长沙市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题及参考答案

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长沙市一中2022年高一第二学期期中考试数  学时量：120分钟    满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，，则（       ）A．（−2，2） B．（−2，4） C．（2，4） D．2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．不等式成立的一个充分不必要条件是（       ）A． B． C． D．4．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（       ）A．16cm B．cm C．8cm D．cm5．已知在△ABC中，AB=3，AC=4，，则（       ）A． B． C． D．6．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（       ）A．米 B．米 C．米 D．米7．若函数是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间（−1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．8．设函数有5个不同的零点， 则正实数的取值范围为（       ）A．  B．C．  D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）9．已知a，b表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（       ）A．，B．，且C．，，，D．，，10．已知下列四个命题为真命题的是（       ）A．已知非零向量，，，若，，则B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（       ）A．若，则B．若a=4，b=5，c=6，则△ABC为钝角三角形C．若a=5，b=10，，则符合条件的三角形不存在D．若，则△ABC一定是等腰三角形12．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（       ）A．圆锥SO的侧面积为B．三棱锥S−ABC体积的最大值为C．∠SAB的取值范围是D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量，，若，则________．14．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．（答案用a表示）15．已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为________．16．如图ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知，，O为坐标原点．（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；（2）当时，求的取值范围．          18．（本小题满分12分） 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F=2B1F，BE=2B1E．（1）证明：点F在平面AD1E内；（2）若AA1=2AB=4，求三棱锥D−AD1E的体积．            19．（本小题满分12分）（1）在复数范围内，求方程的解；（2）若复数，满足，若，满足，求出，．             20．（本小题满分12分） 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且．（1）求证：PQ//平面A1D1DA； （2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明．         21．（本小题满分12分） 在①；②；③．三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题． 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．            22．（本小题满分12分） 已知函数（）．（1）对任意的实数，恒有成立，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当实数m取最小值时，讨论函数在时的零点个数．