2021-2022学年苏科版七年级数学下册期末复习试卷(word版含答案)

这是一份2021-2022学年苏科版七年级数学下册期末复习试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列运算不正确的是，如图，下列条件，若，则的值是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年下学期七年级数学期末复习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．m8÷m4＝m2 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
2．下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．若是关于x，y的二元一次方程1﹣ay＝3x的一组解，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．7
5．在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图，，点P是射线上一动点，且不与点B重合．、分别平分、，，，在点P运动的过程中，当时、的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．若，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A．x+y=1003x+3y=100 B．x+y=100x+3y=100
C．x+y=1003x+y=100 D．
9．将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝70°，则∠EAB的度数是（　　）
A．70° B．65° C．55° D．50°

第9题 第10题
10．如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正　　边形．
12．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为　　．
13．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是3x+2y=19x+4y=24，则如图2表示的方程组是　　．

第13题 第14题
14．如图，∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，则∠BCD的度数是　　．
15．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为

16在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝_____°．

17．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则的面积为_____cm2．

18．如图，甲圆与乙圆的面积之和是丙圆面积的，甲圆内阴影部分的面积占甲圆面积的，乙圆内阴影部分的面积占乙圆面积的，丙圆内阴影部分的面积占丙圆面积的，则甲、乙两圆面积的比为_____．

三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（6分）计算
（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7； （2）（﹣1）2021+（）﹣2+（3.14﹣π）0

20．（6分）分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）x2﹣4x﹣12．



21．（6分）（1）解不等式：1．
（2）解方程组：．



22．（6分）（1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．



23．（8分）如图，将△ABC先向右平移4个格子，再向下平移2个格子．
（1）请你画出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；
（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接AD和CD，△ACD的面积为　　．
（3）网格的交点叫做格点，存在格点Q，使得S△BCE＝S△BQE，这样的Q点（不同于C点）有　　个．




24．某药店销售每只进价分别为1.2元、1.7元的A、B两种型号的口罩，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售额
A种型号
B种型号
第一天
300只
500只
2100元
第二天
400只
1000只
3800元
（1）求A、B两种型号口罩的销售单价；
（2）该药店准备再次采购这两种型号的口罩共15000只．如果全部售出后的利润不少于16000元，那么最多采购A种型号的口罩多少只？（进价、售价均保持不变，利润＝销售总额﹣进货成本）







25．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”，（1）不等式的“云不等式”；（填“是”或“不是”）；
（2）若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围；
（3）若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．





26．（2021.江苏七年级期中）已知，，点在边上，点是射线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，（1）如图，若，求的度数；
（2）如图，试探究与的数量关系，并说明理由；（3）连接，当时，直接写出与的数量关系为．



27．（10分）【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．





28．（10分）如图，P为等边△ABC的边BC延长线上的一动点，以AP为边向上作等边△APD，连接CD．
（1）求证：△ABP≌△ACD；
（2）当PC＝AC时，求∠PDC的度数；
（3）∠PDC与∠PAC有怎样的数量关系？随着点P位置的变化，∠PDC与∠PAC的数量关系是否会发生变化？请说明理由．






答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．m8÷m4＝m2 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：m2•m3＝m2+3＝m5，因此选项A不正确；
m8÷m4＝m8﹣4＝m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，因此选项C不正确；
（m3）2＝m3×2＝m6，因此选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
2．（3分）下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
B．（y3）4＝y3×4＝y12，故本选项不合题意；
C．（﹣2x）3＝（﹣2）3x3＝﹣8x3，故本选项不合题意；
D．x3+x3＝2x3，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
4．（3分）若是关于x，y的二元一次方程1﹣ay＝3x的一组解，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．7
【分析】根据题意，可得：1﹣a＝3×2，据此求出a的值是多少即可．
【解答】解：根据题意，可得：1﹣a＝3×2，
∴1﹣6＝a，
解得a＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
5．（2021·江苏九年级专题练习）在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A
【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据题意，写出的取值范围，设，分两种情况讨论，若时和若时，由三角形三边关系结合即可解题．
【详解】解：在中，设，
若时由题意得，解得，
若时，由题意得，（不符合题意，舍去）
故答案为：A．
【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2021·江苏七年级月考）如图，，点P是射线上一动点，且不与点B重合．、分别平分、，，，在点P运动的过程中，当时、的值为（）

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得∠BAM=∠MAP=∠BAP=β，∠DAN=∠DAP，由三角形内角和定理可求∠BAM=∠ANB=β，由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵AM、AN分别平分∠BAP、∠DAP，∴∠BAM=∠MAP=∠BAP=β，∠DAN=∠DAP，
∵∠BAM+∠B+∠AMB=180°，∠B+∠BAN+∠ANB=180°，∠BAN=∠BMA，∴∠BAM=∠ANB=β，
∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠DAN=∠ANB=β，∴α+β+β+β+β=180°，∴α+2β=90°，故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．（2020·南通市通州区实验中学八年级期中）若，则的值是（）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】利用完全平方公式展开，即可得到结果．
【详解】解：∵，两边平方得：，∴=3，故选A
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9．（3分）将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝70°，则∠EAB的度数是（　　）

A．70° B．65° C．55° D．50°
【分析】根据折叠的性质得到∠AED＝∠AED′，由平角的定义得到∠AED+∠AED′+∠CED′＝180°，而∠CED′＝70°，则2∠DEA＝180°﹣70°＝110°，即可得到∠AED的度数．
【解答】解：∵长方形ABCD沿AE折叠得到△AED′，
∴∠AED＝∠AED′，
∵∠AED+∠AED′+∠CED′＝180°，∠CED′＝70°，
∴2∠DEA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AED＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．
10．（3分）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积△ABE的面积△ABD的面积△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，
同理得：△AEF的面积△ABE的面积△ABD的面积△ABC的面积16＝2，
△AEG的面积＝2，
△BCE的面积△ABC的面积＝8，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积△BCE的面积8＝2，
∴△AFG的面积是2×3＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正　十二　边形．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是：180°﹣150°＝30°，
360°÷30°＝12．
则这个正多边形是正十二边形．
故答案为：十二．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
12．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为　3.6×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是3x+2y=19x+4y=24，则如图2表示的方程组是　　．

【分析】观察图形，根据图中的算筹代表的含义，即可找出图2表示的方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，则∠BCD的度数是　105°　．

【分析】连接AC，并延长到E，根据三角形外角性质解答即可．
【解答】解：连接AC，并延长到E，

∵∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，
∴∠BCE＝∠B+∠BAC，∠ECD＝∠D+∠CAD，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠D+∠BAD＝70°+15°+20°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．
15．（2020·四川郫都·期末）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为

【答案】360°
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【解析】过点D作DF∥AE，交AB于点F，

∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（2020·江苏如皋初一期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝_____°．

【答案】82
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解析】解：∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，故答案为：82．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．
17．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则的面积为_____cm2．

【答案】8．
【分析】作DH⊥BC，证明，根据全等三角形的性质得到DH＝BC＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠HCD，
在△ABC和△CHD中，，∴（AAS），
∴DH＝BC＝4，∴的面积＝（cm2），故答案为：8．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2020·江苏初一期末）如图，甲圆与乙圆的面积之和是丙圆面积的，甲圆内阴影部分的面积占甲圆面积的，乙圆内阴影部分的面积占乙圆面积的，丙圆内阴影部分的面积占丙圆面积的，则甲、乙两圆面积的比为_____．

【答案】1：1．
【分析】根据题意设甲圆的面积为x，乙圆的面积为y，丙圆的面积为z，则甲圆内阴影部分的面积是，乙圆内阴影部分的面积是，丙圆内阴影部分的面积是，即，再根据甲圆内阴影部分的面积得出x+y＝z，根据这两个数量关系，求出用z不上x、y的值，即可求得甲、乙两圆面积的比．
【详解】解：设甲圆的面积为x，乙圆的面积为y，丙圆的面积为z，则甲圆内阴影部分的面积是，乙圆内阴影部分的面积是，丙圆内阴影部分的面积是，
，即4x+6y＝3z①，
x+y＝z，即x＝z﹣y②，
把②代入①得，4（z﹣y）+6y＝3z，整理得y＝z，x＝z﹣y＝z﹣z＝z，
x：y＝1：1，所以甲、乙两圆面积的比为1：1，故答案为：1：1．
【点睛】本题考查扇形的面积，根据数量关系等式找出甲、乙、丙圆的面积的关系，用丙的面积表示甲、乙的面积是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（6分）计算
（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7
（2）（﹣1）2019+（）﹣2+（3.14﹣π）0
【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方和整式的加减的计算法则进行计算即可；
（2）利用负整数指数幂、零次幂的意义进行计算即可．
【解答】解：（1）（2x5）2﹣（﹣3x3）•2x7，
＝4x10+6x10，
＝10x10；
（2）（﹣1）2019+（）﹣2+（3.14﹣π）0，
＝﹣1+4+1，
＝4；
【点评】本题考查积的乘方、幂的乘方和整式的加减、负整数指数幂、零次幂的意义，掌握计算法则是进行计算的前提．
20．（6分）分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2）x2﹣4x﹣12．
【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2；
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（2）x2﹣4x﹣12
＝（x﹣6）（x﹣2）．
【点评】本题考查公式法、提公因式法进行因式分解，掌握公式的结构特征是正确利用公式的前提．
21．（6分）（1）解不等式：1．
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤依次计算可得；
（2）利用加减消元法求解可得．
【解答】解：（1）去分母，得：3（1+x）﹣6≤2x，
去括号，得：3+3x﹣6≤2x，
移项，得：3x﹣2x≤6﹣3，
合并同类项，得：x≤3；

（2），
②×2﹣③，得：7y＝14，
解得y＝2，
将y＝2代入②，得：x+4＝8，
解得x＝4，
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
22．（6分）（1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，再把它的解集在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，再写出该不等式组的最大整数解即可．
【解答】解：（1），
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x＞﹣4，
故原不等式组的解集为x＞1，
在数轴上表示出来为：

（2），
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x＜1，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
故不等式组的最大整数解为：x＝0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
23．（8分）如图，将△ABC先向右平移4个格子，再向下平移2个格子．
（1）请你画出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；
（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接AD和CD，△ACD的面积为　3　．
（3）网格的交点叫做格点，存在格点Q，使得S△BCE＝S△BQE，这样的Q点（不同于C点）有　8　个．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作．

（2）S△ACD3×2＝3．
故答案为：3．
（3）如图，满足条件的点有8个．
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．某药店销售每只进价分别为1.2元、1.7元的A、B两种型号的口罩，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售额
A种型号
B种型号
第一天
300只
500只
2100元
第二天
400只
1000只
3800元
（1）求A、B两种型号口罩的销售单价；
（2）该药店准备再次采购这两种型号的口罩共15000只．如果全部售出后的利润不少于16000元，那么最多采购A种型号的口罩多少只？（进价、售价均保持不变，利润＝销售总额﹣进货成本）
【答案】（1）A型号口罩的销售单价为2元/只，B型号口罩的销售单价为3元/只；（2）最多采购A种型号的口罩7000只．
【分析】（1）设A型号口罩的销售单价为x元/只，B型号口罩的销售单价为y元/只，根据表格中的数据，列方程组求解即可；（2）设采购A种型号的口罩m只，据销售利润不少于1600元，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）设A型号口罩的销售单价为x元/只，B型号口罩的销售单价为y元/只，
根据题意，得．解得．
答：A型号口罩的销售单价为2元/只，B型号口罩的销售单价为3元/只；
（2）设采购A种型号的口罩m只，则采购B种型号的口罩（15000﹣m）只，
依题意得：（2﹣1.2）m+（3﹣1.7）（15000﹣m）≥16000．解得m≤7000．所以m最大值是7000．
答：最多采购A种型号的口罩7000只．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握找相等关系列方程与不等关系列不等式是解题的关键．
25．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”，（1）不等式的“云不等式”；（填“是”或“不是”）；
（2）若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围；
（3）若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【答案】（1）是；（2）；（3）或
【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，解不等式2x-3＜x+1得x＜4，再根据云不等式的定义可得-2m＞3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论，根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【详解】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2，
∴不等式x≥2是x≤2的“云不等式”，故答案为：是；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，解不等式2x-3＜x+1得x＜4，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3＜x+1的“云不等式”，∴-2m＞3，
解得．故m的取值范围是；
（3）∵，∴，∴，
①当时，即时，的解集是x≤1，
∵，∴，由题可得，即，故；
②当时，即时，的解集是x≥1，此时始终符合题意，故，
综上所述：的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查新定义运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的确定方法是解题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
26．（2021.江苏七年级期中）已知，，点在边上，点是射线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，（1）如图，若，求的度数；
（2）如图，试探究与的数量关系，并说明理由；（3）连接，当时，直接写出与的数量关系为．


【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①当点在边上时，，②当点在的延长线上时，；
【分析】（1）利用四边形内角和求出∠BEB′的值，进而可求出的度数；（2）方法类似（1）；
（3）分两种情形：如图1-1中，当点D线段AB上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′；如图2中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．分别利用平行线的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图1中由翻折的性质可知，∠DBE=∠DB′E=80°，
∵∠ADB′=125°，∴∠BDB′=180°-125°=55°，∵∠BEB′+∠BDB′+∠DBE+∠DB′E=360°，
∴∠BEB′=360°-55°-80°-80°=145°，∴∠CEB′=180°-145°=35°．
（2）结论：∠ADB′=∠CEB′-20°．
理由：如图2中，∵，∴B′=CBD=180°-80°=100°，
∵∠ADB′+∠BEB′=360°-2×100°=160°，∴∠ADB′=160°-∠BEB′，
∵∠BEB′=180°-∠CEB′，∴∠ADB′=∠CEB′-20°．
（3）如图1-1中，当点D线段AB上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′
理由：连接CB′．

∵CB′//AB，∴∠ADB′=∠CB′D，由翻折可知，∠B=∠DB′E=80°，
∴∠CB′E+80°=∠CB′D=∠ADB′．
如图2-1中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．
由：连接CB′．∵CB′//AD，∴∠ADB′+∠DB′C=180°，
∵∠ABC=80°，∴∠DBE=∠DB′E=100°，
∴∠CB′E+100°+∠ADB′=180°，∴∠CB′E+∠ADB′=80°．
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
故答案为：∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
【点睛】本题考查翻折变换，多边形内角和定理，平行线的性质，以及分类讨论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

27．（10分）【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

【分析】【探究发现】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝∠DCB＝45°，即可证DB＝DP；
【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB．
【解答】【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DP＝DB；
【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG
，在△CDP和△GDB中，，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DP＝DB．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键．
28．（10分）如图，P为等边△ABC的边BC延长线上的一动点，以AP为边向上作等边△APD，连接CD．
（1）求证：△ABP≌△ACD；
（2）当PC＝AC时，求∠PDC的度数；
（3）∠PDC与∠PAC有怎样的数量关系？随着点P位置的变化，∠PDC与∠PAC的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

【分析】（1）根据SAS证明三角形证明即可．
（2）证明∠APC＝30°，再利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）结论：∠PDC＝∠PAC．证明△CPA≌△TPD（SAS），可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADP是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AD，∠BAC＝∠PAD＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
在ABP和△ACD中，
，
∴△ABP≌△ACD（SAS）．

（2）解：∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA，
∵∠ACB＝∠CAP+∠CPA，
∴∠CPA＝∠CAP＝30°，
∵△ABP≌△ACD，
∴∠APB＝∠ADC＝30°，
∵∠ADP＝60°
∴∠PDC＝∠ADP﹣∠ADC＝30°．
（3）结论：∠PDC＝∠PAC．
理由：设AP交CD于O，在CD上截取点T，使得CT＝CP，连接PT．
∵△ABP≌△ACD，
∴∠APB＝∠ADC，
∵∠AOD＝∠COP，
∴∠OCP＝∠DAP，
∵△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠APD＝60°，PA＝PD，
∴∠PCT＝60°，
∵CT＝CP，
∴△CPT是等边三角形，
∴∠CPT＝∠APD＝60°，PC＝PT，
∴∠CPA＝∠TPD，
在△CPA和△TPD中，
，
∴△CPA≌△TPD（SAS），
∴∠CDP＝∠CAP．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．