高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动综合与测试导学案及答案

章末总结

体系构建

① ② ③    驱动力          ④      越小        ⑤      最大      

综合提升

提升一 简谐运动的图像

例1 如图所示是一个质点做简谐运动的图像，根据图像回答下面的问题：

（1）振动质点离开平衡位置的最大距离；

（2）写出此振动质点的运动表达式；

（3）振动质点在 的时间内通过的路程；

（4）振动质点在 、 、 、 时的振动方向；

（5）振动质点在 这段时间内速度和加速度是怎样变化的？

（6）振动质点在 这段时间内的动能变化是多少？

答案： （1）由振动图像可以看出，质点振动的振幅为 ，即此质点离开平衡位置的最大距离

（2）由质点的振动图像可知 ， ， ，所以

（3）由振动图像可以看出，质点振动的周期为 ， ，质点是从平衡位置开始振动的，故在0～0.6 s的时间内质点通过的路程为

（4）在 时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从 起取一段极短的时间间隔 的话，从图像中可以看出质点的正方向的位移将会增大，由此可以判断得出质点在 时的振动方向是沿题中所设的正方向。同理可以判断得出质点在 、 、 时的振动方向分别是沿题中所设的负方向、负方向和正方向

（5）由振动图像可以看出，在0.6～0.8 s这段时间内，质点从负的最大位移处向平衡位置运动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的，并且逐渐减小，故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小

（6）由图像可看出，在0.4～0.8 s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期的运动又回到了平衡位置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变化为零

综合提升

简谐运动图像的应用

（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应 、 时刻的位移分别为 ， 。

（2）确定振动的振幅。图中最大位移的大小就是振幅，如图表示振动的振幅是 。

（3）确定振动的周期和频率。振动图像上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知， 、 、 的间隔都等于振动周期， ，频率 。

（4）确定各质点的振动方向。例如图中的 时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在 时刻，质点正向着平衡位置运动。

迁移应用

1.（多选）一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点(      )

A.在0.015 时，速度和加速度方向都为 轴负方向

B.在0.01 至0.03 内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小

C.在第八个0.01 内，速度与位移方向相同，且都在不断增大

D.在1 内，回复力的瞬时功率有100次为零

答案：1. ;

解析：在0.015 s时，质点在由平衡位置向负的最大位移处运动的过程中，速度方向为 轴负方向，根据加速度 可知，加速度的方向为 轴正方向， 错误；在0.01 s至0.02 s内，质点由平衡位置运动到了负的最大位移处，速度与加速度反向，速度减小，加速度增大，在0.02 s至0.03 s内，质点由负的最大位移处向平衡位置运动，速度方向为 轴正方向，加速度为 轴正方向，速度与加速度同向，速度增大，加速度减小， 正确；在第八个0.01 s内，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，速度方向与位移方向都为 轴正方向，但速度减小，位移增大， 错误；由题图可知，质点的振动周期为0.04 s，则 ，一个周期内有两次速度为零，两次回复力为零，根据 知，在1 s内，回复力的瞬时功率有100次为零， 正确。

2.如图所示为一弹簧振子的振动图像。求：

（1）该振子做简谐运动的位移表达式；

（2）在 内，该振子的回复力、动能、势能如何变化？在 内，该振子的加速度、速度、机械能如何变化；

（3）该振子在 内的路程是多少？10 s时位移是多少。

答案：2.（1）

（2）在0.7～0.9 s内，振子从平衡位置向负的最大位移处运动，回复力沿 轴正方向且增大，动能减小，势能增大；在0.9～1.1 s内，振子由负的最大位移处向平衡位置运动，加速度减小，速度增大，机械能不变

（3）

解析：2.（1）由题图可知， ，

时，

故 ，解得

故该振子做简谐运动的位移表达式为

（3） 时，

路程

提升二 简谐运动的特征

例2 （多选）一振子沿 轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。 时振子的位移为 ， 时位移为 ，则(      )

A.若振幅为 ，振子的周期可能为

B.若振幅为 ，振子的周期可能为

C.若振幅为 ，振子的周期可能为4

D.若振幅为 ，振子的周期可能为6

答案： ;

解析：若振幅为 ，则 。当n＝0时， ； 时， ； 时， 。故 正确， 错误。

若振幅为 ，振动分两种情况讨论：

①振子振动如图甲所示，则振子由 点振动到 点用时至少为 ，周期最大为2 s。

甲

②若振子振动如图乙中实线所示。

由 知

时， ，乙

即振子由 点振动到 点用时至少为 ，由简谐运动的对称性可知，振子由 点振动到 点用时至少为 ，则 最大为6 s。若振子振动如图乙中虚线所示，振子由 点振动到 点，则 。综上所述，故 错误， 正确。

综合提升

简谐运动的特征

1.动力学特征

， 表示回复力的方向与位移方向相反， 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2.运动学特征

做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时， 、 、 、 均增大， 、 均减小，靠近平衡位置时则相反。

3.周期性特征

相隔 的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。

4.对称性特征

（1）时间对称性：相隔 的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、回复力、速度、加速度大小相等、方向相反。如图甲所示：

甲

为平衡位置， 、 为振子偏离平衡位置最大位移处，振子 时刻在 点， 时刻运动到 点，则位移 ，速度 ，加速度 。

（2）空间对称性：如图乙所示，振子经过关于平衡位置 对称的两点 、 时，速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

乙

此外，振子由 到 所用时间等于由 到 所用时间，即 。振子往复过程中通过同一段路程（如 段）所用时间相等，即 。

5.能量特征

振动的能量包括动能 和势能 ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

迁移应用

1.如图所示，物体 和 用轻绳相连挂在弹簧下静止不动， 的质量为 ， 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 。当连接 、 的绳突然断开后，物体 将在竖直方向上做简谐运动，则 振动的振幅为(      )

A. B. C. D.

答案：1.

解析：轻绳断开前，弹簧伸长的长度为 。若弹簧下只挂有 ，则静止时弹簧的伸长量 ，此位置为 在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则 振动的振幅为 。

2.弹簧振子以 点为平衡位置，在 、 两点间做简谐运动，在 时刻，从 、 间的 点以速度 向 点运动；在 时，振子速度第一次变为 ；再经过0.30 s时，振子速度第二次变为 。

（1）求弹簧振子振动的周期 ；

（2）若 、 之间的距离为 ，求振子在4.0 s内通过的路程。

答案：2.（1） （2）

解析： 2.（1）由题意结合简谐运动的对称性知，0.20 s内，振子从 点运动到 点，又从 点第一次回到 点，再经0.30 s振子从 点经 点第一次运动到 点关于 点的对称点 ，如图所示。由图可以看出， ， 。则 ，所以 。

（2）振子的振幅 ，因 ，所以振子通过的路程 。

高考体验

1.［2020课标Ⅱ，34（1），5分］用一个摆长为 的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过 保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程）

某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为 。

答案：1. 6.9 ; 96.8

解析：1.设开始时将摆球拉离平衡位置的最大距离为 ，根据题意可知， 约等于摆球沿圆弧移动的最大弧长s，根据已知圆心角对应的弧长公式 ，有 ,摆长 ,解得 ，取不大于 并保留一位小数的数值，则距离应不超过 。

假设新单摆的周期为 ，原单摆的周期为 。根据 ,得出 ， 。

2.［2020浙江7月选考，17（2）］某同学用单摆测量重力加速度，

①为了减少测量误差，下列做法正确的是  (多选)；

A.摆的振幅越大越好

B.摆球质量大些、体积小些

C.摆线尽量细些、长些、伸缩性小些

D.计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处

②改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是  。

A.测周期时多数了一个周期

B.测周期时少数了一个周期

C.测摆长时直接将摆线的长度作为摆长

D.测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长

答案：2.① ; ②

解析：2.①用单摆周期公式 测重力加速度，首先单摆要符合简谐运动，故单摆的最大摆角小于5°，故摆的振幅不能太大，选项 错误；为减小空气阻力带来的误差，摆球质量应大些，体积应小些，选项 正确；在用单摆测周期时不计摆线的质量，故摆线尽量细些，为使摆动过程摆长不变，伸缩性小些，摆线长些可以减小测量误差，选项 正确；计时的起、止位置选在摆球运动的最低点处，误差小，故选项 错误。

②由单摆周期公式 得 ，其中 为摆长，即摆线长度与摆球半径之和，如果摆长测量正确，无论测周期时是多数还是少数一个周期，由 知都会导致 值变化，从而导致 值变化，与题中 值不变相悖，故选项 、 错误；如果周期测量正确，由题图可知，图线对应的物理公式应为 ,故测摆长时直接将摆线的长度作为了摆长，选项 正确， 错误。

3.［2019课标Ⅱ，34（1），5分］如图，长为 的细绳下方悬挂一小球 ，绳的另一端固定在天花板上 点处，在 点正下方 的 处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球 摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为 ，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的 关系的是(      )

答案：3.

解析：摆长为 时单摆的周期 ，振幅 为摆角)，摆长为 时单摆的周期 ，振幅 为摆角)。根据机械能守恒定律得 ，利用 ， ，以及 ， 、 很小 ，解得 ，故 ，故 正确。

4.（2017北京理综，15，6分）某弹簧振子沿 轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是(      )

A. 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B. 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C. 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D. 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

答案：4.

解析：4. 时，振子处于正的最大位移处，振子的速度为零，加速度为负的最大值， 正确； 时，振子在平衡位置且向 轴负方向运动，则振子的速度为负，加速度为零， 错误； 时，振子处于负的最大位移处，振子的速度为零，加速度为正的最大值， 错误； 时，振子在平衡位置且向 轴正方向运动，则振子的速度为正，加速度为零， 错误。