2023年高考数学(理数)一轮复习课时47《抛物线》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时47

《抛物线》达标练习

一 、选择题

1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)

A.(0，a)       B.(a,0)       C.       D.

【答案解析】答案为：C

解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为.故选C.

2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)

A.          B.6        C.12          D.7

【答案解析】答案为：C

解析：抛物线C：y2＝3x的焦点为F(,0)，所以AB所在的直线方程为y＝(x- )，

将y＝(x- )代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.故选C.

3.过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ>0)，则λ的值为(　　)

A.          B.             C.          D.3

【答案解析】答案为：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，

则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4，点A(4,4)，

则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，

联立方程组解得B(1，－2)，

所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故选D.

4.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C方程为(　 　)

A.x2=8y       B.x2=4y        C.x2=2y         D.x2=y

【答案解析】答案为：C；

解析：由得或

即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，

故抛物线C的方程为x2=2y.

5.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为(　　)

A.y2＝2x          B.y2＝3x      C.y2＝4x          D.y2＝x

【答案解析】答案为：A

解析：由双曲线方程x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，

∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±，不妨取kAB＝，

则其倾斜角为60°，即∠AFx＝60°.过A作AN⊥x轴，垂足为N.由|AF|＝2，

得|FN|＝1.过A作AM⊥准线l，垂足为M，则|AM|＝p＋1.

由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|，∴p＋1＝2，∴p＝1，

∴抛物线的方程为y2＝2x，故选A.

6.若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，)到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，

则p等于(　　)

A.          B.1       C.          D.2

【答案解析】答案为：D

解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋，所以x0＋＝3x0，解得x0＝，

代入抛物线方程()2＝2p×，解得p＝2.

7.已知圆C：(x－5)2＋(y－)2=8，抛物线E：x2=2py(p>0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，

若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为(　 　)

A.x=－         B.y=－1      C.y=－         D.x=－1

【答案解析】答案为：C.

解析：由题意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB==，

设抛物线E上的切点为(x0，y0)，

由y=，得y′=，∴=，∴x0=1，∴切点为(1，)，

∴切线方程为y－=(x－1)，即2x－2py－1=0，

∵切线2x－2py－1=0与圆C相切，

∴圆心C(5，)到切线的距离为2，即=2，

∴31p2＋18p－49=0，∴(p－1)(31p＋49)=0，

∵p>0，∴p=1.∴抛物线x2=2y的准线方程为y=－，故选C.

8.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　 　)

A.       B.       C.       D.

【答案解析】答案为：A；

解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，

则|AM|=|AF|－1，|BN|=|BF|－1.

可知====，故选A.

9.已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，

弦MN的中点P到直线l：y＝－的距离为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为(　　)

A.          B.1－    C.1＋          D.2＋

【答案解析】答案为：D

解析：抛物线y＝4x2的焦点F(0,)，准线为y＝－，设|MF|＝a，|NF|＝b，

由∠MFN＝135°，可得|MN|2＝|MF|2＋|NF|2－2|MF|·|NF|·cos∠MFN＝a2＋b2＋ab，

由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，

由梯形的中位线定理可得d＝(|MF|＋|NF|)＝(a＋b)，由|MN|2＝λ·d2，

可得λ＝＝1－≥1－＝1－＝，

可得λ≥2＋，当且仅当a＝b时，取得最小值2＋.

10.已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)

A.          B.         C.          D.

【答案解析】答案为：D

解析：由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0,)，双曲线焦点坐标为(2,0)，

所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2).设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝

⇒x0＝p.因为y0＝x，所以y0＝.又M点在直线y＝－(x－2)上，

即有＝－(p-2)⇒p＝，故选D.

11.抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　 　)

A.          B.1         C.          D.2

【答案解析】答案为：A；

解析：过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图，

由题意知|MN|=(|AA1|＋|BB1|)=(|AF|＋|BF|)，

在△AFB中，|AB|2=|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos120°=|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，

∴2=·=

=≤×=，

当且仅当|AF|=|BF|时取等号，∴的最大值为.

12.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)

A.        B.         C.2        D.3

【答案解析】答案为：C；

解析：把点A代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，

所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1,0)，设M，

则=，=，由=λ，

得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.

二 、填空题

13.已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________.

【答案解析】答案为：12或4.

解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，

又抛物线的准线方程为x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4.

14.已知点A(1，y1)，B(9，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，y2>y1>0，点F是抛物线的焦点，若|BF|＝5|AF|，则y＋y2的值为________.

【答案解析】答案为：10.

解析：由抛物线的定义可知，9＋＝5(1＋)，解得p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x，又∵A，B两点在抛物线上，∴y1＝2，y2＝6，

∴y＋y2＝22＋6＝10.

15.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________.

【答案解析】答案为：16

解析：如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0,1)，

由得4y2－17y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝1，解得y1＝，y2＝4，

则＝＝＝16.

16.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=________.

【答案解析】答案为：.

解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，|AF|=3，由抛物线的定义知，点A到准线x=－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，

不妨设点A在第一象限，将x=2代入y2=4x，得y2=8，所以点A的纵坐标为2 ，

即A(2，2 )，所以直线AF的方程为y=2 (x－1).

由解得或，

所以点B的横坐标为，所以|BF|=－(－1)=.

解法二：如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx=θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则由抛物线的定义知xA＋1=2＋3cos θ=3，解得cos θ=.

又|BF|=xB＋1=1－|BF|cos θ＋1=2－|BF|，所以|BF|=.