物理选择性必修 第一册第一节 简谐运动学案及答案

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知识点一 认识简谐运动
1．机械振动
物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动．
2．弹簧振子
把一个有孔的小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上，使其能在杆上自由滑动，小球和水平杆之间的摩擦可以忽略不计，小球的运动视为质点的运动，这样的系统称为弹簧振子．
3．回复力
(1)方向：总是指向平衡位置．
(2)作用效果：使振子能返回平衡位置．
(3)公式：F＝－kx，负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．
4．简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动．
5．振幅
物体振动时离开平衡位置的最大距离．
6．周期
物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示．
7．频率
物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比，用f表示．周期和频率的关系为f＝eq \f(1,T)．
知识点二 简谐运动的能量特征
对水平弹簧振子，当振子在位移最大处时，弹簧弹性势能最大，振子动能为零；当振子在平衡位置时，弹簧弹性势能为零，振子动能最大．弹簧振子在振动过程中，机械能守恒．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动．(√)
(2)弹簧振子是一种理想化的模型．(√)
(3)振幅随时间做周期性变化．(×)
(4)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期．(×)
2．(多选)下列关于振动的回复力的说法正确的是( )
A．回复力方向总是指向平衡位置
B．回复力是按效果命名的
C．回复力一定是物体受到的合力
D．回复力由弹簧的弹力提供
AB [回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、B正确，C错误；在水平弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力，但在其他振动中，回复力不一定由弹簧弹力提供，D错误．]
3．(多选)振动周期指振动物体( )
A．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D．运动路程等于四个振幅的时间
CD [振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D正确．]
考点1 平衡位置与回复力
竖直方向的弹簧振子模型如图所示，请思考以下问题：
(1)在平衡位置处，弹簧的弹力等于零吗？
(2)该弹簧振子的回复力是由什么力提供的？
提示：(1)不等于零．
(2)由小球重力和弹簧的弹力的合力提供．
1．对简谐运动的平衡位置的认识
(1)从物体受力特点看：物体在平衡位置所受合力不一定为零，而是沿振动方向的合力为零．
(2)从速度角度看：平衡位置是振动中速度最大的位置．
2．机械振动的特点
(1)物体在平衡位置附近做往复运动．
(2)机械振动是一种周期性运动．
3．回复力的理解
(1)回复力的方向总是指向平衡位置．总与简谐运动位移的方向相反．
(2)回复力的效果是使偏离平衡位置的物体返回到平衡位置，是产生振动的条件．
(3)回复力可以是振动物体所受的某一个力，也可以是物体所受几个力的合力．
【典例1】 如图所示，对做简谐运动的弹簧振子M的受力情况分析正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力
A [弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，C、D错；回复力为效果力，受力分析时不分析此力，B错；故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力，A对．]
[跟进训练]
1．(多选)关于振动物体的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．加速度改变方向的位置
B．回复力为零的位置
C．速度最大的位置
D．合外力一定为零的位置
ABC [振动物体在平衡位置回复力为零，而合外力不一定为零，在该位置加速度改变方向，速度达最大值．故A、B、C正确，D错误．]
考点2 简谐运动的物理量的变化规律
1．简谐运动中相关量的变化规律
(1)变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep及振动能量E，遵循一定的变化规律，可列表如下：
(2)两个转折点．
①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点；
②最大位移处是速度方向变化的转折点．
(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间相互转化，但总的能量守恒．
2．简谐运动的对称性
如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，任取关于O点对称的C、D两点，则有：
(1)时间对称．
(2)位移、回复力、加速度大小对称．
(3)速率、动能对称．
【典例2】 如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中，A、B之间无相对滑动，设弹簧的劲度系数为k，求当物体离开平衡位置的位移为x时，B对A的摩擦力大小．
[思路点拨] (1)应用整体法、隔离法思考．
(2)B对A的摩擦力是A做简谐运动的回复力．
[解析] A、B两物体组成的系统做简谐运动的回复力由弹簧的弹力提供，当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力大小F＝kx，A和B的共同加速度大小a＝eq \f(F,M＋m)＝eq \f(kx,M＋m)，而物体A做简谐运动的回复力由A受到的静摩擦力提供，由此可知B对A的摩擦力大小f＝ma＝eq \f(mkx,M＋m)．
[答案] eq \f(mkx,M＋m)
分析简谐运动应注意的问题
(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．
(2)回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化．
(3)要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况．
[跟进训练]
2．(多选)如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是( )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移大小相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
BC [因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A错误，B正确；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，C正确；振子由M―→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O―→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，D错误．]
考点3 振幅、周期和频率
如图所示，思考探究下面两个问题
(1)振子振幅与位移最大值有什么关系？
(2)图乙中振子振幅为多少？
提示：(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是振动物体相对平衡位置的位置变化；位移的最大值等于振幅．
(2)10 cm．
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程．
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同．
(3)时间特征：历时一个周期．
(4)路程特征：振幅的4倍．
2．振幅和振动系统能量的关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．
3．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是：
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅．
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅．
4．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
【典例3】 如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
[思路点拨] (1)振子从B经O到C的时间为eq \f(1,2)T．
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振动的路程为振幅的4倍．
D [振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm．弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm．故D正确，A、B、C错误．]
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为振幅的4倍，半个周期内的路程为振幅的2倍．
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，eq \f(1,4)周期内的路程等于振幅．
(2)若从一般位置开始计时，eq \f(1,4)周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
[跟进训练]
训练角度1 振幅、周期的理解
3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4D．1∶2 1∶2
B [弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2．而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1．]
训练角度2 振动物体的路程
4．一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意eq \f(T,4)内通过的路程一定等于A
B．在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A
C．在任意eq \f(3T,4)内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于2A
B [物体做简谐运动，是变加速运动，在任意eq \f(T,4)内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意eq \f(T,2)内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意eq \f(3T,4)内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误．]
1．物理观念：平衡位置、回复力、振幅、全振动、周期、频率等概念．
2．科学方法：弹簧振子模型．
3．科学思维：简谐运动的特征．
1．(多选)下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．说话时声带的运动
D．匀速圆周运动
AC [物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、C正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误；匀速圆周运动不是在平衡位置附近往复运动，故D错误．]
2．关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
A [振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D错．]
3．(多选)做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他位置时，关于它的加速度方向，下列说法正确的是( )
A．一定与速度方向相同
B．有时与速度方向相同，有时与速度方向相反
C．总是指向平衡位置
D．总是与位移方向相反
BCD [回复力指使物体回到平衡位置的力，对简谐运动而言，其大小必与位移大小成正比，其方向与位移方向相反，并总是指向平衡位置，而加速度的方向与回复力的方向相同；由于振子的运动具有周期性，故加速度方向与速度方向有时相同，有时相反，故A错，B、C、D对．]
4．如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
A．大小为OC，方向向左
B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左
D．大小为AC，方向向右
B [振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右．]
5．如图所示，一个小球在两个相对的光滑斜面之间往复运动，试说明这个小球是否做简谐运动？
[解析] 小球不是做简谐运动．因为小球在斜面上运动的过程中，所受力为恒力，故为匀变速运动，而简谐运动是变加速运动．所以不可能是简谐运动．
[答案] 不是简谐运动，说明见解析
核心素养
学习目标
物理观念
知道机械振动和回复力的概念
物理观念
知道弹簧振子的组成和振动情况．理解全振动、振幅、周期、频率等概念
科学思维
理解振动的平衡位置和位移
科学思维
掌握简谐运动的回复力、加速度、速度随位移变化的规律．简谐运动的能量特征
物理量
x
F
a
v
Ek
Ep
E
远离平衡位置运动
增大
增大
增大
减小
减小
增大
不变
最大位移处
最大
最大
最大
零
零
最大
不变
靠近平衡位置运动
减小
减小
减小
增大
增大
减小
不变
平衡位置
零
零
零
最大
最大
最小
不变