加速度最小

B.小球在 位置时，动能最小，加速度最大

C.小球从 经 到 的过程中，回复力一直做正功

D.小球从 到 的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变

答案： ; ;

解析：小球在平衡位置 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零， 项正确；在最大位移 处，动能为零，加速度最大， 项正确；由 ，回复力做正功，由 ，回复力做负功， 项错误；由 ，动能增加，弹性势能减少，总能量不变， 项正确。

2.（多选）弹簧振子做简谐运动，其位移 与时间 的关系如图所示，则(      )

A.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零

B.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零

C.在 时，速度最大，方向为正，加速度最大

D.在 时，速度最大，方向为正，加速度为零

答案： ;

解析：当 和 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 错误；当 时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负， 时，速度为负值，选项 正确；当 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 错误；当 时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项 正确。

评价检测·素养提升

课堂检测

1.如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：由 知 正确。

2.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(      )

A.振子所受的回复力逐渐增大

B.振子的位移逐渐增大

C.振子的速度逐渐减小

D.振子的加速度逐渐减小

答案：

解析：振子的位移由平衡位置指向振动物体所在位置，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小。而回复力大小与位移大小成正比，故回复力也减小。由牛顿第二定律 得，加速度也减小，物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大。

3.（多选）如图所示为某一质点的振动图像， ，由图可知，在 和 两个时刻，质点振动的速度 与加速度 的关系为(      )

A. ，方向相同B. ，方向相反

C. ，方向相同D. ，方向相反

答案： ;

解析：由图像知 两时刻质点都在沿 轴负方向运动，越靠近平衡位置，速度越大，回复力越小，加速度越小， 正确。

4.（多选）做简谐运动的弹簧振子，振子质量为 ，最大速度为 ，则下列说法中正确的是(      )

A.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零

B.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到 之间的某一个值

C.从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零

D.从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到 之间的某一个值

答案： ;

解析：相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反。因此由 可知， 正确， 错误。由于在开始计时时速度的大小未知，由 ， 可知， 错误， 正确。

素养视角

科学思维

简谐运动的判定

要判断一个物体的运动是不是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是不是机械振动，即看这个物体是不是做往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。然后找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着 轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为 ，则该物体的运动是简谐运动。

素养演练

1.如图所示，在劲度系数为 、原长为 的一端固定的弹簧下端挂一质量为 的小物块，释放后小物块上下振动，此过程中弹簧没有超出弹性限度。证明：小物块的振动是简谐运动。

答案：见解析

解析：如图所示，设小物块静止在平衡位置 时，弹簧的形变量为 ，有 。当小物块向下运动 时，小物块所受重力与弹簧弹力的合力提供小物块所需的回复力

设向下为正方向，有

可见小物块所受回复力的大小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反，且指向平衡位置，因此小物块的振动是简谐运动。

2.两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为 ，它们与一个质量为 的小球组成弹簧振子，静止时，两弹簧均处于原长，如图所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

答案：见解析

解析：以平衡位置为坐标原点建立坐标轴，设左右两边弹簧的弹力分别为 ，振子在平衡位置时 ，当振子离开平衡位置时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的力。设离开平衡位置的正位移为 ，则振子所受的合力为 。所以，弹簧振子的运动为简谐运动。

3.如图所示，一质点以速度 做半径为 的匀速圆周运动。试分析质点在 轴方向上的分运动是否为简谐运动。

答案：见解析

解析：质点从 运动到 ，在 点将速度分解，如图所示

点速度 沿 轴正方向，所以 即 轴方向经过平衡位置 点的速度

点在 轴方向的投影为 ，则

点加速度沿 轴方向的投影

由牛顿第二定律可得

  质点以速度 做半径为 的匀速圆周运动，其中 为常数，说明质点在 轴方向受到的合外力大小与位移大小成正比，方向相反，所以质点在 轴方向上的分运动符合简谐运动的特点