2021-2022学年北京市延庆区第二区中考数学四模试卷含解析

这是一份2021-2022学年北京市延庆区第二区中考数学四模试卷含解析，共18页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列事件中为必然事件的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．若代数式，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．任意实数
3．一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．180° B．150° C．120° D．90°
4．如图，有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C．3 D．
6．在下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2
8．如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AC上一点，BC=BD=AD,则∠A的大小是（　　　）．

A．36° B．54° C．72° D．30°
9．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中的值是（ ）．

A． B． C． D．
10．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放茂名新闻 B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D．下雨后，天空出现彩虹
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π）

12．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．

13．今年我市初中毕业暨升学统一考试的考生约有35300人,该数据用科学记数法表示为________人.
14．二次根式 中的字母a的取值范围是_____．
15．对于函数，我们定义（m、n为常数）．
例如，则．
已知：．若方程有两个相等实数根，则m的值为__________．
16．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，．按此规定，的值为________．
17．使得关于x的分式方程的解为负整数，且使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解的所有k的和为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）解方程：
19．（5分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆．
如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD⊥IC于点D．
（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论．
（2）设AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，，试作出分别以 , 为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程．

20．（8分）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．写出图中小于平角的角．求出∠BOD的度数．小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明道理．

21．（10分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

22．（10分）如图，在等边中，，点D是线段BC上的一动点，连接AD，过点D作，垂足为D，交射线AC与点设BD为xcm，CE为ycm．
小聪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

0

1

2

3

4

5




___

0




0
说明：补全表格上相关数值保留一位小数
建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD是线段CE长的2倍时，BD的长度约为_____cm．

23．（12分）（）如图①已知四边形中，，BC=b，，求：
①对角线长度的最大值；
②四边形的最大面积；（用含，的代数式表示）
（）如图②，四边形是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：，，，，请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号）

24．（14分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
∵，
∴，
∴.
故选C.
2、C
【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．
【详解】
解：依题意得：x2≥1且x≠1．
解得x≠1．
故选C．
【点睛】
考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．
3、B
【解析】
解：，解得n=150°．故选B．
考点：弧长的计算．
4、C
【解析】
试题解析：左视图如图所示：

故选C.
5、B
【解析】
根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】
解：∵=2，∴选项A不正确；
∵=2，∴选项B正确；
∵3﹣=2，∴选项C不正确；
∵+=3≠，∴选项D不正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
6、C
【解析】
解：A图形不是中心对称图形；
B不是中心对称图形；
C是中心对称图形，也是轴对称图形；
D是轴对称图形；不是中心对称图形
故选C
7、A
【解析】
根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；
【详解】
观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1．
故选A．
【点睛】
本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8、A
【解析】
由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
【详解】
解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x．
又∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，即∠A=36°．
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
9、D
【解析】
根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值．
【详解】
解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对, 故x=8,故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.
10、B
【解析】
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；
B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；
C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；
D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．
故选B．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、πcm1．
【解析】
求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．
【详解】
解：∵AB长为15cm，贴纸部分的宽BD为15cm，
∴AD=10cm，
∴贴纸的面积为S=S扇形ABC﹣S扇形ADE=（cm1），
故答案为πcm1．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
12、1
【解析】
试题分析：设点C的坐标为（x，y），则B（－2，y）D（x，－2），设BD的函数解析式为y=mx，则y=－2m，x=－，∴k=xy=（－2m）·（－）=1．
考点：求反比例函数解析式．
13、3.53×104
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
35300=3.53×104，
故答案为：3.53×104.
14、a≥﹣1．
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.
【详解】
由分析可得，a+1≥0，
解得：a≥﹣1.
【点睛】
熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.
15、
【解析】
分析：根据题目中所给定义先求，再利用根与系数关系求m值.
详解：由所给定义知，,若
=0,
解得m=.
点睛：一元二次方程的根的判别式是,
△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,
△=0说明方程有两个相等实数解,
△<0说明方程无实数解.
实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.
16、4
【解析】
根据规定，取的整数部分即可.
【详解】
∵，∴
∴整数部分为4.
【点睛】
本题考查无理数的估值，熟记方法是关键.
17、12.1
【解析】
依据分式方程=1的解为负整数，即可得到k＞，k≠1，再根据不等式组有1个整数解，即可得到0≤k＜4，进而得出k的值，从而可得符合题意的所有k的和．
【详解】
解分式方程=1，可得x=1-2k，
∵分式方程=1的解为负整数，
∴1-2k＜0，
∴k＞，
又∵x≠-1，
∴1-2k≠-1，
∴k≠1，
解不等式组，可得，
∵不等式组有1个整数解，
∴1≤＜2，
解得0≤k＜4，
∴＜k＜4且k≠1，
∴k的值为1.1或2或2.1或3或3.1，
∴符合题意的所有k的和为12.1，
故答案为12.1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，解题时注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、x=-4是方程的解
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】


∴x=-4，
当x=-4时，
∴x=-4是方程的解
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19、 (1) D、E、F三点是同在一条直线上．(2) 6x2﹣13x+6=1．
【解析】
（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；
（2）利用相似和韦达定理即可求解.
解：（1）结论：D、E、F三点是同在一条直线上．
证明：分别延长AD、BC交于点K，

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK，AC=CK，
再由切线长定理得：AC+CE=AF，BE=BF，
∴KE=AF．∴，
由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D、E、F三点共线，
即D、E、F三点共线．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，
∴A、E、I三点共线，CE=BE=3，AE=4，
连接IF，则△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四点共圆．
设⊙I的半径为r，则：，
∴，即，，
∴由△AEF∽△DEI得：
，
∴．
∴，
因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x2﹣13x+6=1．
点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.
20、（1）答案见解析 （2）155° （3）答案见解析
【解析】
（1）根据角的定义即可解决；（2）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；（3）根据∠COE=∠DOE﹣∠DOC和∠BOE=∠BOD﹣∠DOE分别求得∠COE与∠BOE的度数即可说明．
【详解】
（1）图中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB．
（2）因为∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=25°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°，
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°．
（3）因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，
所以∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣25°=65°．
又因为∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．

【点睛】
本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
21、（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）
【解析】
分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22、（1）1.1；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）（2）需要认真按题目要求测量，描点作图；
（3）线段BD是线段CE长的2倍的条件可以转化为一次函数图象，通过数形结合解决问题．
【详解】
根据题意测量约
故应填：
根据题意画图：

当线段BD是线段CE长的2倍时，得到图象，该图象与中图象的交点即为所求情况，测量得BD长约.
故答案为（1）1.1；（2）见解析；（3）1.7.
【点睛】
本题考查函数作图和函数图象实际意义的理解，在中，考查学生由数量关系得到函数关系的转化思想．
23、（1）①；②；（2）150＋475＋475.
【解析】
（1）①由条件可知AC为直径，可知BD长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC，求得AD2＋CD2，利用不等式的性质可求得AD•CD的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值；
（2）连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，可先求得△ABC的面积，结合条件可求得∠D＝45°，且A、C、D三点共圆，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，再求得
△ACD′的面积即可．
【详解】
（1）①因为∠B＝∠D＝90°，所以四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，则BD长度的最大值为AC，此时BD＝，
②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝AD×CD≤（AD2＋CD2）＝（a2＋b2），所以四边形ABCD的最大面积＝（a2＋b2）＋ab＝；
（2）如图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E，因为AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，所以AE＝AB×sin60°＝10，EB＝AB×cos60°＝10，S△ABC＝AE×BC＝150，因为BC＝30，所以EC＝EB＋BC＝40，AC＝＝10，因为∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，所以∠D＝45°，则△ACD中，∠D为定角，对边AC为定边，所以，A、C、D点在同一个圆上，做AC、CD中垂线，交点即为圆O，如图，

当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D’，交AC于F，FD’即为所求最大值，连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD’C＝90°，OA＝OC，所以△AOC，△AOF等腰直角三角形，AO＝OD’＝5，OF＝AF＝＝5,D’F＝5＋5，S△ACD’＝AC×D’F＝5×（5＋5）＝475＋475，所以Smax＝S△ABC＋S△ACD＝150＋475＋475.
【点睛】
本题为圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理、不等式的性质、解直角三角形及转化思想等．在（1）中注意直径是最长的弦，在（2）中确定出四边形ABCD面积最大时，D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，计算量很大，难度适中．
24、（1）证明见解析（2）3
【解析】
（1）连接，由为的中点，得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，即可得到结论；
（2）连接，由勾股定理得到，根据切割线定理得到，根据勾股定理得到，由圆周角定理得到，即可得到结论.
【详解】
相切，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴直线与相切；
方法：连接，
∵，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
方法：∵，
易得，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键.