2023年高考数学(理数)一轮复习课时23《解三角形的实际应用举例》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时23《解三角形的实际应用举例》达标练习一 、选择题1.地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　 　)A.50 m,100 m      B.40 m,90 m       C.40 m,50 m       D.30 m,40 m2.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)A.5(＋)km         B.5(－)kmC.10(－)km         D.10(＋)km3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A.10海里      B.10海里    C.20海里      D.20海里4.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)A.50(＋1) m    B.100(＋1) m    C.50 m    D.100 m5.已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC=120°，则A，C两地间的距离为(　　)A.10 km          B.10 km     C.10 km　      D.10 km6.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将(　　)A.不能作出满足要求的三角形B.能作出一个锐角三角形C.能作出一个直角三角形D.能作出一个钝角三角形7.地面上有两座塔AB，CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　　)A.50米，100米     B.40米，90米    C.40米，50米     D.30米，40米8.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　A.20海里       B.40海里     C.20(1＋)海里        D.40海里9.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边边长.若cos C＋sin C－=0，则的值是(　　)A.－1        B.＋1      C.＋1        D.210.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A=bsin A，则sin A＋sin C的最大值为(　　)A.        B.       C.1        D.11.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是(　　)A.         B.         C.          D.12.如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为(　 　) A.2＋2     B.       C.＋2       D.＋1二 、填空题13.如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，∠DEF的余弦值为________.14.如图所示，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，则cosA=      .15.如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________km/h.16.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C＋ccos A=bsin B，且∠CAB=.若点D是△ABC外一点，DC=2，DA=3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D=______.
0.答案解析1.答案为：B；解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα=，tan=，根据三角函数的倍角公式有=.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，由tanβ=，tan=，得=.②联立①②解得H=90，h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.2.答案为：C；解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，因为AB=40×=20，所以AC=AB=20.在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB=400＋400－2×20×20cos 30°=400(2－)，故BC===10(－).3.答案为：A；解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，∠ABC=40°＋65°=105°，∴∠ACB=45°，根据正弦定理得=，解得BC=10(海里).4.答案为：A.解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°－30°=45°，AB=200 m，由正弦定理，得BC==100(m)，所以河的宽度为BCsin75°=100×=50(＋1)(m).5.答案为：D解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2=100＋400－2×10×20×cos 120°=700，∴AC=10(km).6.答案为：D；解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S=a×=c×=b×，∴a=26S，c=10S，b=22S.由大角对大边得26S对应的角最大，∴cos A==－＜0.又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，故D正确.7.答案为：B解析：设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为α，在O点望高塔仰角为β.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为，即tan α=，tan=，根据倍角公式有=①，在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔仰角为－β，即tan β=，tan(－β)=，根据诱导公式有=②，联立①②得H=90，h=40.即两座塔的高度为40米，90米.8.答案为：A.解析：连接AB，由题意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，在△ACD中，由正弦定理得=，∴AD=20，在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，∴BD=CD=40.在△ABD中，由余弦定理得AB==20.故选A.]9.答案为：B；解析：在△ABC中，由cos C＋sin C－=0，根据两角和的正弦公式可得2sinsinB＋=2，从而得C＋=B＋=，解得C=B=，∴A=.∴由正弦定理可得===＋1.故选B.10.答案为：B；解析：∵acos A=bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A=sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A=sin B，又B为钝角，∴B=A＋，sin A＋sin C=sin A＋sin(A＋B)=sin A＋cos 2A=sin A＋1－2sin2A=－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.11.答案为：D解析：由题意，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如下图所示.设PH＝x，则CH＝x，在△ACH中，由余弦定理，得AH＝＝ ，tan∠PAH＝＝(>0)，故当＝时，tanθ取得最大值，最大值为.故选D.12.答案为：D.解析：在△ABC中，设∠ABC=α，∠ACB=β，由余弦定理得：AC2=12＋22－2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2=AC2=5－4cosα，S△BCD=·2·CD·sin=CD·sin=CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：=，∴AC·sinβ=sinα，∴CD·sinβ=sinα，∴(CD·cosβ)2=CD2(1－sin2β)=CD2－sin2α=5－4cosα－sin2α=(2－cosα)2，∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ=2－cosα，∴S△BCD=CD·cosβ＋CD·sinβ=·(2－cosα)＋sinα=＋sin，当α=时，(S△BCD)max=＋1.二 、填空题13.答案为：.解析：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10，DE＝＝＝130，EF＝＝＝150.在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.14.答案为：.解析：∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A.设AD=BD=x，∴在△BCD中，=，可得=.①在△AED中，=，可得=.②∴联立①②可得=，解得cosA=.15.答案为：6.解析：在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=，所以AB=3.在Rt△PAC中，∠APC=30°，所以AC=1.在△ACB中， ∠CAB=20°＋40°=60°，所以BC==.则船的航行速度为÷=6(km/h).16.答案为：.解析：因为acos C＋ccos A=bsin B，所以由正弦定理可得sin Acos C＋cos Asin C=sin(A＋C)=sin B=sin2B，sin B=1，B=.又因为∠CAB=，所以BC=AC，AB=AC，由余弦定理可得cos D=，可得AC2=13－12cos D，四边形面积S=S△ACD＋S△ABC=×2×3×sin D＋×AC×AC=3sin D＋(13－12cos D)=＋3sin D－cos D= sin(D＋φ)＋，tan φ=－，所以，当φ＋D=时四边形面积最大，此时tan D=tan==－，可得sin D=.