江苏省南京市秦淮区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题（试卷）

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2020-2021学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷
七年级数学
（满分：100分 考试时间：100分钟）
注意：
1.选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卷相应位置上.
2.非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效.
3.画图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 下列计算正确的是(　　)
A. a2＋a3＝a5 B. a2·a3＝a6 C. (a2)3＝a6 D. a6÷a2＝a3
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一分析．
【详解】解：A、由于a2和a3不是同类项，故不能合并，故本选项错误；
B、a2·a3=a5，故本选项错误；
C、（a2）3=a6，故本选项正确；
D、a6÷a2＝a4，故本选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
2. 新型冠状病毒感染的肺炎疫情是人类史上的一个灾难．据研究，这种病毒的直径约为120 nm（1 nm＝10﹣9 m），用科学记数法表示120 nm应为（ ）
A. 1.2×10﹣9 m B. 12×10﹣9 m C. 0.12×10﹣10 m D. 1.2×10﹣7 m
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：120 nm＝120×10−9 m＝1.2×10−7 m，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图，直线l1∥l2，∠1＝136°，则∠2的度数是（ ）

A. 44° B. 46°
C. 54° D. 64°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠1的同位角∠3的度数，再根据邻补角进行求解．
详解】∵直线l1∥l2，∠1＝136°，
∴∠1=∠3=136°
∴∠2=180°-∠3=180°-136°=44°．
故选：A．

【点睛】本题考查了平行线性质，熟记性质两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4. 若三角形的两边a、b的长分别为3和4，则其第三边c的取值范围是（ ）
A. 3＜c＜4 B. 2≤c≤6 C. 1＜c＜7 D. 1≤c≤7
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：∵三角形的两边a、b的长分别为3和4，
∴其第三边c的取值范围是 ，
即 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
5. 分解因式2a2（x－y）＋2b2（y－x）的结果是（ ）
A. （2a2＋2b2） （x－y） B. （2a2－2b2） （x－y）
C. 2（a2－b2） （x－y） D. 2（a－b）（a＋b）（x－y）
【答案】D
【解析】
【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式．
详解】解：2a2（x－y）＋2b2（y－x）
=2a2（x－y）-2b2（x－y）
=（2a2－2b2）（x－y）
=2（a2－b2）（x－y）
=2（a－b）（a＋b）（x－y）．
故选：D．
【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．
6. 已知命题“若a ＞b，则ac ＞bc”，下列判断正确的是（ ）
A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题
C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，判断该命题及其逆命题真假，即可求解．
【详解】解：若a ＞b，当 时， ，
∴原命题是假命题，
逆命题为若ac ＞bc，则a ＞b，
若ac ＞bc，当时， ，
∴该命题的逆命题是假命题，故A、B、C错误，D正确 ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
7. 某文具店销售硬面抄和软面抄两种类型的本子，下表记录了某一星期四天的销售情况．经过核算，其中有一天的两类本子销售总额记录有误，则记录有误的一天是（ ）

硬面抄（本）
软面抄（本）
两类本子销售总额（元）
星期一
10
15
160
星期二
12
18
192
星期三
14
21
224
星期四
16
24
260

A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四
【答案】D
【解析】
【分析】根据每天的硬面本与软面本数量的变化可知，每相邻两天中硬面本与软面本数量的变化是相同的，再根据每相邻两天的销售总额可得答案．
【详解】解：∵12-10=2，18-15=3，192-160=32，
14-12=2，21-18=3，224-192=32，
16-14=2，24-21=3，260-224=36，
∴星期四的记录是有误的，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数减法，能正确理解表格中数据的变化关系并得到结论解决问题是解题的关键．
8. 如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）

A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）
9. 计算 的结果是______．
【答案】6x3y
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式法则，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
10. 已知关于x、y的二元一次方程2x－ay＝10的一个解是，则a＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】将代入二元一次方程可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的概念（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．
11. 分解因式a2－10a＋25的结果是______．
【答案】（a－5）2
【解析】
【分析】直接用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】a2－10a＋25=（a－5）2
故答案为：（a－5）2.
【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式是解本题的关键．
12. 关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是______．（写出一个符合要求的不等式即可）


【答案】x＜-4（答案不唯一）
【解析】
【分析】“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【详解】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示x<-4；
故答案为：x<-4（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13. 结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．

【答案】
【解析】
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
14. 如果一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为________．
【答案】10
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n-2）×180°=1440，求出方程的解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）×180°=1440°，
解得：n=10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和=（n-2）×180°．
15. 已知：am＝2，an＝3，则a2m＋n＝________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和幂乘方的逆运算把原式化简，再把am＝2，an＝3代入即可．
【详解】解：∵am＝2，an＝3，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16. 若（x＋a）（x－2）＝x2＋bx－6，则a＋b＝______．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算等式左边的多项式乘法，再比较各项的系数可得一个关于的方程组，解方程组求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，解得，
则，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多项式乘法、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键．
17. 若a－b＝2，a2－b2＝6，则a2＋b2＝______．
【答案】##6.5
【解析】
分析】根据平方差公式求出a+b=3，解方程组，求出解代入计算即可．
【详解】解：∵a－b＝2，a2－b2＝6，a2-b2=(a+b)(a-b)
∴a+b=3，
解方程组，得，
∴a2＋b2＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键．
18. 如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______°．（用含m、n的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】根据四边形的内角和定理可得 ，从而得到∠DAE+∠DCF=m°+n°，再由∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．可得，进而得到∠BAG+∠BCG=360°-12m°-12n°，再根据∠G+∠BAG+∠B+∠BCG=360° ，即可求解．
【详解】解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，
∴ ，
∵∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，
∴ ，
∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．
∴ ，
∴ ，
∵∠G+∠BAG+∠B+∠BCG=360° ，
∴∠G=360°-∠B+∠BAG+BCG=360°-360°-12m°-12n°-m°=12n°-12m° ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，角平分线的应用，补角的应用，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共64分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、乘方，再计算加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】解法一：将方程②变形，利用代入法求解；
解法二：将方程②乘以2，利用加减法求解．
详解】解：，
解法一：由②，得x＝－2y．③
将③代入①，得－6y＋4y＝6．
解这个一元一次方程，得y＝－3．
将y＝－3代入③，得x＝6．
所以原方程组的解是．
解法二：②×2，得2x＋4y＝0．③
①－③，得x＝6．
将x＝6代入②，得y＝－3．
所以原方程组的解是 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法：代入法和加减法，并根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键．
21. 先化简，再求值：（3a＋b）（ b－3a）＋（3a－b）2，其中a＝2，b＝－1．
【答案】；
【解析】
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项，代入数值计算即可．
【详解】解： 原式＝b2－9a2＋9a2－6ab＋b2
＝2b2－6ab．
当a＝2，b＝－1时，
原式＝2×（－1）2－6×2×（－1）＝14．
【点睛】此题考查了整式混合运算的化简求值，正确掌握整式的平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
22. 解不等式组x-12>-13x-1 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为0，1．
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的整数解即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
23. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF∥AB，DE∥AC．


（1）求证∠ADE＝∠ADF；
（2）若∠B＋∠C＝98°，则∠EDF＝ °．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线定义，得∠BAD＝∠CAD，由两直线平行内错角相等，得到∠CAD＝∠EDA，∠BAD＝∠ADF，等量代换即可得证；
（2）在△ABC中，由三角形内角和定理得到∠BAC度数，由两直线平行内错角相等，得到∠ADF＝∠BAD，∠ADE＝∠CAD，由此可得∠EDF=∠BAC=82º.
【小问1详解】
证明： ∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠EDA，
同理，∠BAD＝∠ADF，
∴∠ADE＝∠ADF．
【小问2详解】
解：在△ABC中，∵∠B＋∠C＝98°，
∴∠BAC=180º-(∠B＋∠C)=180º-98°=82º
∵DF∥AB，DE∥AC
∴∠ADF＝∠BAD，∠ADE＝∠CAD，
∴∠EDF＝∠ADF+∠ADE＝∠BAD+∠CAD=∠BAC=82º
故答案为：82．
【点睛】此题考查角平分线定义、三角形内角和定理、平行线的性质，掌握三角形内角和是180 º和两直线平行，内错角相等是解答此题的关键.
24. 用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．

求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
（1）第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：

（2）根据第二种思路，完成证明．

【答案】（1）①；②；③；④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可；
（2）过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明．
【小问1详解】
①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为：；
根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，+，
故答案为：②；③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【小问2详解】
过B作BM∥AC，
∴,
∵
∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 美术小组准备到文具店购买铅笔和橡皮．已知1支铅笔的批发价比零售价低0.2元，1块橡皮的批发价比零售价低0.3元．如果购买60支铅笔和30块橡皮，那么都需按零售价购买，共支付105元；如果购买90支铅笔和60块橡皮，那么都需按批发价购买，共支付144元；那么有以下两种购买方案可供选择：
方案一
铅笔和橡皮都按批发价购买；
方案二
铅笔和橡皮都按零售价购买，总费用打m折．
若根据方案一购买，共需支付144元．
（1）铅笔和橡皮的批发价各是多少？
（2）若根据方案二购买所需的费用不少于方案一所需的费用，求m的最小值．
【答案】（1）铅笔的批发价为每支0.8元，橡皮的批发价为每块1.2元；
（2）所以m的最小值是8．
【解析】
【分析】（1）设铅笔的批发价为每支x元，橡皮的批发价为每块y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设铅笔的批发价为每支x元，橡皮的批发价为每块y元．
根据题意，得方程组，
解方程组，得，
答：铅笔的批发价为每支0.8元，橡皮的批发价为每块1.2元；
【小问2详解】
解：根据题意，得不等式（90×1＋60×1.5）· ≥144．
解不等式，得m≥8．
所以m的最小值是8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准关系，正确列出一元一次不等式．
26. 问题：当a≠b时，判断a2＋b2与2ab的大小关系．“形”的角度

（1）①小明说，当a＞b＞0时，可以构造如图所示的长方形ABCD，它是由1个正方形ABFE和1个长方形EFCD拼成．请你完成下面的推理过程．
②当b＞a＞0时，请你类比小明的思路，完成构图和推理．“数”的角度
（2）小红说，可以用“作差法”比较a2＋b2与2ab的大小．请你尝试根据她的思路解决问题．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）①根据图形表示面积即可；②把b、a位置互换即可证明；
（2）通过作差结合完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
①S长方形ABCD=a(a-b)=a2-ab

由图形得
∴
∴
②当b＞a＞0时，
S长方形EFCD=a(b-a)=ab-a2
由图形得
∴
∴
【小问2详解】
作差可得a2＋b2－2ab＝（a－b）2．
∵a≠b，
∴（a－b）2＞0．
∴a2＋b2－2ab＞0．
∴a2＋b2＞2ab．
【点睛】主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
27. 数学概念：如图①，在△ABC中，D为∠ABC的对边AC上一点（点D不与点A、C重合），连接BD．若∠ADB和∠CDB这两个角中至少存在1个与∠ABC相等，则称BD为△ABC中∠ABC的等角分割线．


（1）概念理解：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．分别画出∠B和∠C的等角分割线BD、CE．（画图工具不限，并做出适当的标注）
（2）知识运用：在△ABC中，∠A＝50°，∠ACB＝70°．已知∠ABC、∠ACB的等角分割线BD、CE相交于点O，求∠BOC的度数．
（3）深入思考：下列关于“等角分割线”的结论：
①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；
②三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；
③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；
④任意一个三角形中最少有1条等角分割线，最多有3条等角分割线．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①②③
【解析】
【分析】（1）根据定义作图即可；
（2）由定义得到∠BDC＝60°．根据∠BDC是△ABD的一个外角，求出∠ABD＝10°．分两种情况：∠AEC＝70°或∠BEC＝70°．根据三角形外角性质求出∠BOC的度数；
（3）根据等角分割线的定义依次分析判断即可．
【小问1详解】
解：如图①所示，∠BDC=∠B，∠CEB=∠C；
【小问2详解】
∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝60°．
∵BD是∠ABC的等角分割线，
∴∠BDC＝60°．
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠A＋∠ABD＝∠BDC．
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝10°．
由CE是∠ACB的等角分割线可知，∠AEC＝70°或∠BEC＝70°．
当∠AEC＝70°时，如图②，∠BEC＝110°．
∵∠BOC是△BEO的一个外角，
∴∠BOC＝∠ABD＋∠BEO＝120°．
当∠BEC＝70°时，如图③．
∵∠BOC是△BEO的一个外角，
∴∠BOC＝∠ABD＋∠BEO＝80°．
【小问3详解】
解：①钝角三角形中的钝角有2条等角分割线；
②三个角都不相等的三角形中，最小的角没有等角分割线；
③三角形的高、角平分线可能是该三角形中的等角分割线；
④等腰直角三角形的45°没有等角分割线，等边三角形的内角也没有等角分割线，故该项不正确；
故答案为①②③．
【点睛】此题考查了新定义：等角分割线，三角形内角和定理，三角形的外角性质定理，解题的关键是正确掌握新的定义及作图方法，以及各知识点的应用．