长沙市南雅中学2022高一数学上学期期中考试试卷（原卷）

这是一份长沙市南雅中学2022高一数学上学期期中考试试卷（原卷），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．复数，则（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．-5B．5C．6D．7
3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A．B．-7C．D．
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
5．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
6．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
B．C．D．
7．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间（,）单调递增
③的最大值为2 ④在有4个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．②④C．①④D．①③
8．已知函数,则关于不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）
9．已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数的虚部为B．
C．复数的共轭复数D．复数在复平面内对应的点在第一象限
10．一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（ ）
A．B．与所成的角为
C．D．与所成的角为
11．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
12．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．设平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线，则“”是“”的______________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）．
14．的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的
面积为 ．
15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的体面积为_______．
16. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ．
四、解答题
17．（本小题10分）已知正方体
(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面
18．（本小题12分）已知.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19.（本小题12分）为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒。室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）.根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
20．（本小题12分）已知的内角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
21．（本小题12分）在三棱锥中，分别是棱上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，记三棱锥与三棱锥的体积分别为，，且，求三棱锥的体积.
22．（本小题12分）设函数是定义在上的奇函数．
（1）求值；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的的值．