2023年高考数学(理数)一轮复习课时16《导数与函数的综合问题》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时16《导数与函数的综合问题》达标练习1.已知函数f(x)=(x－1)ex＋1，x∈[0,1].　(1)证明：f(x)≥0；(2)若a<<b对任意的x∈(0,1)恒成立，求b－a的最小值.      2.已知函数f(x)=(ax－2)ex在x=1处取得极值.(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.     3.已知f(x)=x2－a2ln x，a>0.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，证明：x1＋x2>2a.      4.已知函数f(x)=ln x－kx，其中k∈R为常数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x1<x2)，求证：ln x2>2－ln x1.  5.已知函数．(1)若a=e，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．   6.已知函数f(x)是奇函数，f(x)的定义域为(-∞,+∞)．当x<0时，．(e为自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．   7.已知函数①若函数f(x)在定义域内单调递增，求的取值范围；②若且关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b取值范围；③设各项为正的数列满足:求证：.      8.已知函数f(x)=ax+lnx(a＜0)(1)若当x∈[1，e]时，函数f(x)的最大值为﹣3，求a的值；(2)设g(x)=f(x)+f′(x)(f′(x)为函数f(x)的导函数)，若函数g(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围．　     
0.答案解析1.解：(1)证明：因为f ′(x)=xex≥0，即f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即结论成立.(2)令g(x)=，则g ′(x)=>0，x∈(0,1)，所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=e－1，要使<b，只需b≥e－1.要使>a成立，只需ex－ax－1>0在x∈(0,1)恒成立，令h(x)=ex－ax－1，x∈(0,1)，则h ′(x)=ex－a.由x∈(0,1)，得ex∈(1，e).①当a≤1时，h ′(x)>0，此时x∈(0,1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件；②当a≥e时，h′(x)<0，此时x∈(0,1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去；③当1<a<e时，令h′(x)=0，得x=ln a.当x∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x∈(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去.综上，a≤1.又b≥e－1，所以b－a的最小值为e－2. 2.解：(1)f′(x)=aex＋(ax－2)ex=(ax＋a－2)ex，由已知得f′(1)=0，即(2a－2)e=0，解得a=1.当a=1时，在x=1处函数f(x)=(x－2)ex取得极小值，所以a=1.(2)f(x)=(x－2)ex，f′(x)=ex＋(x－2)ex=(x－1)ex.f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min=f(m)=(m－2)em；当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f(x)在[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f(x)min=f(1)=－e；当m≤0时，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上单调递减，f(x)min=f(m＋1)=(m－1)em＋1.综上，f(x)在[m，m＋1]上的最小值f(x)min=.(3)证明：由(1)知f(x)=(x－2)ex，f′(x)=ex＋(x－2)ex=(x－1)ex.令f′(x)=0得x=1，因为f(0)=－2，f(1)=－e，f(2)=0，所以在[0，2]上f(x)max=0，f(x)min=－e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min=e. 3.解：(1)f′(x)=x－=(x>0).当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.当x=a时，f(x)取最小值f(a)=a2－a2ln a.令a2－a2ln a≥0，解得0<a<.故a的取值范围是(0，].(2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，不失一般性，设0<x1<a<x2<2a，则2a－x2<a.要证x1＋x2>2a，即x1>2a－x2，则只需证f(x1)<f(2a－x2).因为f(x1)=f(x2)，则只需证f(x2)<f(2a－x2).设g(x)=f(x)－f(2a－x)，a≤x≤2a.则g′(x)=x－＋2a－x－=－≤0，所以g(x)在[a,2a)上单调递减，从而g(x)≤g(a)=0.又a<x2<2a，于是g(x2)=f(x2)－f(2a－x2)<0，即f(x2)<f(2a－x2).因此x1＋x2>2a. 4.解：  5.解：  6.解：   7.解： 8.解：