2022年广东省东莞市南开实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市南开实验学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 实数的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，点在上，，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

3. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是

A.
B.
C.
D.

5. 学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法正确的是

A. 函数的图象是过原点的射线
B. 直线经过第一、二、三象限
C. 函数，随增大而增大
D. 函数，随增大而减小

10. 我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
          点到各边的距离相等  设，，则，正确的结论有个．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 计算：______．
14. 已知，且，则 ______ ．
15. 不等式组的解集是______ ．
16. 如图，海中有一个小岛一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上小岛到航线的距离是______ ，结果用四舍五入法精确到．
17. 如图，在边长为的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点，以为圆心、长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．
     

18. 如图，在中，，，，点是平面内一个动点，且，为的中点，在点运动过程中，设线段的长度为，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19. 先化简，再求值：，其中是已知两边分别为和的三角形的第三边长，且是整数．
20. 为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间单位：，按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次抽样调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
21. 如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．
    求证：是的切线；
    若，，求和的长．
     

22. 我国传统数学名著九章算术记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有个头，从下面数有只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
    笼中鸡、兔各有多少只？
    若还是只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少只且不超过只鸡每只值元，兔每只值元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点在第一象限，，在轴的正半轴上在的右侧，，，与关于所在的直线对称．
    当时，求点的坐标；
    若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长；
    如图，将中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．

24. 如图，直线与，轴分别交于点，，顶点为的抛物线过点．
    求出点，的坐标及的值；
    若函数在时有最大值为，求的值；
    连接，过点作的垂线交轴于点设的面积为．
    直接写出关于的函数关系式及的取值范围；
    结合与的函数图象，直接写出时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义进而得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用平角的定义可得，再根据平行线的性质知，再由内角和定理可得答案．
本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选C．
根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，计算后直接选取答案．
本题考查积的乘方的性质和幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．
故选：．
根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
 

5.【答案】

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有种，
两人恰好是一男一女的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了利用轴对称设计图案和利用旋转设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

7.【答案】

【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，，，
，
绕顶点逆时针旋转到处，
，，
点为的中点，
，
，
过点作于，如图，

，
解得：，
在中，，
，，
，
．
故选：．
由勾股定理求出，由旋转的性质可得，，再求出，从而得到，过点作于，由三角形的面积求出，由勾股定理列式求出，再由等腰三角形三线合一的性质可得，然后由代入数据计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：、函数的图象是过原点的直线，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、直线经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、函数，随增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意；
D、函数，随增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设物价是钱，根据题意可得：
．
故选：．
根据人数总钱数每人所出钱数，得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由在 中， 和 的平分线相交于点 ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出 和 是等腰三角形得出 正确；由角平分线的性质得出点 到 各边的距离相等，故 正确；由角平分线与三角形面积的求解方法，即可求得 正确．
【解答】
解： 在 中， 和 的平分线相交于点 ，
， ， ，
，
；故 正确；
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
故 正确；
过点 作 于 ，作 于 ，连接 ，

在 中， 和 的平分线相交于点 ，
，故 正确；
设 ，
；故 正确；
故选： ．   

12.【答案】

【解析】解：将，代入得：，
解得，
二次函数为：，
当时，对应的函数值，
，
，
，即，
，，，
，故不正确；
时，时，
，，
，
，
，故正确；
抛物线过，，
抛物线对称轴为，
又当时，对应的函数值，
根据对称性：当时，对应的函数值，
而时，
抛物线与轴负半轴交点横坐标在和之间，
关于的方程的负实数根在和之间，故正确；
和在该二次函数的图象上，
，，
若，则，
即，
，
，
解得，故正确，
故选：．
根据待定系数法得到二次函数为：，根据题意代入时，得到，解不等式求得，进一步求得，，即可判断；由表格数据可知，，即可得出，由，即可得出，即可判断；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴负半轴交点横坐标在和之间，即可判断；由，根据图象上点的坐标特征求得即可判断．
本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
 

13.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，，
，，
得，，
．
故应填．
根据完全平方公式把已知条件的两多项式平方，然后相加即可得到的值．
本题主要考查完全平方公式两公式的联系，平方后相加即可消去乘积二倍项，熟记公式结构是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作交的延长线于点，
由题意得，，，
，
，
，
，
在中，，
，
故小岛到航线的距离是，
故答案为．
过点作交的延长线于点，根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据正弦的定义求出即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：连接，
为直径，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积

，
故答案为．
根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

在中，，，，
，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
在中，，
，
点，点是定点，点是动点，且点以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当点，，三点共线，且点在线段上时，取得最小值，
当点，，三点共线，且点在射线上时，取得最大值，
综上，的取值范围为：．
故答案为：．
取的中点，连接，，分析可知，点，点是定点，点是动点，且点以点为圆心，长为半径的圆上运动，且当点，，三点共线，且点在线段上时，取得最小值，当点，，三点共线，且点在射线上时，取得最大值，可得结论．
本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关系等内容，分析清楚点的运动是本题解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
是已知两边分别为和的三角形的第三边长，
，即，
为整数，
、、，
由分式有意义的条件可知：、、，
，
原式．

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

20.【答案】  ，
组的人数名，
条形统计图如图所示，


名．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数为．

【解析】解：这次抽样调查的样本容量是，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；


用组的人数所占百分比计算即可，计算组的百分比，用组的百分数乘以即可得出组所在扇形的圆心角的大小；
求出组人数，画出条形图即可；
用，两组的百分数之和乘以即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：连接，

平分，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
即，
是的切线；
解：连接交于点，

为直径，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】连接，只要证明即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
连接交于，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到的三边长，再利用即可求得的长．
本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，能够求证四边形是矩形是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设笼中鸡有只，兔有只，
依题意得：，
解得：．
答：笼中鸡有只，兔有只．
设笼中鸡有只，则兔有只，
依题意得：，
解得：．
设这笼鸡兔共值元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值；
当时，取得最大值，最大值．
答：这笼鸡兔最多值元，最少值元．

【解析】设笼中鸡有只，兔有只，根据“从上面数有个头，从下面数有只脚”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设笼中鸡有只，则兔有只，根据笼中鸡兔至少只且不超过只，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设这笼鸡兔共值元，根据总价单价数量，即可得出关于关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、数学常识以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：如图中，作轴于．

，
，
，
根据对称性可知：，，
，
，
，，
，
点坐标为
设，则点的坐标，
由题意，可得，
点、在同一反比例函数图象上，
，
，
．
存在．理由如下：
如图中，当点在线段的延长线上，且时，．

在中，，，
，
在中，，
，
，
由可知，
．

如图中，当时．作于，交的延长线于．

，，
∽，
．
，，
∽，

，
四边形是矩形，
，
∽，
，设，则，
，，
，在同一反比例函数图象上，
，
解得，
，
．

【解析】如图中，作轴于，解直角三角形清楚，即可解决问题；
设，则点的坐标，由题意，可得，点、在同一反比例函数图象上，可得，清楚即可；
分两种情形：如图中，当点在线段的延长线上，且时，．
如图中，当时．分别求解；
本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：直线与，轴分别交于点，，
点，点，
抛物线过点，
；
，
对称轴为直线，
当，时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：；
当，时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得：不合题意舍去，
综上所述：；
当时，则，
如图，过点作轴于，

，
点坐标为，
，，
，轴，
，
，，
，
≌，
，
，
；
当，时，即，
如图，过点作轴于，

，，
同理可得≌，
，
，
；
当，时，即，
如图，过点作轴于，

，，，
同理可得≌，
，
，
；
当时，点与点重合，不合题意，
当，时，即，
如图，过点作轴于，

，，，
同理可得≌，
，
，
；
综上所述：．
当时，，
当时，不存在的值使；
当且时，，
，
或不合题意舍去；
当时，，
，
不合题意舍去或，
综上所述：或．

【解析】先求出点，点，将点坐标代入解析式可求的值；
分，两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
分四种情况讨论，由“”可证≌，可得，由三角形的面积公式可求解；
分三种情况讨论，解不等式可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．