2022实验中学高二下学期第三次月考（选23）数学试题（含详解）

吉林省实验中学

2021-2022学年度下学期高二年级线上教学诊断检测（三）

数学

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 设随机变量X的概率分布列如下：则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分布列的性质求得m的值，由确定变量的取值，结合分布列求得答案.

【详解】由分布列性质可得： ，则 ，

由,

故选：C

2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据散点图可得正负相关关系，并根据散点图的集中程度确定大小关系.

【详解】由散点图可知：图和图是正相关，相关系数大于；图和图是负相关，相关系数小于；

图中的点比图中的点更加集中，；图中的点比图中的点更加集中，；

.

故选：A.

3. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ）

A. 是否倾向选择生育二胎与户籍无关

B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关

C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D. 倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

【答案】D

【解析】

【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.

【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；

对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；

对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；

对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.

故选：D.

4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.

【详解】由题意得，，

故曲线在点处的切线的斜率为 ，

故曲线在点处的切线的倾斜角为 ，

故选：B

5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A. 0.477 B. 0.682 C. 0.954 D. 0.977

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可确定正态曲线的对称轴为 ，由对称性即可求得答案.

【详解】由随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为 ，

若，则 ，

故，

故选：A

6. 已知，若，则（    ）

A. 992 B. －32 C. －33 D. 496

【答案】D

【解析】

【分析】先由求得，再通过赋值法令和求得即可.

【详解】由题意知：，则，解得；令，则，

令，则，两式相加得，则.

故选：D.

7. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（    ）

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

【答案】C

【解析】

【分析】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.

【详解】先将剩下的3名志愿者分为两组有种，再把小明和小李分别放在两组中有2种，

最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有种.

故选：C.

8. 定义在R上的函数满足：，，则关于不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为,由构造函数的单调性与即可求解．

【详解】设，则,
, , 又，

所以, 在定义域上单调递增,

对于不等式转化为，

又，,

, 而在定义域上单调递增,

故选：D

二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 若随机变量X服从两点分布，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质，可判断A,C;;利用方差的计算公式和性质，可判断B,D.

【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，

则，

故，故A正确；,故C错误；

，故B正确；

,故D错误，

故选：AB

10. 某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法正确的是（    ）

A. y与x的相关系数

B. 产量8吨时预测所需材料约为5.95吨

C.

D. 产品产量增加1吨时，所需材料一定增加0.7吨

【答案】BC

【解析】

【分析】根据回归方程的意义即可判断AD；求出样本中心点，再根据回归直线必过样本中心点求出，即可判断BC.

【详解】解：因为根据表中的数据可得回归直线方程，

所以产量与材料呈正相关，

所以相关系数，故A错误；

，

则，解得，故C正确；

所以回归直线方程，

当时，，

即产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨，故B正确；

产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨，故D错误.

故选：BC.

11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ）

A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法

C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法

D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用直接法、插空法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.

【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；

B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；

C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；

D：分2种情况讨论：

若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，

若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，

所以，共有种排法，故D错误.

故选：ABC.

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则在单调递减

B. 若，则

C. 若，则有最小值

D. 若有解，则实数c的最小值为－1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，B，C，直接求导判断单调性及最值即可；对于D，将问题转化为有解，构造函数求导，判断单调性后求出最小值即可.

【详解】易得，对于A，若，，则，，当时，，则在单调递增，A错误；

对于B，若，则，，当时，单减，

当时，单增，则，B正确；

对于C，，令，，显然，设两根为，则，

两根异号，不妨设，则当时，单减，当时，单增，则有最小值，C正确；

对于D，有解，等价于有解，令，

则，当时，单减，当时，单增，

则，则，则实数c的最小值为－1，D正确.

故选：BCD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的单调递增区间是______．

【答案】

【解析】

【分析】求定义域，求导，利用导函数大于0解不等式，求出递增区间.

【详解】的定义域为，

，

令，解得：或，

因为定义域为，

所以单调递增区间为.

故答案为：

14. 由样本数据，，，得到的回归方程为，已知如下数据：， ，，则实数的值为______．

【答案】##－01

【解析】

【分析】令，由回归方程必过样本中心点即可求解.

【详解】令，则回归方程必过样本中心点，又，则，解得.

故答案为：.

15. 若n是正整数，则除以7的余数是______．

【答案】1或6

【解析】

【分析】根据二项式定理可知，，再展开分n为偶数和奇数两种情况讨论余数即可.

【详解】根据二项式定理可知，，

又，

所以当n为偶数时，除以7的余数为1；当n为奇数时，除以7的余数为6.

故答案为：1或6

16. 一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______．

【答案】1

【解析】

【分析】由题意确定白球以及黑球的个数，然后求出和，根据期望的计算公式，即可求得答案.

【详解】由题意知白球的个数不为0和4，

假设白球有1个，则,与矛盾；

假设白球有2个，则，符合题意；

假设白球有3个，则，不符合题意；

故白球有2个，黑球有2个，红球有1个，

则随机变量的可能取值为：0,1,2，

则，，

则，

故，

故答案为：1

四、解答题：本题包括6小题，第17小题10分，第18~22题每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的40%，35%，25%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该厂这批产品中任取一件．

（1）求取到次品的概率；

（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？

【答案】（1）0.039   

（2），，

【解析】

分析】（1）考虑到次品可能来源于三个车间，根据全概率公式即可求得答案；

（2）根据条件概率的计算公式，即可求得答案.

【小问1详解】

设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品，

则 , ,

故取到次品的概率为.

【小问2详解】

若取到的是次品，则：

此次品由甲车间生产的概率为：;

此次品由乙车间生产的概率为：;

此次品由丙车间生产的概率为：;

18. 为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了200名学生，统计他们在寒假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，统计情况如下：

（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“参加体育运动时间”与“性别”是否有关？

（2）现从“运动欠佳”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人中恰有一人是女生的概率．

参考公式：

【答案】（1）表格见解析，依据小概率值的独立性检验，认为“运动达标”与“性别”无关；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先完善列联表，再计算，和6.635比较即可判断；

（2）先由分层抽样求得5人中男生、女生的人数，再由组合及古典概型计算概率即可.

【小问1详解】

列联表为

假设：运动达标与否与性别无关．

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“运动达标”与“性别”无关；

【小问2详解】

已知“运动欠佳”的男生、女生分别有32人和48人，按分层抽样的方法从中抽取5人，则男生、女生分别抽到2人和3人，

选中的2人中恰有一人是女生的概率为.

19. 为了中国经济的持续发展制定了从2021年至2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．

（1）估算这次考试成绩的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求的分布列与数学期望．

【答案】（1）69    （2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）先求得内的频率，再根据平均数的计算方法求得答案；

（2）由题意确定考试成绩在的频率为0.2，可判断，根据二项分布的概率公式即可求得分布列,继而求得期望.

【小问1详解】

设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得，，解得：,

则考试成绩的平均分数为．

【小问2详解】

根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为0.2，

，，，,

故随机变量的分布列为

因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为.

20. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有6人，其中2名是男生，4名是女生）

（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

（2）从这6名戴角膜塑形镜的学生中，选出2个人，求其中男生人数X的期望与方差；

（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．

【答案】（1）   

（2），   

（3）期望是1.2，方差是1.128

【解析】

【分析】（1）先求解这位小学生戴眼镜的概率，再求这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率，再根据条件概率的公式求解即可；

（2）易得男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，再根据概率公式求解分布列，再根据公式求解数学期望与方差即可；

（3）根据二项分布的数学期望与方差公式求解即可

【小问1详解】

根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则，

故所求的概率为：，

所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；

【小问2详解】

依题意，佩戴角膜塑形镜的有6人，其中2名是男生，4名是女生，故从中抽2人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，

；；．

所以男生人数X的分布列为：

所以，

【小问3详解】

由已知可得：

则：，

所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.2，方差是1.128

21. 新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第天的口罩销售量（百件），得到的数据如下：，，，，．

（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；

（2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，可能不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到与之间的关系，且模型2的决定系数，在线性回归模型中决定系数可由相关系数的平方计算，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好．

附：参考数据：

参考公式：相关系数；对于一组具有线性相关关系数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

【答案】（1）   

（2）模型2拟合性更好

【解析】

【分析】（1）根据回归直线的斜率和截距的最小二乘法的公式求得系数，，即可求得回归直线方程；

（2）根据相关系数公式求得模型1的相关系数，即得决定系数，和模型2的决定系数比较，可得答案.

【小问1详解】

由题意知，，，

由题意得，，

，

故所求回归直线的方程为；

【小问2详解】

模型1的相关系数

，

故模型2的拟合性更好．

22. 已知函数，且，其中是自然对数的底数

（1）当时，求函数的单调区间和最值；

（2）若函数没有零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，最小值是，无最大值   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，求导分析导函数的零点与正负区间，进而确定的单调区间和最值即可；

（2）求导可得，再分和两种情况，分析导函数的单调性与最值判断即可

【小问1详解】

当时，

，，令，

当时，，单调递减，当时，，单调递增

∴单调减区间是，单调增区间是

∴最小值是，无最大值．

【小问2详解】

由题可知，，其中，

当时，恒成立，在区间上单调递增．

令，即，，如图

因为当时，，，

可知，，必有一个零点，不符合题意．

当时，令，则，

时，，单调递减，当时，，单调递增

当时，即，有一个零点，不符合题意

当时，即，没有零点，符合题意

当时，即，因为，∴，，有一个零点，不符合题意．

综上所述，当时，函数没有零点．