2023年高考数学(理数)一轮复习课时40《空间向量》达标练习（含详解）

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2023年高考数学(理数)一轮复习课时40《空间向量》达标练习一 、选择题1.三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)A.         B.       C.或         D.或【答案解析】答案为：C解析：∵二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，∴二面角A－BD－C的大小为或.故选C.2.在空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体侧视图面积为(　　)A.        B.1       C.2        D.4【答案解析】答案为：B；解析：如图，在棱长为2的正方体中建立空间直角坐标系O­xyz，确定四面体的四个顶点，设为A，B，C，D，则侧视图以△BCD所在的平面为投射面，对应的射影分别为A′，B′，C′，D′，从而该四面体的侧视图，即△A′B′D′的面积为×1×2=1，故选B.3.在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　)A.        B.      C.        D.【答案解析】答案为：D；解析：如图，建立空间直角坐标系A­xyz，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n=(1，0，0)，所以cos〈n，〉==，即sin α=.4.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A.相交        B.平行     C.垂直        D.不能确定【答案解析】答案为：B；解析：因为正方体的棱长为a，A1M=AN=，所以=，=，所以=＋＋=＋＋=(＋)＋＋(＋)=＋，又是平面B1BCC1的一个法向量，且·=·=0，所以⊥，又MN⊄平面B1BCC1，所以MN∥平面B1BCC1.5.已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A.45°        B.135°     C.45°或135°        D.90°【答案解析】答案为：C；解析：cos〈m，n〉===，即〈m，n〉=45°，其补角为135°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.6.在四棱锥P­ABCD中，=(4，－2，3)，=(－4，1，0)，=(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h=(　　)A.1        B.2       C.13        D.26【答案解析】答案为：B；解析：设平面ABCD的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令y=4，则n=，则cos〈n，〉===－.因为=|cos〈n，〉|，所以h=×2=2.7.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是(　　)A.平行         B.垂直       C.相交         D.与a值有关【答案解析】答案为：B解析：建立如图所示空间直角坐标系.则D′(0,0,1)，E(1－a,1,0)，B′(1,1,1)，F(0,1－a,0)，∴＝(1－a,1，－1)，＝(－1，－a，－1).∴·＝(1－a)×(－1)＋1×(－a)＋(－1)×(－1)＝a－1－a＋1＝0.∴⊥，即D′E⊥B′F.故选B.8.若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A.120°        B.60°      C.30°        D.60°或30°【答案解析】答案为：C；解析：设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sin β=|cos γ|=|cos 120°|=.又因为0°≤β≤90°，所以β=30°.9.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　)A.        B.         C.        D.0【答案解析】答案为：D；解析：如图以DA，DC，DD1所在直线方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，则可得A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以=(－1，0，－1)，=(1，－1，－1).设异面直线A1E与GF所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=0.10.若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)A.        B.  C.         D.【答案解析】答案为：B解析：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系.设各棱长为2，则有A(0，－1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2).所以C＝(0，－1,2)，＝(，－1，2)，A＝(0,1,2).设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0,2,1).∴cos〈，n〉＝＝，即直线AD与平面B1DC所成角的正弦值.故选B.11.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)A.         B.         C.         D.【答案解析】答案为：C解析：以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(，0,0)，E(，，0)，F(0,,1)，∴＝(0,0，－2)，＝(0,,0)，＝(- ,,1).设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝＝，∴PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C.12.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是(　　)A.DB1⊥D1PB.平面AD1P⊥平面A1DB1C.∠APD1的最大值为90°D.AP＋PD1的最小值为【答案解析】答案为：B；解析：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，∵=(0，1，－1)，又P为线段A1B上的动点，∴设P(1，λ，1－λ)(0＜λ＜1)，∴=(－1，0，1)，=(1，λ，－λ)，设n=(x，y，z)是平面AD1P的法向量，则有即可取n=，又平面A1DB1的法向量可为=(－1，0，1)，∵·n=0，∴平面AD1P⊥平面A1DB1.故选B.二 、填空题13.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是________.【答案解析】答案为：(0，1]解析：如图，以D1为原点建立空间直角坐标系D1­xyz.设AD=a(a＞0)，AP=x(0≤x≤2)，则P(a，x，2)，C(0，2，2)，所以=(a，x，2)，=(a，x－2，0)，因为D1P⊥PC，所以·=0，即a2＋x(x－2)=0，a==.当0≤x≤2时，a∈(0，1].即AD的取值范围是(0，1].14.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________.【答案解析】答案为：.解析：∵AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，∴＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴AF与CE所成角的余弦值为.15.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________.【答案解析】答案为：.解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1).∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1).∴cos〈，〉＝＝.16.已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为________.【答案解析】答案为：.解析：解法一：如图，过点P作直线l∥AB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，l⊥平面PAD，∴PD⊥l，PA⊥l，故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在Rt△PAD中，∠DPA=.∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为.解法二：设PA=AD=1，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，∴=(－1，0，0)，=(0，1，－1).设n=(x，y，z)是平面PCD的法向量，则有即可取n=(0，1，1).易知平面PAB的一个法向量为=(0，1，0)，则cos〈n，〉===，∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为.