江苏省盐城市盐城景山中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

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2021年春学期景山中学八年级期末考试
数 学 试 卷
考试时间：100分钟 卷面总分：120分
一、选择题：（每题3分，共24分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式分别计算判断
【详解】解：不能相加减，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选：B
【点睛】此题考查二次根式的计算法则，正确掌握二次根式的加减法计算法则、乘法计算法则、化简方法以及乘法公式是解题的关键．
2. 下列调查适合用普查的是（ ）
A. 长江中现有鱼的种类 B. 某品牌灯泡的使用寿命
C. 全校学生最喜爱的体育项目 D. 一批食品中防腐剂的含量
【答案】C
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、数量较大，具有破坏性，适合抽查，故此选项不合题意；
B、数量较大，具有破坏性，适合抽查，故此选项不合题意；
C、全校学生最喜爱的体育项目适合全面调查，故此选项符合题意；
D、数量较大，具有破坏性，适合抽查，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 袋子中装有标号为1，1，2，3，4，2，4，4的完全相同的八个小球，从中任取一个，则（ ）
A. 最有可能取到4号球 B. 最有可能取到2号球
C. 最有可能取到3号球 D. 取4种球的可能性一样大
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出取到每种小球的概率，进行比较即可．
【详解】解：∵八个小球中有1号球2个，
∴P（取到1号小球）；
∵八个小球中有2号球2个，
∴P（取到2号小球）；
∵八个小球中有3号球1个，
∴P（取到3号小球）；
∵八个小球中有4号球3个，
∴P（取到4号小球）；
∵，
∴取到4号球的可能性最大．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单事件的概率计算，牢记概率公式是解题的关键．
4. 分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用分式的值等于0的条件求解．
【详解】由题意得 ，解得 ．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件(分子为0，且分母不为0) ．
5. 下列图形中，不是轴对称图形但是中心对称图形的是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称及中心对称的概念，结合选项进行判断．
【详解】A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6. 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为( )

A. 6 B. 3 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3cm．
故选B
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
7. 若，则等于(        )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据给二次根式开方，得到，再计算结果就容易了．
【详解】解：∵，
∴



．
故选：D
【点睛】本题考查了化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数．
8. 如图，正比例函数与反比例函数相交于点E（，2），若，则的取值范围在数轴上表示正确的是【 】

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（﹣1，2），
∴根据图象可知当y1＞y2＞0时x的取值范围是x＜﹣1．
∴在数轴上表示为：．
故选A．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案为：x1=0，x2=2．
10. 使有意义的的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于的不等关系，从而得出的取值范围．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题关键．
11. 若反比例函数y=（m+1）的图象在第二、四象限，m的值为________
【答案】
【解析】
【分析】首先根据反比例函数定义可得2-m2=-1，且m+1≠0，求出m的值，再根据图象在第二、四象限可得m+1＜0，进而确定m的值．
【详解】解：由题意得：2-m2=-1，且m+1≠0，
解得：m=± ，
∵图象在第二、四象限，
∴m+1＜0，
解得：m＜-1，
∴m=-，
故答案为-．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义以及性质，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是__________
【答案】a≥1.
【解析】
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2－4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围即可.
详解】解：若一元二次方程有实数根，那么其判别式大于等于零，即：
△=b²-4ac=（-4）2-4（5-a）≥0，解得a≥1.
故本题答案为：a≥1.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．
13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为 __________________；

【答案】70°
【解析】
【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC平分∠DAB，
∴∠DAB+∠ADC=180°，∠OAB=∠DAB，
∵∠ADC=140°，
∴∠DAB=40°，∠OAB=20°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOE=180°-90°-20°=70°.
故答案为：70°.
【点睛】熟记“菱形的相关性质并能由此解得∠OAB=20°”是解答本题的关键.
14. 四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3，则∠D=________．
【答案】90°
【解析】
【分析】设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，再根据四边形的内角和列出方程即可求得x的值，从而求出∠D；
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3，
设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∠D=3x°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴2x+3x+4x+3x=360，
∴x=30．
∴∠D=3x°=90°．
故答案：90°
【点睛】本题考查了四边形的内角和定理，掌握四边形的内角和是360°是解题的关键．
15. 如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．

【答案】
【解析】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，证得，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：作OD⊥AB，
∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∵⊙O的半径是2，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴弦AB所对的圆心角，
故答案为： ．

【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．
16. 如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于____．

【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的面积求解公式可知当AB最小时，三角形ABC面积最小，即AB在一、三象限角平分线上时为所求，故可求解．
【详解】依题意可得当AB最小时，三角形ABC面积最小，
此时AB在一、三象限角平分线上，即y=x
联立，解得或
∴A（，），B（-，-）
∴AB=
∴三角形ABC面积为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、一次函数与反比例函数的特点．
三、解答题：（共72分）
17. 计算：（1）×+（﹣1）2． （2）．
【答案】（1）11-2；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的乘法、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算；
【详解】解：（1）原式=+2-2+1
=8+2-2+1
=11-2；
（2）原式=
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解方程：（1）=+2． （2）x2﹣4x+3＝0．
【答案】（1）无解；（2）x1=3，x2=1
【解析】
【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
（2）利用因式分解法解方程即可；
【详解】解：（1）=+2
整理，得：=+2
去分母，得：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得x=3．
检验：当x=3时，3（x-3）=0，
∴x=3不是原方程的根，
∴原方程无解．
（2）x2﹣4x+3＝0，
（x-3）（x-1）=0，
∴x1=3，x2=1；
【点睛】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=．
【答案】，-2
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算法则进行化简，再将a=代入即可；
【详解】解：（1﹣）÷，
=÷，
=，
=
当a=时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20. 某校分别于2015年、2016年春季随机调查相同数量的学生，对学生做家务的情况进行调查（开展情况分为“基本不做”、“有时做”、“常常做”、“每天做”四种），绘制成部分统计图如下．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）a=______%，b=______%，“每天做”对应阴影的圆心角为______°；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2016年共有1200名学生，请你估计其中“每天做”家务的学生有多少名？
【答案】（1）19，20，144；（2）见解析；（3）480
【解析】
【分析】（1）根据统计图可以求得而2016年抽调的学生数，从而可以求得a、b的值以及“每天做”对应的圆心角的度数；

（2）根据统计图可以求得“有时做”、“常常做”的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图可以估计“每天做”家务的学生的人数．
【详解】解：（1）由题意可得，
2016年抽调的学生数为：80÷40%=200，
则a=38÷200×100%=19%，
∴b=1-19%-21%-40%=20%，
“每天做”对应的圆心角为：360°×40%=144°，
故答案为：19，20，144；
（2）“有时做”的人数为：20%×200=40，
“常常做”的人数为：200×21%=42，
补全的条形统计图如下图所示，

（3）由题意可得，
“每天做”家务的学生有：1200×40%=480（人），
即该校每天做家务的学生有480人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
21. 求的值
解：设x＝，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝3++3﹣+4，x2＝10
∴x＝±．
∵＞0，
∴＝
请利用上述方法，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中材料给出的解法计算即可求出答案．
【详解】解：设x＝，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝9++9﹣+16，x2＝34
∴x＝±．
∵＞0，
∴＝，
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
22. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值.
【答案】（1）m≤4；m=-12.
【解析】
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△＝b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝4，又5x1＋2x2＝2求出函数实数根，代入m＝x1x2，即可得到结果．
【详解】(1)∵方程有实数根，
∴Δ=(-4)2-4m=16-4m≥0.
∴m≤4；
(2)∵x1+x2=4，
∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2，即x1=-2，
把x1=-2代入x2-4x+m=0，得(-2)2-4×(-2)+m=0，解得m=-12.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
23. 如图，在中，分别为边的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．


【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
【分析】(1)根据已知条件证明AE=CF，AE//CF，从而得出四边形CEAF是平行四边形，即可证明CE//AF；
(2)先证明AF=CF，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【详解】证明：(1)在中， AB//CD， AB=CD，
∵E、F分别为边 AB、 CD的中点，
∴CF=CD， AE=AB，
∴CF=AE，
∴四边形 CEAF为平行四边形，
∴CE//AF．
(2)∵BG//AC，
∴∠G=∠DAC=90°，
∴△DAC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴AF=CD=CF，
又∵四边形 CEAF为平行四边形，
∴四边形 CEAF为菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．

24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．

【答案】（1）见解析（2）37.5°．
【解析】
【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB＋∠DEB＝180°，而∠BED＋∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【详解】（1）证明：连接AE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
25. 我国向邻国孟加拉国赠送新冠状疫苗，首批270万支将于近期起运．经与某物流公司联系，得知用A型飞机若干架刚好装完，用B型飞机不仅可少用1架，而且有一架还差30万支才刚好装满，已知每辆A型飞机所装数量是B型飞机的，求A、B两种型号的飞机各能装疫苗多少万支?
【答案】每辆A型飞机能装新冠状疫苗45万支，每辆B型飞机能装新冠状疫苗60万支
【解析】
【分析】设每辆B型飞机能装新冠状疫苗x万支，y辆A型飞机刚好能装270万支新冠状疫苗，则每辆A型飞机能装新冠状疫苗x万支，根据两种运货方式，即可得出关于x、y的二元二次方程组，解之即可得出x值，此题得解；
【详解】解：设每辆B型飞机能装新冠状疫苗x万支，y辆A型飞机刚好能装270万支新冠状疫苗，则每辆A型飞机能装新冠状疫苗x万支，
根据题意得：
，
解得：
∴，
∴每辆A型飞机能装新冠状疫苗45万支，每辆B型飞机能装新冠状疫苗60万支；
【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元二次方程组的应用．
26. 综合与实践：
如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与QM的数量关系是　 　．
（2）探究证明
当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由．
（3）拓展延伸
当∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，
①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由．
②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．


【答案】（1）；（2）△PQM是等腰三角形；理由见解析；（3）①四边形PMQN是正方形，理由见解析；②16
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明即可；
（2）连接CE、BD，证明△CAE≌△BAD，得到CE=BD，即可得到△PQM是等腰三角形；
（3）①连接CE，BD，延长CE交BD于H，交AB于O，证明△CAE≌△BAD，得到CE=BD，，证得CH⊥BD，根据三角形中位线的判定及性质得到，推出四边形PMQN是菱形，再推出PM⊥PN，即可证得四边形PMQN是正方形；
②利用三角形三边关系得到CE的最大值是8，由此得到PM的最大值为4，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵AB＝AC， AD＝AE，
∴BD=CE，
∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）△PQM是等腰三角形；理由如下：
连接CE、BD，
由旋转得，
∴，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，
∴，
∴，
∴△PQM是等腰三角形；


（3）①四边形PMQN是正方形；理由如下：
连接CE，BD，延长CE交BD于H，交AB于O，
∵
∴
∵AD=AE，AB=AC，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
∵
∴
∴
∴CH⊥BD
∵点P、Q、M、N分别为DE、BC、DC、BE的中点，
∴，PM∥CE，
同理可得，PN∥BD，
∴，
∴四边形PMQN是菱形，
∵CH⊥BD，
∴PM⊥PN，
∴四边形PMQN是正方形；


②∵AC＝6，AE＝2，
∴，
∴CE的最大值是8,
∵，
∴PM的最大值为4，
∴正方形PMQN面积的最大值是16．
【点睛】此题考查旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形中位线的判定及性质，等腰三角形的判定定理，正方形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握各部分知识并综合运用解决问题是解题的关键．
27. 我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：
（1）如图1，点A的坐标为（-5，1），将点A绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点，若反比例函数的图像经过点，求k的值．
（2）将（1）中的的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x轴相交于点B，若直线x=与旋转后的图像交于点C与点D，求△BCD的面积．
（3）在（2）的情况下，半径为6的M的圆心M在x轴上，如图3，若要使△BCD完全在M的内部，求M的圆心M横坐标xm的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．


【答案】（1）5；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得到点的坐标，利用待定系数法求出k的值；
（2）设上点E绕原点O顺时针方向旋转45°，得到点B，过点E作EF⊥x轴，设，利用旋转的性质得到，列得，求出a的值得到OB的长；设CD交x轴于点R，△OCR是由△OMN绕点O顺时针方向旋转45°得到的，得到N（3,3），求出直线MN的解析式，得到M（1,5），利用勾股定理求出CR的长，即可利用三角形面积公式求出答案；
（3）分别计算点M在直线CD左侧及右侧时的位置，即可得到答案．
【详解】解：（1）点A的坐标为（-5，1），将点A绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点（1,5），
∵反比例函数的图像经过点，
∴；
（2）设上点E绕原点O顺时针方向旋转45°，得到点B，过点E作EF⊥x轴，
设,
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴；
设CD交x轴于点R，△OCR是由△OMN绕点O顺时针方向旋转45°得到的，
∵ON=OR=，
∴N（3,3），
∵直线ON的解析式为y=x，MN⊥OE，
∴设直线MN的解析式为y=-x+b，将点N的坐标代入，得b=6，
∴直线MN的解析式为y=-x+6，
当时，得（舍去），
∴y=-1+6=5，
∴M（1,5），
∴，
∴，
∴CD=2CR=，
∴△BCD的面积=

（3）当点M在直线CD左侧，且M恰好经过点C、D时，连接MC，
∵MC=6，，
∴，
∴；
当点M在直线CD右侧，且M恰好经过点B时，连接MC，
∵，，
∴，
此时，点C、D在M内部，，
综上，M的圆心M横坐标xm的范围为．

【点睛】此题考查旋转的性质，勾股定理，求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数解析式，圆的半径相等的性质，解题中运用分类思想思考问题，这是一道较难的几何图形类综合题．