2023年高考数学(理数)一轮复习课时49《直线与圆锥曲线》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时49

《直线与圆锥曲线》达标练习

1.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2=1上，求m的值.

【答案解析】解：(1)由题意，得

解得

∴椭圆C的方程为＋=1.

(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，

由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8=0，

Δ=96－8m2>0，∴－2<m<2，

∵x0==－，∴y0=x0＋m=，

∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2=1上，

∴2＋2=1，∴m=±.

2.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的焦距为4，且过点(，－2).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围.

【答案解析】解：(1)椭圆C：＋=1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，

2a=＋=4，所以a=2，b=2，

即椭圆C的方程是＋=1.

(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，－2)，·=－8.

若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y=kx＋2，

点E(x1，y1)，F(x2，y2)，

将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4=0，

则x1＋x2=，x1x2=，

所以·=x1x2＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4

=＋＋4=－8，

因为0<≤10，所以－8<·≤2，

综上所述，·的取值范围是[－8,2].

3.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y=x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；

(2)若过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点P是椭圆C上使直线PM，PN的斜率存在的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN=－时，求椭圆C的方程.

【答案解析】解：(1)由题意知，b等于原点到直线y=x＋2的距离，即b==，

又2a=4，所以a=2，c2=a2－b2=2，

所以椭圆C的两个焦点的坐标分别为，.

(2)由题意可设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，

则＋=1，＋=1，

两式相减得=－，

又kPM=，kPN=，

所以kPM·kPN=·==－，所以－=－，

又a=2，所以b=1，故椭圆C的方程为＋y2=1.

4.已知圆C：(x＋1)2＋y2=8，过D(1，0)且与圆C相切的动圆圆心为P.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W(Q，R，S，T为不同的四个点).

①设W(x0，y0)，证明：＋y＜1；

②求四边形QRST的面积的最小值.

【答案解析】解：(1)设动圆半径为r，由于点D在圆C内，

所以圆P与圆C内切，|PC|=2－r，|PD|=r，|PC|＋|PD|=2＞|CD|=2，

由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其中a=，c=1，b==1，

故轨迹E的方程为＋y2=1.

(2)①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x＋y=1，

又Q，R，S，T为不同的四个点，所以＋y＜1.

②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.

若两条直线的斜率都存在，设l1的斜率为k，

则l1的方程为y=k(x＋1)，

由方程组，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2=0，

则|QS|=2·，

同理得|RT|=2·，

所以SQRST=|QS|·|RT|=≥=，

当且仅当2k2＋1=k2＋2，即k=±1时等号成立.

综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值.

5.已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段BM的中点.

【答案解析】解：(1)由抛物线C：y2=2px过点P(1，1)，得p=.

所以抛物线C的方程为y2=x.

抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为x=－.

(2)证明：由题意，设直线l的方程为y=kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为

M(x1，y1)，N(x2，y2).

由得4k2x2＋(4k－4)x＋1=0.则x1＋x2=，x1x2=.

因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为(x1，x1).

直线ON的方程为y=x，点B的坐标为.

因为y1＋－2x1==

===0，

所以y1＋=2x1.故A为线段BM的中点.

6.已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.

(1)求k的取值范围；

(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0).

【答案解析】解：(1)由题设可知k≠0，

所以直线m的方程为y=kx＋2，

与y2=4x联立，整理得ky2－4y＋8=0.①

由Δ1=16－32k＞0，解得k＜.

直线n的方程为y=－x＋2，与y2=4x联立，

整理得y2＋4ky－8k=0，

由Δ2=16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2.

所以

故k的取值范围为(－∞，－2)∪.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0).

由①得，y1＋y2=，则y0=，x0=－，则M.

同理可得N(2k2＋2k，－2k).

直线MQ的斜率kMQ==－，

直线NQ的斜率kNQ==－=kMQ，

所以直线MN过定点Q(2,0).

7.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆经过点

，且△PF1F2的面积为2．

              （1）求椭圆C的标准方程；

              （2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A,B两点，与椭圆C交于C,D两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R*)，当λ取得最小值时，求直线的方程．

【答案解析】解：

8.已知椭圆的离心率为，且点P(2，1)为椭圆上一点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于A,B两点，求△PAB的面积的最大值．

【答案解析】解：