物理必修 第一册第3节 实验中的误差和有效数字学案

实验中的误差和有效数字

知识点一　科学测量中的误差

[情境导学]

春天到了，某校园的迎春花开了。小梅想了解迎春花的大体尺寸，她捡了一朵掉落的迎春花，测量两花瓣顶端相隔的距离。分析导致测量误差的原因可能有哪些？

提示：导致误差的原因有两方面，一是刻度尺刻度不会完全准确、刻度尺未完全测量到两花瓣顶端等因素会带来系统误差，二是读数存在偶然误差。

[知识梳理]

1．绝对误差和相对误差

(1)绝对误差

①定义：绝对误差是测量值与真实值之差。

②表达式：绝对误差＝|测量值－真实值|，即Δx＝x－a。

③物理意义：表示测量值与真实值的偏离程度。

(2)相对误差

①定义：相对误差等于绝对误差与真实值的比值，常用百分数表示，也叫百分误差。

②表达式：δ＝×100%。

③物理意义：它反映了实验结果的精确程度，可以比较不同测量结果的可靠程度。

2．系统误差与偶然误差

(1)系统误差

①定义：由于测量原理不完善或仪器本身缺陷等造成的误差。

②特点：测量结果总是偏大，或者总是偏小。

③减小误差的方法：根据具体的测量情况，找出产生系统误差的主要原因，采用适当措施降低它的影响。

(2)偶然误差

①定义：对同一物理量进行多次测量时，由于各种偶然因素而产生的误差。

②特点：测量结果时而偏大，时而偏小。

③减小误差的方法：采用多次测量取平均值的方法减小偶然误差。

[初试小题]

1. 判断正误。

(1)用毫米刻度尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差是偶然误差。(√)

(2)改进实验方法，认真操作，可以消除误差。(×)

(3)多次测量，反复求平均值，总能够消除误差。(×)

(4)系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小。(√)

2．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．偶然误差是不可避免的

B．多次测量求平均值可以减小偶然误差

C．相对误差反映实验结果的可靠程度

D．选用更精密的仪器可以避免系统误差

解析：选ABC　误差是不可避免的，A正确，D错误；多次测量求平均值可减小偶然误差，B正确；相对误差反映实验结果的可靠程度，C正确。

知识点二　科学测量中的有效数字

[情境导学]

如图所示，木板的长度记录为10.4 cm，还是记录为10.40 cm?

提示：10.40 cm，因为精确度为0.1 cm，需估读至下一位。

[知识梳理]

1．有效数字：能反映被测量大小的带有一位估读数字的全部数字叫有效数字。

2．可靠数字：通过直接读取获得的准确数字。

3．估读数字：通过估读获得的数字称为存疑数字，也称为估读数字。

4．有效数字的位数：从一个数的左侧第一个非零的数字起，到末位数字止所有的数字。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)测出一个物体长为123.6 cm，采用的测量工具的最小刻度是1厘米(√)

(2)0.92 cm与0.920 cm含义是一样的(×)

(3)0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位。(√)

2．下列几个数据中，有效数字位数最小的是(　　)

A．1.0×105　　　　　　　 B．2.3×103

C．2.35 D．5×106

解析：选D　科学计数法中，决定有效数字位数的是前面的数字，与乘方项无关。

　　[问题探究]

两名同学用刻度尺分别测量不同长度的两个物体，测量值分别为85.73 cm和1.28 cm，绝对误差都是0.1 mm，问题：哪个同学测量得更精确？ 为什么？

提示：两同学测量结果的绝对误差都为0.1 mm，但前者误差是测量值的0.01%，后者误差是测量值的0.78%，所以测量值为85.73 cm的同学测量得更精确。

[要点归纳]

1．误差的绝对性：误差是不可避免的，只能想办法减小，不能消除。

2．误差分类

(1)从误差来源分类

(2)从分析数据分类

[例题1]　关于实验误差，以下说法正确的是(　　)

A．测量值与被测物理量的真实值之间的差异叫误差

B．偶然误差是由实验仪器缺陷而造成的误差

C．实验时可以采用多次测量取平均值的方法来减小系统误差

D．在相同的条件下为了提高测量的准确度，应考虑尽量减小绝对误差

[解析]　误差实际就是测量结果和实际结果之间的差异，A正确；偶然误差是由读数不准或环境因素造成的误差，B错误；实验时可以采用多次测量取平均值的方法来减小偶然误差，C错误；在相同的条件下为了提高测量的准确度，应考虑尽量减小相对误差，D错误。

[答案]　A

[针对训练]

1．(多选)以下关于误差的说法中，正确的是(　　)

A．在实验中，选用更高级别标准的仪器进行测量，可以消除测量误差

B．绝对误差和相对误差一样，都是具有大小、正负和单位的数值

C．绝对误差不能正确反映测量的可靠程度和准确程度

D．相对误差越小，测量结果的可靠性越大

解析：选CD　在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，即存在误差，选项A错误；根据绝对误差与相对误差的定义可知，绝对误差具有大小、正负和单位，而相对误差没有单位，只是一个百分数，选项B错误；绝对误差反映测量值偏离真实值的大小，不能反映测量的可靠程度和准确程度，选项C正确；相对误差是绝对误差与真实值的百分比，显然百分比越小，测量结果就越准确可靠，选项D正确。

2．(多选)以下关于系统误差的说法正确的是(　　)

A．由于选用测量仪器不精密而产生的误差是系统误差

B．系统误差偏大、偏小的机会相同

C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小系统误差

D．可以通过校准仪器、改进实验方法、设计更完善的实验方案等方式减小系统误差

解析：选AD　系统误差是由仪器本身不够精密、所选实验方法粗略或者实验原理、实验方案不完善等造成的，在进行多次测量时，误差总会同样偏大或偏小，所以不能用多次测量求平均值的方法来减小系统误差，只能从产生误差的原因方面分析，采用相应的改进措施来减小系统误差。综上所述，选项A、D正确，选项B、C错误。

3．某同学用量程为3 V的电压表和量程为0.6 A的电流表测量一阻值为10 Ω的电阻，共测了四次，测量结果依次为9.74 Ω、9.68 Ω、9.80 Ω和9.76 Ω，求：

(1)这个同学的测量值多大；

(2)相对误差和绝对误差分别多大。

解析：(1)测量值为

R测＝ Ω≈9.75 Ω。

(2)绝对误差ΔR＝|R测－R真|＝0.25 Ω

相对误差δ＝×100%＝2.5%。

答案：(1)9.75 Ω　(2)2.5%　0.25 Ω

[问题探究]

某物体的长度在14 cm和15 cm之间。

(1)若用最小分度为毫米的刻度尺测量该物体的长度，记录数据应用几位有效数字？

(2)若用最小分度为厘米的刻度尺测量该物体的长度，记录数据应用几位有效数字？

提示：对于直接测量结果来说，有效数字的位数由被测量的值和所用测量仪器的最小分度决定。一般情况下，读数要读到最小分度的后一位。因此，(1)用毫米刻度尺测量时，记录的有效数字是4位；(2)用厘米刻度尺测量时，记录的有效数字是3位。

[要点归纳]

1．有效数字的位数反映了测量的相对误差(如称量某物体的质量是0.518 0 g，表示该物体质量是0.518 0±0.000 1，其相对误差为0.02%，如果少取一位有效数字，表示该物体的质量是0.518±0.001，其相对误差为0.2%)。

2．有效数字的位数与量的使用单位无关。(如称得某物的质量是12 g，两位有效数字，若以mg为单位时，应记为1.2×104 mg，而不应记为12 000 mg。)

3．数字前的零不是有效数字(0.025)，起定位作用；数字后的零都是有效数字(120、0.500 0)。

4．若被舍弃的第一位大于5，则其前一位数字加1(如28.264 5，取三位有效数字为28.3)；若被舍弃的第一位小于5，则舍弃。

5．科学记数法

数据过大或过小时，可以用科学计数法。如36 500 km，如果第3位数5已不可靠时，应记作3.65×104 km；如果是在第4位数不可靠时，应记作3.650×104 km。又如数据为0.000 032 5 m，使用科学记数法写成3.25×10－5 m。

[例题2]　在测量长度的实验中某同学的测量结果为8.246 cm，请问该同学用的测量工具可能是(　　)

A．毫米刻度尺

B．精度为0.1 mm的测量工具

C．精度为0.01 mm的测量工具

D．精度为0.02 mm的测量工具

[解析]　测量结果为8.246 cm，最后的一位0.006 cm是估读的，所以采用的测量工具的最小刻度是0.01 cm＝0.1 mm，故B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

[针对训练]

1.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度，如图所示，下述记录结果正确的是(　　)

A．3 cm　　　　　　　　 B．30 mm

C．3.00 cm D．0.03 m

解析：选C　刻度尺的最小分度为1 mm，需再估读一位数字，所以记录的数据应读到毫米的十分位。

2．(多选)以下测量值中，有五位有效数字的是(　　)

A．50.007 mm B．0.005 014 m

C．50.140 mm D．5.014×103 dm

解析：选AC　有效数字位数的判定是从左边第一位非零数字起到末位数字的个数，数值中末位的零与非零数字之间的零都是有效数字，第一位非零数字左边的零是无效数字，所以50.007 mm是五位有效数字，0.005 014 m是四位有效数字，50.140 mm是五位有效数字，5.014×103 dm是四位有效数字，综上所述，选项A、C正确，选项B、D错误。

3．(多选)下列数字中是三位有效数字的有(　　)

A．0.03 B．3.00

C．1.03×104 D．1.03×10－3

解析：选BCD　有效数字的位数是从左边第一个不为0的数字开始算起，到末尾数字为止的数字的个数，科学计数法表示的有效数字仅仅与前面的数字有关。0.03的有效数字是1位，故A错误；3.00的有效数字是3位，故B正确；1.06×104的有效数字是3位，故C正确；1.03×10－3的有效数字是3位，故D正确。

1．下列关于误差的说法中正确的是(　　)

A．认真细致的测量可以避免误差

B．测量时未遵守操作规则会引起偶然误差

C．测量时的错误就是误差太大

D．测量中错误是可以避免的，而误差也是可以避免的

解析：选B　误差与测量的人、测量工具、测量环境有关，因此，任何测量中的误差是不可避免的，只能努力减小误差，不可能消除误差，则A、D错误；错误与误差是两个不同的概念，则C错误；测量时未遵守操作规则产生的误差是偶然误差，则B正确。

2．关于测量误差、有效数字的问题，下列说法中正确的是(　　)

A．若仔细地多测量几次，就能避免误差

B．系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小

C．3.20 cm,0.032 cm,3.20×102 cm的有效数字位数相同

D．要减小系统误差就得多次测量取平均值

解析：选B　在实验过程中，由于受所用仪器和测量方法的限制，测量值和真实值会有差异，这就是误差，误差和错误不同，作为误差来说不可避免，只能尽量减小，系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小，在实际中经常用多次测量求平均值的办法来减小偶然误差，但是由系统的原因造成的误差只能通过使用更精密的仪器或者改进实验方法来减小，故B正确，A、D错误；3.20 cm和3.20×102 cm有三位有效数字，0.032 cm有两位有效数字，故C错误。

3．用毫米刻度尺测量一物体的直径，下列数据中正确的是(　　)

A．21.4 cm　　　　　　　 B．21.420 cm

C．21 cm D．21.42 cm

解析：选D　最小刻度为1 mm的刻度尺测量的数据若用cm作单位，小数点后面有两位，则D正确。

4.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度，如图所示，下述记录四次结果：2.99 cm,3.00 cm,2.99 cm,2.98 cm，下列说法中不正确的是(　　)

A．该刻度尺的最小刻度是1 mm

B．物体的真实值是2.99 cm

C．测量结果为3.00 cm的绝对误差是0.01 cm

D．本次测量的相对误差为0.32 %

解析：选D　刻度尺的最小分度为mm，再估读一位数字，所以记录数据应到毫米的十分位上，A正确；物体的真实值是上述四次的测量值的平均值，B正确；Δx＝x－a＝3.00 cm－2.99 cm＝0.01 cm，C正确；相对误差δ＝×100%＝0.334 %，则D错误。

5．如图所示，用塑料毫米刻度尺测量某一矩形工件的长度时，有如下操作：

A．刻度尺与被测工件平行时有偏差

B．测量时，刻度尺的刻度线紧贴被测工件时有偏差

C．刻度尺的“0”刻度线处有磨损

D．读数时视线正对刻度线时有偏差

E．刻度尺的“0”点与被测工件起点对齐有偏差

F．读数时估读有偏差

G．测量时因工件过热将塑料刻度尺烤弯

(1)以上误差中，属于系统误差的是________；

(2)以上误差中，属于偶然误差的是________。

解析：(1)当“0”刻度线处有磨损时，无法使“0”刻度线与被测起点重合，故C是系统误差；塑料刻度尺被工件烤变形，无法使刻度尺紧贴工件或与工件平行，故G也是系统误差。

(2)A、B、D、E、F都是因各种偶然因素而产生的误差，故为偶然误差。

答案：(1)C、G　(2)A、B、D、E、F