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江苏省南通市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题(试卷)
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2020-2021学年度第二学期七年级期末学业质量监测
数学试题
一、选择题(2分×10=20分)
1. 下列实数中,是无理数的为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【详解】解:=2,
∴,3.14,是有理数;是无理数,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
2. 下列调查中,适宜采用全面调查的是( )
A. 了解新冠肺炎疫情期间某中学师生的每日体温
B. 了解“停课不停学”期间我市七年级学生的听课情况
C. 了解新冠肺炎疫情期间我省生产的口罩的合格率
D. 了解全国各地七年级学生对新冠病毒相关知识的了解情况
【答案】A
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【详解】解:A.了解新冠肺炎疫情期间某中学师生的每日体温,适合抽样调查,故本选项符合题意;
B.了解“停课不停学”期间我市七年级学生的听课情况,调查范围广,适合抽样调查,故本选项不合题意;
C.了解新冠肺炎疫情期间我省生产的口罩的合格率,调查范围广,适合抽样调查,故本选项不合题意;
D.了解全国各地七年级学生对新冠病毒相关知识的了解情况,调查范围广,适合抽样调查,故本选项不合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
3. 已知a>b,则下列不等式中不成立的是( )
A. a﹣3>b﹣3 B. ﹣3a>﹣3b C. > D. a+3>b+3
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可.
【详解】解:A、∵a>b,∴a﹣3>b﹣3,故本选项成立;
B、∵a>b,∴﹣3a<﹣3b,故本选项不成立;
C、∵a>b,∴,故本选项成立;
D、∵a>b,∴a+3>b+3,故本选项成立.
故选:B.
【点睛】本题考查的是不等式的性质,熟知不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变是解答此题的关键.
4. 在平面直角坐标系中,点的坐标为,如果把点向左平移个单位,再向上平移个单位得到点,则的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加求解即可.
【详解】解:点M的坐标为(1,-3),如果把点M向左平移5个单位,再向上平移3个单位得到点M′,
则M′的坐标为(-4,0),
故选:C.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
5. 如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=55°,则∠2的度数为( )
A. 55° B. 45° C. 40° D. 35°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到∠3=55°,再结合平角的定义即可得到结论.
【详解】解:如图,∵ABCD,
∴∠1=∠3=55°,
∵∠2+90°+∠3=180°,
∴∠2=35°,
故选:D.
【点睛】本题考查了平行线的性质,平角的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.
6. 如图,河道m的同侧有M、N两个村庄,计划铺设一条管道将河水引至M,N两地.下面的四个方案中,管道长度最短的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离.
【详解】解:作点M关于直线m的对称点M′,连接NM′交直线m于Q.
根据两点之间,线段最短,可知选项D修建的管道,则所需管道最短.
故选:C.
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”.由于所给的条件的不同,解决方法和策略上又有所差别.
7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?”.意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系:①9枚黄金的重量=11枚白银的重量;②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)-(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两,根据等量关系列出方程组即可.
【详解】解:枚黄金重x两,每枚白银重y两
由题意得:
故选D.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.
8. 如图,在中,是中线,是角平分线,是高,则下列说法中错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由中线的性质可得BE=CE,,由角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD;由AF是△ABC的高,可得∠C+∠CAF=90°.
【详解】解:∵AE是中线,
∴BE=CE,故A说法正确;
∵AD是角平分线,
∴∠BAC=2∠BAD=2∠CAD,故B说法正确;
∵AF是△ABC的高,
∴∠AFC=90°,∠CAF=90°-∠C,
∵AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=(180°−∠B−∠C),
∴∠DAF=∠CAD-∠CAF
=(180°−∠B−∠C)-(90°-∠C)
=90°−∠B−∠C-90°+∠C
=∠C−∠B
=(∠C-∠B),故C说法正确;
∵S△ABD=BD×AF,S△ACD=CD×AF,
且BD≠CD,
∴S△ABD≠S△ACD,故D说法错误;
故选:D.
【点睛】本题考查了三角形的面积,三角形的角平分线,中线和高,明确概念是本题的关键.
9. 在关于的二元一次方程中,当的值每增加时,的值就减少,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将(x+1,y-2)代入y=kx+1,求解.
【详解】解:∵x的值每增加1时,y的值就减少2,
∴把(x+1,y-2)代入y=kx+1,得:k(x+1)+1=y-2,
化简得:kx+k+3=y,
∴kx+1=kx+k+3,
∴k=-2.
故选:D.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解,要求学生灵活应用方程的解,代入求k.本题也可以用特殊值法代入求解.
10. 已知表示不超过的最大整数,例如.若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据表示不超过的最大整数,由得,解之即可.
【详解】解:若,
则,
解得:2<x≤5,
故选:A.
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组,根据取整函数的定义得出关于x的不等式组是解题的关键.
二、填空题(2分×8=16分)
11. 9的算术平方根是 .
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出.
【详解】∵,
∴9算术平方根为3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了算术平方根,熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键.
12. 在某个电影院里,如果用表示排号,那么排号可以表示为__________.
【答案】(2,7)
【解析】
【分析】根据用(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排,第二个数表示号,进而可得答案.
【详解】解:∵(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排,第二个数表示号,
∴2排7号可以表示为(2,7),
故答案为:(2,7).
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置,关键是掌握每个数表示的意义.
13. 命题“同位角相等”是_______(填“真”或“假”,)命题
【答案】假
【解析】
【分析】两直线平行,同位角相等,如果没有前提条件,并不能确定同位角相等,由此可作出判断.
【详解】解:两直线平行,同位角相等,
命题“同位角相等”是假命题,因为没有说明前提条件.
故答案为:假.
【点睛】本题考查了命题与定理的知识,属于基础题,同学们一定要注意一些定理成立的前提条件.
14. 如果二元一次方程组的解为,则“”表示的数为__________.
【答案】10
【解析】
【分析】把x=6代入2x+y=16求出y,然后把x,y的值代入x+y=☆求解.
【详解】解:把x=6代入2x+y=16得2×6+y=16,
解得y=4,
把代入x+y=☆得☆=6+10=10.
故答案为:10.
【点睛】本题考查二元一次方程组的解,解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法.
15. 为庆祝中国共产党成立周年,某校组织了党史知识竞赛,共道题,记分规则为:若答对,每题记分;若答错或不答,每题记分.小明的参赛目标是超过分,则他至少要答对_______道题.
【答案】18
【解析】
【分析】设他要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据得分=5×答对题目数-3×答错或不答题目数,结合得分要超过83分,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,再取其中的最小整数值即可得出结论.
【详解】解:设他要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,
依题意得:5x-3(20-x)>83,
解得:x>17,
又∵x为整数,
∴x可取的最小值为18.
故答案为:18.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
16. 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛,七年级准备从名同学中挑选身高相差不多的名学生参加比赛.根据这名学生身高的频数分布直方图(每组数据含最小值,不含最大值),分析可得参加比赛的学生身高的合理范围是________.
【答案】155≤x<164
【解析】
【分析】根据频数分布直方图中各组的频数,结合所抽取的相邻几组的频数之和为40即可得出答案.
【详解】解:抽取40人,比较整齐,
因此是相邻几组的频数之和为40,而155≤x<164的人数为12+19+10=41(人),
因此155≤x<164比较合适,
故答案为:155≤x<164.
【点睛】本题考查频数分布直方图,理解频数分布直方图中数据的意义及相互关系是正确判断的前提.
17. 如图,两条平行线分别经过正五边形的顶点,如果,那么∠2=_______度.
【答案】80
【解析】
【分析】延长CB交l1于点F,根据正五边形内角和以及平行线的性质解答即可.
【详解】解:延长CB交l1于点F,
∵正五边形ABCDE的一个内角是=108°,
∴∠4=180°-108°=72°,
∴∠3=180°-∠1-∠4=180°-28°-72°=80°,
∵l1∥l2,∠3=80°,
∴∠2=∠3=80°,
故答案为:80.
【点睛】此题考查平行线的性质及正多边形的性质,解题的关键是由正多边形的性质求出∠3的度数,从而得出答案.
18. 如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1,M是AB的中点,则MA1的最小值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】连接、根据平移性质和三角形的三边关系即可得到结论.
【详解】解:
如图:连接AA1,
∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1,
∴=4,
∵M是AB中点,
∴AM=AB=3,
∴4-3≤MA1≤4+3,
即1≤MA1≤7,
∴MA1的最小值为1,
故答案为:1.
【点睛】本题考查了平移的性质,三角形的三边关系,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
三、解答题(8小题,共64分)
19. (1)解方程组;
(2)解不等式组
【答案】(1);(2)x≤1.
【解析】
【分析】(1)利用加减消元法求解可得;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【详解】解:(1),
①×2+②,得:11x=33,
解得:x=3,
将x=3代入①,得:12+y=15,
解得:y=3,
所以方程组的解为;
(2)由﹣3(x﹣2)4-x得:x≤1,
由>x﹣1得:x<4,
∴原不等式组的解集为:x≤1.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
20. 如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′,图中标出了点B的对应点B′.利用网格点和直尺,完成下列各题:
(1)补全△A′B'C’;
(2)连接AA′,BB′,则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在BB′上画出一点Q,使得△BCQ与△ABC的面积相等.
【答案】(1)见解析;(2)平行且相等;(3)见解析
【解析】
【分析】(1)根据平移的方向和距离,即可得到;
(2)根据平移的性质可得,AA′,BB′这两条线段之间的关系是平行且相等;
(3)根据同底等高的三角形面积相等,即可得到满足要求的Q点.
【详解】解:(1)如图所示,连接,过点C作的平行线m,在m上截取,则点就是点的对应点;过点A作的平行线n,在n上截取,点就是A的对应点,顺次连接得;
(2)由平移可得,AA′,BB′这两条线段之间的关系是平行且相等;
故答案为:平行且相等;
(3)如图所示,根据同底等高的三角形面积相等,过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q.
【点晴】本题主要考查了利用平移变换作图和平移的性质,解题的关键是要掌握平移作图的方法和熟记平移的性质.
21. 某校七年级共有800名学生,准备调查他们对“低碳”知识的了解程度.
在确定调查方式时,校环保兴趣小组设计了以下三种方案:
(1)方案一:调查七年级部分女生;
方案二:调查七年级部分男生;
方案三:到七年级每个班去随机调查一定数量的学生.
其中,最具有代表性的一个方案是方案 ;
(2)校环保兴趣小组采用了最具有代表性的调查方案,并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示),请你根据图中信息,将两个统计图补充完整;
(3)请你估计该校七年级约有 名学生比较了解“低碳”知识.
【答案】(1)三;(2)见解析;(3)240
【解析】
【分析】(1)由于学生总数比较多,采用抽样调查方式,方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面,过于片面,则应选方案三;
(2)根据不了解为5人,所占百分比为10%,得出调查的总人数,再用总人数减去不了解和比较了解的人数得出了解一点的人数和所占的百分比,再用整体1减去了解一点的和不了解的所占的百分比求出比较了解所占的百分比,从而补全统计图;
(3)用总人数乘以“比较了解”所占百分比即可求解.
【详解】解:(1)方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面,过于片面,则应选方案三;
故答案为:三;
(2)根据题意得:
5÷10%=50(人),
了解一点的人数是:50-5-15=30(人),
了解一点的人数所占的百分比是:×100%=60%;
比较了解的所占的百分比是:1-60%-10%=30%,
补图如下:
(3)根据题意得:800×30%=240(名),
故答案为:240.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
22. 我们知道,是一个无理数,将这个数减去整数部分,差就是小数部分,即的整数部分是1,小数部分是,请回答以下问题:
(1)的小数部分__________,的小数部分___________
(2)若7+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y+的相反数.
【答案】(1)-3, ;(2)11.
【解析】
【分析】(1)根据被开方数越大算术平方根越大,可得,根据这个数减去整数部分,差就是小数部分,可得答案;
(2)这个数减去整数部分,差就是小数部分,可得答案.
(2)根据题意确定出等式左边的整数部分得到x的值,进而求出y的值,即可求出所求.
【详解】解:(1)的整数部分是3,小数部分是,
的整数部分为4,
∴的整数部分为2,
∴的小数部分为,
(2)∵2<<3,
∴2+7<7+<3+7,
∴9<7+<10,
∴7+的整数部分x=9,
y=7+﹣9=﹣2,
x﹣y+=9﹣(﹣2)+=11,
∴x﹣y+的值为11.
【点睛】此题考查了估算无理数的大小,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
23. 如图,在四边形中,平分交于点,交延长线于点为延长线上一点,.
(1)求证;
(2)求的度数.
【答案】(1)见解析;(2)130°
【解析】
【分析】(1)由邻补角的定义及题意可得到∠ADE=∠BCE,即可判定AD∥BC;
(2)根据题意及由三角形的外角定理得到∠DGE=∠E=25°,由平行线的性质得到∠EBC=∠GDE=25°,根据角平分线的定义得到∠ABE=∠EBC=25°,再根据对顶角相等及三角形的内角和求解即可.
【详解】解:(1)证明:∵∠ADE+∠BCF=180°,∠BCE+∠BCF=180°,
∴∠ADE=∠BCE,
∴AD∥BC;
(2)∵∠ADC=∠E+∠DGE,∠ADC=2∠E=50°,
∴∠DGE=∠E=25°,
由(1)得,AD∥BC,
∴∠EBC=∠DGE=25°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=25°,
∵∠AGB=∠DGE=25°,∠A+∠ABE+∠AGB=180°,
∴∠A=180°-25°-25°=130°.
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角及平行线的判定与性质,熟记三角形的内角和、外角定理及平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
24. 农场利用一面墙(墙的长度不限),用的护栏围成一块如图所示的长方形花园,设花园的长为,宽为.
(1)若比大,求的值;
(2)若受场地条件的限制,的取值范围为,求的取值范围.
【答案】(1)20;(2)
【解析】
【分析】(1)根据护栏的总长度为50,a比b大5,列出方程组,解方程组即可;
(2)根据a+2b=50,得到b的表达式,根据12≤b≤16,列出不等式,解不等式即可.
【详解】解:(1)根据题意得:,
解得:,
的值为20;
(2),
,
,
,
的取值范围为:.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,注意第(1)问只是一种假设,与第(2)问无关.
25. 在△ABC中,BD是△ABC的角平分线, E为边AC上一点,EF⊥BC,垂足为F,EG平分∠AEF交BC于点G.
(1)如图1,若∠BAC=90°,延长AB,EG交于点M,∠M=α.
①用含α的式子表示∠AEF= ;
②求证:BD∥ME;
(2)如图2,∠BAC<90°,延长DB,EG交于点N,请用等式表示∠A与∠N的数量关系,并证明.
【答案】(1)①180°﹣2α;②见解析;(2)∠A+2∠N=90°,证明见解析.
【解析】
【分析】(1)①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论;
②根据垂直的定义得到∠EFC=90°,求得∠ABC=2α,根据角平分线的定义得到∠ABD=ABC=α,求得∠ABD=∠M,于是得到结论;
(2)设∠ABD=x,∠AEN=y,根据角平分线的定义得到∠ABC=2x,∠AEF=2y,求得x+y=180°-∠A-∠N,x=∠N+90°-y,联立两式求解即可得到结论.
【详解】解:(1)①∵∠A=90°,∠M=α,
∴∠AEM=180°﹣90°﹣α=90°﹣α,
∵EM平分∠AEF,
∴∠AEF=2∠AEM=180°﹣2α,
故答案:180°﹣2α;
②证明:∵EF⊥BC,
∴∠EFC=90°,
∵∠A=90°,
∴∠C+∠ABC=90°,
∴∠CEF=∠ABC,
∵∠AEF=180°﹣2α,
∴∠CEF=2α,
∴∠ABC=2α,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=ABC=α,
∴∠ABD=∠M,
∴BD∥ME;
(2)BD是∠ABC的角平分线,EG是∠AEF的角平分线
∴∠ABC=2∠DBG= 2∠ABD,∠AEF=2∠GEF=2∠AEN,
设∠ABD=∠DBG=x,∠AEN=∠GEF=y,则∠ABC=2x,∠AEF=2y,
∵∠ABD+∠A=180°-∠ADB,∠ADB=∠N+∠AEN,
∴x+∠A=180°-∠N-y,
∴x+y=180°-∠A-∠N①;
∵EF⊥BC,
∴∠EFG=90°,
∴∠EGF=∠BGN=90°-∠CEG=90°-y,
∵∠DBG=∠N+∠BGN
∴x=∠N+90°-y②,
联立①②得∠A+2∠N=90°.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,平行线的判定,三角形外角的性质,正确的识别图形是解题的关键.
26. 【了解概念】
在平面直角坐标系中,若,式子的值就叫做线段的“勾股距”,记作.同时,我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”.
【理解运用】
在平面直角坐标系中,.
(1)线段的“勾股距” ;
(2)若点在第三象限,且,求并判断是否为“等距三角形”﹔
【拓展提升】
(3)若点在轴上,是“等距三角形”,请直接写出的取值范围.
【答案】(1)5;(2)dAC=11,△ABC不是“等距三角形”;(3)m≤4
【解析】
【分析】(1)根据线段“勾股距”,由O,A两点的坐标求出线段OA的“勾股距”;
(2)现根据“勾股距”的定义求出dAB,dAC,dBC,再根据等距三角形的定义判断即可;
(3)根据“等距三角形”分三种情况讨论m的取值.
【详解】解:(1)由“勾股距”定义知:dOA=|2-0|+|3-0|=2+3=5,
故答案为:5;
(2)∵dAB=|4-2|+|2-3|=2+1=3,
∴2dAB=6,
∵点C在第三象限,
∴m<0,n<0,
dOC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n),
∵dOC=2dAB,
∴-(m+n)=6,即m+n=-6,
∴dAC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11,
dBC=|4-m|+|2-m|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12,
∵3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11,
∴△ABC不是“等距三角形”;
(3)点C在x轴上时,点C(m,0),
则dOC=|0-m|+0=|m|,dBC=|4-m|+2,dBO=|4-0|+|2-0|=6,
①当m<0时,dOC=-m,dBC=4-m+2=6-m,
若△OBC是“等距三角形”,
∴-m+6 =6-m恒成立,
②当0≤m<4时,dOC=m,dBC=4-m+2=6-m,
若△OBC是“等距三角形”,
则m+6-m=6恒成立,
③当m≥4时,dOC=m,dBC=m-2,
若△OBC是“等距三角形”,
当m+m-2=6时,
解得:m=4,
m-2+6≠m,m+6≠m-2,
∴m=4时,△OBC是“等距三角形”,
综上所述:△OBC是“等距三角形”时,m的取值范围为:m≤4.
【点睛】本题考查坐标与图形的性质,关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解,运用“勾股距”和“等距三角形”解题.