2023年高考数学(理数)一轮复习课时62《坐标系》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时62

《坐标系》达标练习

1.圆心C的极坐标为（2，），且圆C经过极点.

(1)求圆C的极坐标方程.

(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.

【答案解析】解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，

则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=r2，

依题意可知r2=(0－)2＋(0－)2=4，

故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2=4，

化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)=0，

即ρ=2(sin θ＋cos θ).

(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)=0中，

令y=0，得x2－2x=0，解得x=0或2，

于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2，0)，

由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，

则该直线的直角坐标方程为y－0=(x－2)，

即x＋y－2=0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－2=0.

2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x=4.曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；

(2)若射线θ=α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围.

【答案解析】解：(1)由ρcos θ=x，得直线l的极坐标方程为ρcos θ=4.

曲线C的参数方程为(φ为参数)，

消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2=2，

即x2＋y2－2x－2y=0，

将x2＋y2=ρ2，x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ＋2ρsin θ，

所以曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ＋2sin θ.

(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，

则ρ1=2cos α＋2sin α，ρ2=，

所以==

==(sin 2α＋cos 2α)＋=sin＋，

因为0<α<，所以<2α＋<，所以<sin≤1，

所以<sin＋≤.

故的取值范围是.

3.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).

【答案解析】解：(1)将，

消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2=25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16=0.

将，代入x2＋y2－8x－10y＋16=0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16=0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y=0.

由

解得，或

所以C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）.

4.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值.

【答案解析】解：(1)∵C1的参数方程为

∴C1的普通方程为＋y2=1.

由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos θ(a为半径)，

将D代入，得2=2a×，∴a=2，

∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，

∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.

(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ=1，

即ρ2=.∴ρ=，

ρ==.

∴＋=＋=.

5.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0), 其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

【答案解析】解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和（，）.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2 cos α，α).

所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4|sin（α-）|.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

6.在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos(θ- )＝，C与l有且仅有一个公共点.

(1)求a；

(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值.

【答案解析】解：(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcosθ，

化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.

∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆.

由l：ρcos(θ- )＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，

∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.

(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ- )＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ- )，

当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.

7.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin（ +θ）=1，圆C的圆心的极坐标是C（1，），圆的半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求直线l被圆C所截得的弦长.

【答案解析】解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，

则∠AOD=－θ或∠AOD=θ－，

|OA|=|OD|cos（－θ）或|OA|=|OD|cos（θ－）.

所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ－）.

(2)由ρsin（θ+）=1，得ρ(sin θ＋cos θ)=1，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－=0，

又圆心C的直角坐标为（，）满足直线l的方程，

∴直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.

8.已知圆C：x2＋y2=4，直线l：x＋y=2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；

(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，

当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程.

【答案解析】解：(1)将x=ρcos θ，y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ=2，l：ρ(cos θ＋sin θ)=2.

(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，

则由|OQ|·|OP|=|OR|2，得ρρ1=ρ.

又ρ2=2，ρ1=，所以=4，

故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0).