2023年高考数学(理数)一轮复习课时24《平面向量的概念及线性运算》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时24《平面向量的概念及线性运算》达标练习一 、选择题1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a【答案解析】答案为：B解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反.B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.2.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且=2，则向量=(　 　)A.＋     B.＋   C.＋      D.＋【答案解析】答案为：C；解析：如图，∵=2，∴=＋=＋=＋(－)=＋.3.已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋=0，则向量等于(　 　)A.－    B.－＋   C.2－     D.－＋2【答案解析】答案为：C；解析：因为=－，=－，所以2＋=2(－)＋(－)=－2＋=0，所以=2－.4.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　 　)A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a【答案解析】答案为：B；解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|=|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.5.设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)A.－2          B.－1         C.1          D.2【答案解析】答案为：B解析：因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线.设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.6.已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋=0，则向量=(　　)A. －        B.－＋     C.2－　        D.－＋2【答案解析】答案为：C解析：因为=－，=－，所以2＋=2(－)＋(－)=－2＋=0，所以=2－.7.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　 　)A.        B.            C.        D.【答案解析】答案为：A.解析：由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.8.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=a，=b，=xa＋yb，则＋的最小值为(　　)A.6＋2        B.6        C.6＋4        D.3＋2【答案解析】答案为：D；解析：由题意知=xa＋yb=2x＋y，因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.由题图可知x＞0且x≠1.所以＋=＋=.令f(x)=，则f′(x)=，令f′(x)=0，得x=－1或x=－－1(舍).当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.所以当x=－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－)==3＋2.9.P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB面积为(　 　)A.2         B.3        C.4         D.8【答案解析】答案为：A.解析：∵＋＋＝2＝2(－)，∴3＝－＝，∴∥，且方向相同，∴＝＝＝3，∴S△PAB＝＝2.10.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且=.下列关系中正确的是(　 　)A.－=         B.＋=C.－=         D.＋=【答案解析】答案为：A.解析：由题意得，－=－===，所以A正确；＋=＋==，所以B错误；－=－==，所以C错误；＋=＋，==－，若＋=，则=0，不合题意，所以D错误.故选A.11.已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中·=0，存在实数λ，μ满足＋λ＋μ=0，则实数λ，μ的关系为(　 　)A.λ2＋μ2=1      B.＋=1    C.λμ=1         D.λ＋μ=1【答案解析】答案为：A.解析：解法1：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=，只有A符合.故选A.解法2：依题意得||=||=||=1，－=λ＋μ，两边平方得1=λ2＋μ2.故选A.12.已知P，Q为三角形ABC中不同两点，若＋＋=，＋3＋5=0，则S△PAB：S△QAB为(　 　)A.       B.       C.        D.【答案解析】答案为：B.解析：令D为AC的中点，＋＋=，化为＋=－，即2=，可得AC=3AP，且点P在AC边上，则S△PAB=S△ABC，设点M，N分别是AC，AB的中点，则由＋3＋5=0可得2＋6＋=0，设点T是CN的中点，则2＋5＋2=0，设点S是MT的中点，则4＋5=0，因此可得S△QAB=S△ABC，所以S△PABS△QAB=，故选B.二 、填空题13.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b或a=－b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若λa=0(λ为实数)，则λ=0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________.【答案解析】答案为：②.解析：[对于①，向量a与b的方向可以是任意的，故①错；对于②，由=，可得||=||，且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；对于③，当a=0，λ=1时，λa=0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错.]14.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝   .【答案解析】答案为：0.解析：依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.15.定义两个平面向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a⊗b=b⊗a；②λ(a⊗b)=(λa)⊗b；③若a=λb，则a⊗b=0；④若a=λb且λ＞0，则(a＋b)⊗c=(a⊗c)＋(b⊗c).正确的序号是         .【答案解析】答案为：①③④；解析：①恒成立，②λ(a⊗b)=λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)⊗b=|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a⊗b)=(λa)⊗b不成立，③a=λb，则sin〈a，b〉=0，故a⊗b=0恒成立，④a=λb，且λ＞0，则a＋b=(1＋λ)b，(a＋b)⊗c=|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)=|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉=|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，故(a＋b)⊗c=(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立.16.已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且＝x，＝y(x，y>0)，则3x＋y的最小值是        .【答案解析】答案为：.解析：如图，∵M，N，G三点共线，∴＝λ.∴－＝λ(－).∵G是△ABC的重心，∴＝(＋).∴(＋)－x＝λy－(＋).∴整理得(3x－1)·(3y－1)＝1；结合图象可知≤x≤1，≤y≤1；令3x－1＝m,3y－1＝n≤m≤2，≤n≤2，则mn＝1，x＝，y＝.故3x＋y＝1＋m＋＝＋m＋≥＋2＝＋，当且仅当m＝，n＝时等号成立.