教科版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案

这是一份教科版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案，共24页。学案主要包含了圆周运动的实例分析★★★★☆☆，竖直面内的圆周运动★★★★☆☆，圆周运动的临界问题★★★★★☆等内容，欢迎下载使用。

问题分析
(1)运动轨迹是圆且在水平面内；
(2)向心力的方向沿半径指向圆心；
(3)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。
如图，小物体m与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是（ ）
A．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
B．摩擦力的方向始终指向圆心O
C．重力和支持力是一对作用力和反作用力
D．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力
【解答】解：AD中、由于物体随盘一起做匀速圆周运动，做圆周运动的物体需要向心力，这个向心力是由静摩擦力提供，物体还受重力和竖直向上的支持力，故A错误，D正确．
B、因为物体做圆周运动的圆心在O点，是由摩擦力的方向始终指向圆心充当向心力，故B正确．
C、重力和支持力作用在同一个物体上，大小相等，方向相反，是一对平衡力，故C错误．
故选：BD
如图所示，a、b、c三物体放在旋转水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相同．已知a的质量为2m，b和c的质量均为m，a、b离轴距离为R，c离轴距离为2R．当圆台转动时，三物体均没有打滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则（ ）
A．这时c的向心加速度最大
B．这时b物体受的摩擦力最小
C．若逐步增大圆台转速，c比b先滑动
D．若逐步增大圆台转速，b比a先滑动
【解答】解：A、a、b、c的角速度相等，根据a=rω2知，c的半径最大，则c的向心加速度最大．故A正确．
B、物体与圆盘一起做圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，fa=2mRω2，fb=mRω2，fc=m•2Rω2，可知a、c所受的摩擦力相等且最大，b物体受的摩擦力最小．故B正确．
C、根据μmg=mrω2得，ω=，知c的半径最大，则c的临界角速度最小，则c最先滑动，a、b的临界角速度相等，则a、b一起滑动．故C正确，D错误．
故选：ABC．
如图所示，MN为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m，其中心O处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A和B，A、B两球的质量相等．圆盘上的小球A作匀速圆周运动．问：
（1）当A球的轨道半径为0.1m时，它的角速度是多大才能维持B球静止？
（2）若将前一问求得的角速度减半，如何如何调整OA长度才能使A作圆周运动时B球仍能保持静止？
【解答】解：（1）对小球A进行受力分析：受到重力、支持力、绳子的拉力，重力和支持力相互抵消，绳子的拉力等于B球的重力并提供向心力，
根据向心力公式得：mω2r=mg
ω==10rad/s
（2）将前一问求得的角速度减半，要求B球仍静止，则绳子的拉力等于B球的重力并提供向心力，
根据向心力公式得：
解得：r′=0.4m
答：（1）当A球的轨道半径为0.1m时，它的角速度为10rad/s才能维持B球静止；
（2）若将前一问求得的角速度减半，将A球圆运动的轨道半径增大到0.4m才能使A作圆周运动时B球仍能保持静止．
【过关检测】
如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是（ ）
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
【解答】解：当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，乙物体靠甲的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，松手后，乙所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，乙要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是甲所需要的向心力小于甲的最大静摩擦力，所以甲仍保持相对圆盘静止状态，故A、B、C选项错误，D选项正确．
故选D．
线段OB=AB，A、B两球质量相等，它们绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图所示，两段线拉力之比TAB：TOB？
【解答】解：设OB=AB=r，角速度为ω，每个小球的质量为m．
则根据牛顿第二定律得：
对A球：TAB=mω2•2r
对B球：TOB﹣TAB=mω2•r
联立以上两式得：TAB：TOB=2：3
故答案为：2：3．
如图所示，质量为m的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上．轻绳长度为L．现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度ω做匀速圆周运动．求：
（1）物体运动一周所用的时间T；
（2）绳子对物体的拉力．
【解答】解：（1）物体作匀速圆周运动的角速度ω=
所以，
（2）绳子拉力F提供物体向心力，有 F=mLω2
答：（1）物体运动一周所用的时间为．
（2）绳子对物体的拉力为mLω2．
二、圆周运动的实例分析★★★★☆☆
火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一样高，则火车转弯时（ ）
A．对外轨产生向外的挤压作用B．对内轨产生向外的挤压作用
C．对外轨产生向内的挤压作用D．对内轨产生向内的挤压作用
【解答】解：火车在水平轨道上转弯时，做圆周运动，需要有力提供指向圆心的向心力，即方向指向内侧，此时外轨对火车的压力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，火车对外轨产生向外的压力作用．
故选A
铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，如图所示，已知内外轨道平面对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，则质量为m的火车在该弯道处转弯时，（ ）
A．若火车行驶速度等于，则内外轨道均不受挤压
B．若火车行驶速度太小，内轨对内侧车轮轮缘有挤压
C．若火车行驶速度太小，外轨对外侧车轮轮缘有挤压
D．若火车行驶速度等于，这时铁轨对火车的支持力等于
【解答】解：火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，由图可以得：
F合=mgtanθ（θ为轨道平面与水平面的夹角）
合力等于向心力，故有：
mgtanθ=
解得：v=．
A、若速度等于则这时铁轨和车轮轮缘间无挤压，故A正确；
B、若速度小于若速度等于，则重力和支持力提供的合力大于向心力，所以内轨对内侧车轮轮缘有挤压，故B正确，C错误．
D、若速度等于，竖直方向上合力为零，有Ncsθ=mg，解得N=．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况，计算出临界速度，然后根据离心运动和向心运动的条件进行分析．
在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L．已知重力加速度为g．要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图
如上图，由牛顿第二定律得：
又由数学知识得
所以有
即
故选：D．
有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动．图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h．下列说法中正确的是（ ）
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越小
【解答】解：A、摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F的合力，作出力图．
侧壁对摩托车的支持力F=不变，则摩托车对侧壁的压力不变．故A错误．
B、如图向心力Fn=mgtanθ，m，θ不变，向心力大小不变．故B错误．
C、根据牛顿根据牛顿第二定律得Fn=m，h越高，r越大，Fn不变，则T越大．故C正确．
D、第二定律得Fn=m，h越高，r越大，Fn不变，则v越大．故D错误．
故选：C
如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ．下列说法中正确的是（ ）
A．小球受重力、细绳的拉力和向心力作用
B．细绳的拉力提供了向心力
C．θ越大，小球运动的线速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
【解答】解：A、B：小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，∴A、B选项错误．
C：向心力大小为：Fn=mgtanθ，小球做圆周运动的半径为：R=Lsinθ，则由牛顿第二定律得：，得到线速度：=，θ越大，sinθ、tanθ越大，∴小球运动的速度越大，∴C选项正确．
D：小球运动周期：，因此，θ越大，小球运动的周期越小，∴D选项错误．
故选：C．
如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．
（1）此时绳的张力是多少？
（2）若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【解答】解：（1）小球受到重力mg、绳的拉力T和锥面的支持力N，如图所示．根据牛顿第二定律得：
Tsinθ﹣Ncsθ=mω2Lsinθ ①
Tcsθ+Nsinθ=mg； ②
联立解得，T=mgcsθ+mω2Lsin2θ；
（2）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，设此时角速度为ω0，由①②两式得：
mgtanθ=mω02Lsinθ ③
解得：ω0=
即要小球离开锥面，则小球的角速度至少为．
答：
（1）此时绳的张力是mgcsθ+mω2Lsin2θ；
（2）若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为．
【过关检测】
公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处（ ）
A．路面外侧高内侧低
B．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc 的值不变
C．车速只要低于vc，车辆便会受到向内侧的摩擦力
D．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆也不会向外侧滑动
【解答】解：A、路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力．故A正确．
B、当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变．故B正确．
C、车速低于vc，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会受到向内侧的摩擦力．故C错误．
D、当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只有速度不超出最高限度，车辆不会侧滑．故D正确．
故选：ABD

如图是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超 过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是（ ）
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
【解答】解：A、摩托车做圆周运动需要向心力，不受到沿半径方向向外的离心力作用．故A错误；
B、摩托车做离心运动是因为所受外力的合力小于所需的向心力，故B正确；
C、摩托车受到与速度方向垂直的摩擦力的作用，即使该摩擦力小于需要的向心力，但仍然能够改变车的运动的方向，使车不会沿其线速度的方向沿直线滑去．故C错误；
D、摩托车做圆周运动的线速度沿半径的切线方向，不可能会沿其半径方向沿直线滑去．故D错误．
故选：B．

如图所示，在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动，该平面离碗底的距h为（ ）
A．RB．R+C．R﹣D．R﹣
【解答】解：小球靠重力和支持力的合力提供向心力，小球做圆周运动的半径为r=Rsinθ，根据力图可知tanθ==
解得csθ=．所以h=R﹣Rcsθ=R﹣．
故选：D．
如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动则它们的（ ）
A．运动的线速度相同B．运动的角速度相同
C．向心加速度相同D．向心力相同
【解答】解：小球圆周运动的向心力由重力和绳拉力的合力提供，绳与竖直方向的夹角为θ对小球涭力分析有
在竖直方向有：Tcsθ﹣mg=0 ①
在水平方向有：Tsinθ=ma==mrω2 ②
由①②得：mgtan
因为小球在同一平面内做圆周运动，则由题意知，小球圆周运动半径r=htanθ，其中h为运动平面到悬点的距离．
A、运动的线速度v=，知转动半径不同，线速度不同A错误；
B、运动的角速度，角速度与夹角θ无关，故B正确；
C、向心加速度a=gtanθ，向心加速度不同，故C错误．
D、向心力mgtanθ，θ不同，则向心力不同，故D错误．
故选：B．
三、竖直面内的圆周运动★★★★☆☆
如图所示一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为40m的圆弧形拱桥顶部．（取g=10m/s2）
（1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（2）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
【解答】解：（1）汽车受重力和支持力两个力作用，如图所示．
则有：N=mg=5000N，
所以汽车对拱桥的压力为：FN=N=5000N．
（2）汽车的向心加速度为：a=，
根据牛顿第二定律得：mg﹣N=ma，
解得：N=mg﹣ma=500×（10﹣0.9）N=4550N．
则汽车对圆弧形拱桥的压力为4550N．
（3）汽车只受重力，根据mg=得，汽车的速度为：．
答：（1）如图所示，汽车对圆弧形拱桥的压力是5000N．
（2）汽车的向心加速度是0.72m/s2；汽车对圆弧形拱桥的压力是4640N．
（3）汽车的速度为20m/s．
如图所示，汽车在﹣段丘陵地匀速行驶时．由于轮胎太旧．发生爆胎，爆胎可能性最大的位置是 b ．
【解答】解：在最高点有：mg﹣N=，得N=．在最低点有得．在平地，N=mg．所以在b点支持力最大，爆胎的可能性最大．
故本题答案为：b．
如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力可能小于小球重力
【解答】解：A、在最高点若速度比较大，则有F+mg=．所以向心力不一定由重力提供．故A错误．
B、当在最高点速度v=，此时F=0，重力提供向心力．此时的速度是物体做圆周运动在最高点的最小速度．故B错误，C正确．
D、在最低点有：F﹣mg=，拉力一定大于重力．故D错误．
故选C．

如图所示，轻杆一端与小球相连，另一端可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点．下列说法正确的是（ ）
A．a处轻杆的弹力一定为拉力，b处一定为推力
B．小球上升过程速度减小
C．小球受到的合力始终指向圆心
D．若小球经过a点时的速度不断增大则小球通过b点时的弹力一定不断增大
【解答】解：
A、小球经过a处时，靠重力和杆子的拉力提供向心力．所以杆子在a处一定表现为拉力．
小球在b处，若速度v=，则杆子的作用力为零，若速度v＞，则杆子表现为拉力，若速度v＜，则杆子表现为支持力（推力）．故A错误．
B、小球运动过程中机械能守恒，上升过程中小球的重力势能增大，动能减小，速度减小，故B正确．
C、小球受到的合力只有在a、b两点指向圆心，其他位置合力不指向圆心．故C错误．
D、若小球经过a点时的速度不断增大，小球通过b点时的速度不断增大，若在b点速度v＜，由牛顿第二定律得：mg﹣N=m，v增大，N减小．故D错误．
故选：B．

长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s，g取10m/s2，则此时小球受到轻质细杆的力为（ ）
A．24N的拉力B．24N的支持力C．6N的支持力D．6N的拉力
【解答】解：在最高点，设杆子对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得：
mg﹣F=m
解得：F=30﹣3×=6N，方向向上，为支持力．
故选：C
【过关检测】
有一辆运输西瓜的汽车，以速率v（v＜）经过一座半径为R的拱形桥的顶端，其中间有一个质量为m的西瓜受到周围的西瓜对它的作用力的大小为（ ）
A．mgB．C．D．
【解答】解：根据牛顿第二定律有：mg+F=，得F=，因为v＜，所以西瓜受到周围的西瓜对它的作用力的大小为．故C正确，A、B、D错误．
故选C．

绳系着装有水的小桶（可当做质点），在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，已知重力加速度g=10m/s2．求：
（1）水桶运动到最高点时水不流出的最小速率多大？
（2）如果运动到最高点时的速率V=3m/s2，水对桶底的压力多大？
（3）如果运动到最低点时的速率V=3m/s2，水对桶底的压力多大？
【解答】解：（1）水跟着水桶一起做圆周运动，要让水不掉出水桶，则在最高点处有：
mg=m
解得：v=
（2）设桶底对水的压力为FN，由牛顿第二定律有：
mg+FN=m
解得：FN=m﹣mg==2.5N
（3）设桶底对水的压力为F′N，
则F′N﹣mg=m
解得：F′N=m+mg==12.5N
答：（1）水桶运动到最高点时水不流出的最小速率为；
（2）如果运动到最高点时的速率V=3m/s2，水对桶底的压力为2.5N
如果运动到最低点时的速率V=3m/s2，水对桶底的压力为12.5N．
如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，
（1）当小球恰好能通过最高点时的速度为多少？
（2）当小球在最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（取g=10m/s2）
【解答】解：（1）当细线拉力为零时，有：
解得．
故小球恰好能通过最高点时的速度为2m/s．
（2）根据牛顿第二定律得，
解得T=15N．
故细线的拉力是15N．
如图所示，质量为1kg的小球，在竖直放置的半径为10m的光滑圆环轨道的底端，给它一个水平初速度时，小球沿轨道恰能通过圆环顶端C点．求：
（1）小球在轨道最低点B时获得的初速度为多大？
（2）小球在轨道最低点B是对轨道的压力为多大？
【解答】解：（1）小球沿轨道恰能通过圆环顶端C点，
由牛顿第二定律得：mg=m，
解得：vC===10m/s，
从B到C，由能机械能守恒定律得：
mvB2=mg•2R+mvC2，
解得：vB=10m/s；
（2）在B点，由牛顿第二定律得：
F﹣mg=m，解得：F=mg+m=60N，
由牛顿第三定律得，球对轨道的压力为60N，方向竖直向下；
答：（1）小球在轨道最低点B时获得的初速度为10m/s；（2）小球在轨道最低点B是对轨道的压力为60N，方向竖直向下．
如图所示，小球在竖直放置半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动（管孔直径略大于小球直径）．下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点的最小速率为0
B．小球通过最高点的最小速率为
C．小球在最低点时外侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在最高点时内侧管壁对小球一定有作用力
【解答】解：A、B、由于管子能支撑小球，所以小球能够通过最高点时的最小速度为vmin=0；故A正确，B错误．
C、D、小球在圆形轨道的最低点，重力G和弹力N的合力提供向心力，则知合力必须竖直向上，而重力竖直向下，所以管壁对小球的作用力一定竖直向上，内侧管壁对小球一定无作用力，而外侧管壁对小球一定有作用力．故C正确，D错误．
故选：AC．
四、圆周运动的临界问题★★★★★☆
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动．若使小球不离开桌面，其圆周运动的转速最大值是（ ）
A．B．πC．D．2π
【解答】解：以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力N、绳子拉力F．
在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为m，
设绳子与竖直夹角为θ，则有：R=htanθ，
那么Fcsθ+N=mg
Fsinθ=m=mω2R=m4π2n2R=m4π2n2htanθ
当球即将离开水平面时，N=0，转速n有最大值．
N=mg﹣m4π2n2h=0
n=．
故选：A．

如图所示，细绳一端系着一个质量为M=0.5kg的物体A，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg的物体B，M的中心与圆孔O间的水平距离为r=0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力Ff=2N，现使此平面绕中心轴线转动，若物体相对水平面静止，问：角速度ω在什么范围，m会处于静止状态？（g=10m/s）
【解答】解：根据牛顿第二定律得，mg﹣，解得
，解得．
所以．
答：角速度ω在范围，m会处于静止．
如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，A、B两球落地点间的距离为3R，求B通过最高点C时对管壁下部的压力．
【解答】解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，
则：对A球在最高点C有：…①
离开C点后A球做平抛运动，在水平方向有：xA=vAt…②
对B球在最高点C有：…③
B球离开C点后做平抛运动，在水平方向有：xB=vBt…④
对A、B两个小球离开C后，在竖直方向有：…⑤
由题意知，A、B两球落地间的距离：xA﹣xB=3R…⑥
由①②③④⑤⑥联立解得：NB=0.75mg
根据牛顿第三定律知：B通过最高点C时对管壁下部的压力大小为0.75mg
答：B通过最高点C时对管壁下部的压力大小为0.75mg
【过关检测】
如图所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量均为m的小物体A、B，AB间用细线沿半径方向相连．它们到转轴的距离分别为RA=0.2m、RB=0.3m．A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍．g取10m/s2，试求：
（1）当细线上开始出现张力时圆盘的角速度ω0
（2）当A开始滑动时圆盘的角速度ω；
（3）在A即将滑动时，烧断细线，A、B将分别做什么运动？
【解答】解：（1）当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达最大，则：μmg=mω02RB ①
解得：
②
圆盘的角速度为3.65rad/s
（2）当A开始滑动时，表明A与盘间的静摩擦力也已达最大，则：
对A：μmg﹣FT=mϖ2RA ③
对B：FT+μmg=mω2RB ④
由③④两式联解得：此时圆盘的角速度为：
ω=4rad/s ⑤
A开始滑动时圆盘的角速度为4rad/s
（3）烧断细线，A与盘间静摩擦力减小，继续随盘做半径为RA=20cm的圆周运动．而B由于最大静摩擦力不足以提供向心力而做离心运动．
故A继续做圆周运动，B做离心运动．
如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速率进入管内，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，A、B两球落地点间的距离为3R，求A通过最高点C时对管壁上部的压力．
【解答】解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，
则：对B球在最高点C有：…①
B球离开C点后做平抛运动，在水平方向有：xB=vBt…②
对A球在最高点C有：…③
离开C点后A球做平抛运动，在水平方向有：xA=vAt…④
对A、B两个小球离开C后，在竖直方向有：…⑤
由题意知，A、B两球落地间的距离：xA﹣xB=3R…⑥
由①②③④⑤⑥联立解得：NA=3mg…⑦
根据牛顿第三定律知：A通过最高点C时对管壁上部的压力大小为3mg．
答：A通过最高点C时对管壁上部的压力为3mg．
解得：F2=0.5mg
由牛顿第三定律得压力F2′=0.5mg，方向竖直向下
答：（1）小球最低点时的线速度大小为；
（2）小球通过最高点时，球对杆的作用力大小为0.5mg，方向竖直向下．
水平方向圆周运动模型
受力分析
向心力来源
问题分析
火车转弯模型
圆锥摆
竖直面的圆周运动
受力情况
向心力来源
问题分析
过桥问题
绳模型
杆模型