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2023年高考数学(理数)一轮复习课时25《平面向量的基本定理及坐标表示》达标练习(含详解)
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2023年高考数学(理数)一轮复习课时25《平面向量的基本定理及坐标表示》达标练习一 、选择题1.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为( )A.e1+e2 B.-2e1+e2 C.2e1-e2 D.2e1+e2【答案解析】答案为:B;解析:以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由题意可得e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),则解得故a=-2e1+e2.2.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m).若a∥b,则3a+2b=( )A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8)【答案解析】答案为:B解析:∵a∥b,∴m+4=0,∴m=-4,∴b=(2,-4),∴3a+2b=3(1,-2)+2(2,-4)=(7,-14).3.设向量a=(cosx,-sinx),b=,且a=tb,t≠0,则sin2x=( )A.1 B.-1 C.±1 D.0【答案解析】答案为:C;解析:因为b==(-sinx,cosx),a=tb,所以cosxcosx-(-sinx)(-sinx)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tanx=±1,所以x=+(k∈Z),则2x=kπ+(k∈Z),所以sin2x=±1,故选C.4.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则( )A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y=【答案解析】答案为:A.解析:由题意知=+,又因为=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.5.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是( )A.(,-) B.(,-) C.(-,) D.(-,)【答案解析】答案为:A.解析:=-=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),∴与同方向的单位向量为=(,-),故选A.]6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于( )A.1 B. C. D.【答案解析】答案为:D.解析:∵=+=+,∴2=+,即=+.故λ+μ=+=.7.已知角α的顶点为坐标原点O,始边为x轴正半轴,终边在第二象限,A(x,y)是其终边上一点,向量m=(3,4),若m⊥,则tan=( )A.7 B.- C.-7 D.【答案解析】答案为:D;解析:由m⊥,得3x+4y=0,即y=-x,所以tan α=-,tan===.8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行,则A=( )A. B. C. D.【答案解析】答案为:B.解析:因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.9.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y).若3a-2b+c=0,则c=( )A.(-23,-12) B.(23,12) C.(7,0) D.(-7,0)【答案解析】答案为:A解析:由题意可得3a-2b+c=3(5,2)-2(-4,-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).10.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+n(m,n∈R),则的值为( )A.2 B.2.5 C.3 D.4【答案解析】答案为:C;解析:∵·=0,∴⊥,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,=(1,0),=(0,),=m+n=(m,n).∵tan30°==.∴m=3n,即=3.11.已知向量,满足||=||=1,⊥,=λ+μ(λ,μ∈R).若M为AB的中点,并且||=1,则λ+μ的最大值是( )A.1- B.1+ C. D.1+【答案解析】答案为:B.解析:因为向量,满足||=||=1,⊥,所以可以分别以,所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1).又因为M为AB的中点,所以M(,).因为=λ+μ(λ,μ∈R),所以=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),即点C(λ,μ).所以=(λ-,μ-).因为||=1,所以(λ-)2+(μ-)2=1,即点C(λ,μ)在以(,)为圆心,1为半径的圆上.令t=λ+μ,则直线λ+μ-t=0与此圆有公共点,所以d=≤1,解得-+1≤t≤+1,即λ+μ的最大值是1+.故选B.12.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)【答案解析】答案为:D.解析:由题意知向量a,b不共线,故2m≠3m-2,即m≠2.二 、填空题13.已知向量m=(,),n=(1,0),若m(m-λn),则实数λ=________.【答案解析】答案为:2.解析:由m⊥(m-λn)可得m·(m-λn)=0,即m2=λm·n,而m2=1,m·n=,所以λ=2.14.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示),若=λ+μ,则λ+μ的值是 .【答案解析】答案为:.解析:建立如图所示直角坐标系xAy,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),E(1,0),F(,),所以=(-1,1),=(,),则=λ+μ=-λ+μ,λ+μ,又因为以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P,所以点P的坐标为P(,),=P(,),所以-λ+μ=,λ+μ=,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.15.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若=x+y(x,y∈R),则x-y的值为 .【答案解析】答案为:-1;解析:如图,延长DC,AB交于点E,因为∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以=-.因为=x+y,所以=-x+y.因为C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.16.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的四等分点,若=(m+)+,则m= .【答案解析】答案为:.解析:由已知,得=,=-=4-,因为=(m+)+,所以=(m+)+(4-)=m+.因为B,P,N三点共线,所以m+=1,m=.
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