2023年高考数学(理数)一轮复习课时57《几何概型》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时57

《几何概型》达标练习

一 、选择题

1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)

A.16.32         B.15.32       C.8.68         D.7.68

2.在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是(　　)

A.        B.       C.        D.

3.在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)

A.         B.          C.         D.

4.要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则进行平移与伸缩变换为(　　)

A.－3x         B.3x         C.6x－3         D.－6x－3

5.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，

则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)

A.         B.         C.         D.

6.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)

A.         B.       C.         D.

7.在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为(　　)

A.0           B.1       C.2           D.3

8.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，

若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)

A.2－          B.4－     C.4－           D.4

9.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.           B.           C.           D.

10.在区间(0，4)上任取一数x，则<2x－1<1的概率是(　　)

A.         B.         C.         D.

11.用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是(　　)

A.          B.           C.          D.

12.如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是(　　)

A.　         B.          C.         D.

二 、填空题

13.在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________.

14.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________.

15.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.

16.如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，

则这点取自正四棱锥内的概率为       .

0.答案解析

1.答案为：A

解析：设椭圆的面积为S，则=，故S=16.32.

2.答案为：C；

解析：设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为 a，所以正四面体的高为a，所以R2=＋，即a=2R，所以正四面体的棱长为，底面面积为××R=R2，高为，所以正四面体的体积为R3，又球O的体积为R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为，故选C.

3.答案为：A

解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，

则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=S△ABC，

∴VS－DEF=VS－ABC.∴P==.故选A.

4.答案为：C

解析：利用伸缩和平移变换进行判断得－3≤6x－3≤3，故y取6x－3.

5.答案为：C

解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=，A′点在A点左右都可取得，

故由几何概型的概率计算公式得所求概率P==.故选C.

6.答案为：B

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部.要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分.故所求概率P＝＝＝.

7.答案为：B.

解析：区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，

区间长度为2m，由=，则m=1.]

8.答案为：B；

解析：设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积

S=24×=4πr2－6r2，圆的面积S′=πr2，

所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4－，故选B.

9.答案为：B.

解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，

则P1===.故点P到点O的距离大于1的概率P=1－=.]

10.答案为：C

解析：由题设可得－2<x－1<0，即－1<x<1，所以d=1，D=4，

则由几何概型的概率公式可知所求概率P=.故选C.

11.答案为：B

解析：如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，

所得的圆面积大于等于9π的概率为P(A)＝＝.

∴所截得圆的面积小于9π的概率为P()＝1－＝.故选B.

12.答案为：C

解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影=dx=x3=，又正方形的面积S=1，

故质点落在图中阴影区域的概率P==.故选C.

二 、填空题

13.答案为：.

解析：画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，

因为S△ABC=×3×=，S△AOD=×1×1=，

所以点P恰好落在第二象限的概率为==.

14.答案为：＋.

解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，

则满足|PH|<的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，

所求概率为＝＋.

15.答案为：0.18

解析：由题意知，==0.18.∵S正=1，∴S阴=0.18.

16.答案为：.

解析：设球的半径为R，则所求的概率为P===.