2021学年第3节 共点力的平衡学案设计

共点力的平衡

[情境导学]

(1)如图甲所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？

(2)如图乙所示，高铁在水平轨道上匀速前进，它受哪些力作用？它们的合力有何特点？

提示：(1)受重力和支持力，大小相等、方向相反，合力为零。

(2)受重力、支持力、牵引力和阻力，这四个力的合力为零。

[知识梳理]

1．物体的平衡状态

平衡状态：物体静止或做匀速直线运动时所处的状态。

2．共点力的平衡条件

(1)物体的平衡条件：共点力作用下物体的平衡条件是合力为，即F合＝0。

(2)力的平衡：若作用在物体上的几个共点力的合力为0，这种情况叫作力的平衡。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)所受合外力保持恒定的物体处于平衡状态。(×)

(2)物体所受合外力为零时，就一定处于平衡状态。(√)

(3)大小相等、方向相反、作用在同一直线上的两个力一定是平衡力。(×)

(4)若物体处于平衡状态，其所受合外力一定为零。(√)

2．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体一定(　　)

A．是静止的

B．做匀速直线运动

C．所受各共点力的合力可能不为零

D．所受各共点力的合力为零

解析：选D　物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，选项A、B错误；此时各共点力的合力一定为零，选项C错误，选项D正确。

[问题探究]

一物体放在粗糙的水平面上，质量m＝5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3，当用水平力F作用在物体上时，物体恰好做匀速直线运动(g取10 N/kg)。

(1)匀速直线运动是平衡状态吗？

(2)物体处于平衡状态时受的合外力是多少？

(3)此时力F应为多少？

提示：(1)是。

(2)合外力为零。

(3)F＝μmg＝0.3×5×10 N＝15 N。

[要点归纳]

1．共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。

正交表示法

其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。

2．平衡条件的推论

(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。

(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。

(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。

[例题1]　物体在四个共点力作用下保持平衡，撤去F1而保持其他三个力不变，则此时物体所受的合力F(　　)

A．大小等于F1，方向与F1相反

B．大小等于F1，方向与F1相同

C．大小大于F1，方向与F1相反

D．由于运动状态不明确，无法确定

[解析]　由物体处于平衡状态可知其余三个力的合力与F1等大反向，故撤去力F1，其余三个力不变，这三个力的合力方向与F1方向相反，大小等于F1。则A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

[针对训练]

1．一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是(　　)

A．1 N　4 N　7 N　　　　 B．2 N　6 N　9 N

C．2 N　5 N　8 N D．6 N　8 N　6 N

解析：选D　能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是，物体就可能处于平衡状态，故D正确。

2．如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ。若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为(　　)

A．G B．Gsin θ

C．Gcos θ D．Gtan θ

解析：选A　选人为研究对象，人受到重力和椅子各部分对他的作用力的合力，根据力的平衡条件可知，椅子对他的作用力的合力与重力等大、反向，故选项A正确。

3．如图所示，有一只重为G的蜻蜓在空中沿虚线方向匀速直线飞行，在此过程中，蜻蜓受到空气对它作用力的方向是(　　)

A．a方向 B．b方向

C．c方向 D．d方向

解析：选A　蜻蜓做匀速直线运动，蜻蜓受重力和空气的作用力而平衡，故空气对蜻蜓的作用力方向竖直向上，即沿a方向，故选A。

[问题探究]

如图所示，重物的重力为G，轻绳AO与BO的A，B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与竖直方向的夹角为θ，能否用合成法和分解法求出AO

的拉力T1和BO的拉力T2的大小？

提示：选取O点为研究对象，其受力如图甲所示，O点受到三个力的作用：重物对O的拉力大小为G，AO绳的拉力T1，BO绳的拉力T2。

合成法：如图乙所示，T1和T2的合力与重物的重力大小相等，由几何关系可解出两绳拉力大小。

效果分解法：如图丙所示，将重力沿两绳的方向分解，则沿AO，BO绳方向的合力分别为0，由几何关系可解出两绳拉力大小。

正交分解法：如图丁所示，将BO绳拉力T2沿两坐标轴分解，则O点沿两坐标轴的合力分别为0，由此可求出两绳拉力的大小。

[要点归纳]

1．合成法

物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题。

2．分解法

物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题。

3．正交分解法

物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为Fx合＝0，Fy合＝0。

[例题2]　

在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B(如图所示)，足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。

[思路点拨]　(1)足球处于静止状态，所受合力为零。

(2)选取足球为研究对象，可采用合成法、分解法、正交分解法求解。

[解析]　方法一　合成法

取足球和网兜作为研究对象，这一整体受重力G＝mg、墙壁的支持力F1和悬绳的拉力F2三个共点力作用而平衡，如图所示。

由共点力平衡的条件可知，F1和F2的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，从图中力的平行四边形可求得

F1＝Ftan α＝mgtan α

F2＝＝。

方法二　分解法

取足球和网兜作为研究对象，其受重力G、墙壁的支持力F1、悬绳的拉力

F2，如图所示。

将重力G分解为F1′和F2′，由共点力平衡条件可知，F1与F1′的合力必为零，F2与F2′的合力也必为零，所以

F1＝F1′＝mgtan α

F2＝F2′＝。

方法三　正交分解法

取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力G、墙壁的支持力

F1、悬绳的拉力F2，如图所示。

取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将F2分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零。即

Fx合＝F1－F2sin α＝0①

Fy合＝F2cos α－G＝0②

由②解得F2＝＝

代入①得F1＝F2sin α＝mgtan α。

[答案]　　mgtan α

1．处理平衡问题的“四步骤”

2．正交分解法中坐标轴方向的选取技巧

(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；

(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴；

(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时，通常沿杆或绳方向和垂直杆或绳的方向建立坐标轴。　　　　

[针对训练]

1.如图所示，轻杆与竖直墙壁成53°角，斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹力大小为mg(g为重力加速度)，则轻杆对小球的弹力大小为(　　)

A.mg B．mg

C.mg D.mg

解析：选D　由于轻杆斜插入墙中并固定，所以小球对它的作用力可以不沿杆的方向，对小球受力分析，小球受到重力、弹簧的弹力和杆的弹力，小球处于静止状态，故重力和弹簧弹力的合力与杆对小球的弹力相平衡，如图所示，故轻杆对小球的弹力大小为F2＝＝mg，故D正确。

2.在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢(重力加速度为g)?

解析：选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。

法一　力的合成法

如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，则有F＝mgtan θ。

法二　力的效果分解法

将重力沿金属丝方向和水平方向分解，如图丙所示。则有F－mgtan θ＝0

得F＝mgtan θ。

法三　正交分解法

以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丁所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，

即Fx合＝Tsin θ－F＝0

Fy合＝Tcos θ－mg＝0，

解得F＝mgtan θ。

答案：F＝mgtan θ

3.如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC，BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小。

解析：以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即

FACx＝FACsin 30°＝FAC

FACy＝FACcos 30°＝FAC

FBCx＝FBCsin 45°＝FBC

FBCy＝FBCcos 45°＝FBC

因物体处于静止状态，

在x轴上，FACx与FBCx大小相等，

即FAC＝FBC①

在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，

即FAC＋FBC＝50 N②

由①②两式解得绳BC的拉力FBC＝25(－)N

绳AC的拉力FAC＝50(－1)N。

答案：50(－1)N　25(－)N

[要点归纳]

物体的运动状态与物体的受力情况有关，要研究物体的运动状态，必须分析物体的受力情况。正确地进行受力分析是研究力学问题的关键，是学习物理必须掌握的基本功。

1．判断受力的依据

(1)条件判断：根据力的产生条件是否已经满足来判断物体是否受到某个力的作用。

(2)效果判断：根据力的作用效果是否得以体现来判断物体是否受到某个力的作用。

(3)相互作用判断：利用力的相互性，即施力物体同时也是受力物体，从一个物体是否受到某个力的作用来判断另一个物体是否受到相应的力的作用。

2．受力分析的步骤

(1)明确研究对象，即首先要确定我们要分析哪个物体或系统的受力情况。

(2)按一定的顺序去分析：先重力，后接触力(弹力、摩擦力)，其中重力是非接触力，应先标出；弹力在接触且发生弹性形变处存在；摩擦力在弹力存在的接触面上才可能存在。

(3)受力分析图画好后，一定要判断一下受力情况与物体的运动状态是否符合，同时注意是否存在“多力”(即出现无施力物体的力)“丢力”的情况。按正确的顺序进行受力分析是保证不“丢力”的有效措施，注意每个力的施力物体和力产生的条件是不“多力”的关键。

若研究对象处在复杂的环境中，则应将所要研究的物体从复杂的环境中隔离出来，再分析它受到周围哪些物体的力的作用，重点分析力的方向、作用点，并将这些力画在物体受力示意图上。

3．受力分析时需注意的问题

(1)在进行受力分析时，一定要注意，我们分析的是物体“受到”的力，而不是物体对外施加的力。

(2)区别内力和外力：对几个物体组成的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力分析图中出现；当把某一个物体单独隔离分析时，原来的内力变成了外力，要画在受力分析图上。

注意：任何一个力都有施力物体和受力物体，进行受力分析时，没有施力物体的力不存在。

[例题3]　如图所示，重力为G的长木板AB，A端靠在光滑墙壁上，AB上又放置一木块，整个系统处于静止状态，请画出木板AB的受力示意图。

[解析]　(1)明确研究对象是木板AB，把AB木板从图中隔离出来，单独画出。

(2)画出木板AB的重力G。

(3)环绕AB一周，找出其他物体与AB的接触处，木板与墙在A处相接触、与地面在B处相接触，与木块在C处相接触。一共有三处与外界接触。

(4)在A处，由于墙面是光滑的，那么木板AB在A处只受向右的弹力(支持力)N1作用；在B处，受地面竖直向上的弹力(支持力)N2；假设地面光滑，木板AB将向右滑动，所以地面给木板B端一个向左的摩擦力f1作用；在C处，木块对木板有一个垂直木板向下的弹力(压力)N3，又因为木块静止在木板AB上，木块要受到木板AB向上的静摩擦力作用，所以木板受到木块施加的

向下的静摩擦力f2的作用。

木板的受力示意图如图所示。

[答案]　见解析

[针对训练]

1.(多选)如图所示，竖直放置的弹簧的一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P与斜放的固定挡板MN接触处于静止状态，弹簧处于竖直方向，则斜面体P此刻受到外力的个数可能为(　　)

A．2个 B．3个

C．4个 D．5个

解析：选AC　对斜面体P受力分析如图甲所示。

如果弹簧弹力F′＝G，则斜面体P的受力可以平衡，故斜面体P可受2个力的作用。

如果F′＞G，则斜面体P会受到挡板MN的弹力F和摩擦力f，受力分析如图乙所示。

故斜面体P可能受4个力的作用。

综上所述，斜面体P可能的受力个数是2个或4个。

2.如图所示，物体A、B、C叠放在水平桌面上，水平力F作用在C物体上，使A、B、C以共同速度向右做匀速直线运动，那么关于物体受几个力的说法正确的是(　　)

A．A受五个，B受三个 B．A受六个，B受两个

C．B受两个，C受四个 D．B受三个，C受三个

解析：选BC　B做匀速直线运动，B仅受重力和A对B的支持力两个力；C受重力、水平力F、A对它的支持力和静摩擦力四个力；A受重力、桌面的支持力、B和C分别对它的压力、C对它的静摩擦力、桌面的滑动摩擦力六个力，故B、C正确。

3.如图所示，物体a、b、c叠放在水平桌面上，水平力Fb＝5 N，Fc＝10 N分别作用于物体b、c上，a、b、c保持静止。以f1、f2、f3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小，则(　　)

A．f1＝0，f2＝5 N B．f1＝5 N，f2＝10 N

C．f2＝5 N，f3＝5 N D．f2＝10 N，f3＝0

解析：选AC　为了研究a、b之间的摩擦力的情况，以物体a为研究对象，通过受力分析得到a与b之间没有摩擦力的作用，如图甲所示。为了研究b与c之间的摩擦力

的情况，以物体a、b整体为研究对象，在水平方向上，通过受力分析知b受c向右的静摩擦力f2与Fb平衡，故f2＝5 N，如图乙所示。为了研究c与桌面之间的摩擦力的情况，以物体a、b、c整体为研究对象，通过受力分析知c受向左的静摩擦力f3与Fc－Fb平衡，故f3＝5 N，如图丙所示。故A、C正确。

“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”

1．“活结”与“死结”模型

[示例1]　如图所示，在高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者重力的(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

[解析]　钢丝可抽象成绳子，表演者受到重力和两个相等的拉力的作用，钢丝与水平方向成θ角，由平衡条件可知2Fsin θ＝mg，所以＝，C正确。

[答案]　C

2．“活杆”与“死杆”模型

(1)“活杆”：即轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。

(2)“死杆”：若轻杆被固定不能发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即“死杆”弹力的方向不沿杆的方向。

[示例2]　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力。

[解析]　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力。分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律可求解。

(1)题图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力TAC＝TCD＝M1g

图2中由TEGsin 30°＝M2g，得TEG＝2M2g。

所以＝。

(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有NC＝TAC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方。

(3)图2中，根据平衡规律有TEGsin 30°＝M2g，TEGcos 30°＝NG，所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。

[答案]　(1)　(2)M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方　(3)M2g，方向水平向右

1．下列物体中处于平衡状态的是(　　)

A．F1赛道上汽车刚启动的一瞬间

B．物体做自由落体运动刚开始下落的一瞬间

C．运动员撑杆跳到最高点的一瞬间

D．停在斜面上的汽车

解析：选D　A、B、C中物体的瞬时速度为零但加速度不是零，物体没有处于平衡状态，选项A、B、C错误；D项中物体静止，处于平衡状态，故选项D正确。

2．如图所示，一箱苹果沿着倾角为θ的斜面，以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果，它受到周围苹果对它作用力的合力的方向(　　)

A．沿斜面向上　　　　　　 B．沿斜面向下

C．竖直向上 D．垂直斜面向上

解析：选C　一箱苹果整体向下匀速运动，其中央的一个苹果也一定是做匀速运动，受到的合力为零。由于中央的那一个苹果受重力与它周围苹果对它的作用力的合力的作用，故重力与它周围苹果对它的作用力的合力为一对平衡力，大小相等、方向相反，故C正确。

3.吊兰是常养的植物盆栽之一，如图所示是悬挂的吊兰盆栽，四条等长的轻绳与竖直方向夹角均为30°，花盆总质量为2 kg，g取10 m/s2，则每根轻绳的弹力大小为(　　)

A．5 N　　　　　　　 B. N

C．10 N D．20 N

解析：选B　根据对称性可知，每根绳的拉力大小相等，设每根绳的拉力大小为F。在竖直方向由平衡条件得：4Fcos 30°＝G，解得F＝ N，故B正确，A、C、D错误。

4.如图所示，三根轻绳OA、OB、OC共同悬挂一小球并处于静止状态，其中OA是水平的，A端、B端固定，则拉力最大的绳(　　)

A．必定是OA

B．必定是OB

C．必定是OC

D．可能是OA，也可能是OC

解析：选B　对结点O进行受力分析，如图所示，根据图中几何关系可得，拉力最大的绳是OB，故B正确，A、C、D错误。