专题08 数列-2022年高考真题和模拟题数学分项汇编(解析版)+（原卷版）

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专题08  数列 1．【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（       ）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为，所以，，得到，同理，可得，又因为 ，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D4．【2022年北京】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.5．【2022年浙江】已知数列满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.6．【2022年全国乙卷】记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.7．【2022年北京】己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；     ②为等比数列；③为递减数列；            ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.8．【2022年全国甲卷】记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．(1)解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．9．【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；(2) ∴ 10．【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．11．【2022年北京】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．(1)，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．(2)若,设为 ,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，， ．(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾），， 同理 ，故在一端，不妨为形式，若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，①或，②这2种情形，对①：，矛盾，对②：，也矛盾，综上 ．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．12．【2022年浙江】已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.(1)因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，(2)因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以1．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列中，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将已知等式变形，由等差数列下标和计算即可得到结果.【详解】由得：，.故选：B.2．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（       ）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的性质，化简得到，即可求解.【详解】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，则.故选：C.3．（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（       ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【解析】【分析】求得数列的通项公式，再分析数列的单调性即可【详解】依题意，因为，其中，当时，，当时，，，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A4．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意设，所以，，所以，，构成等比数列，即，求出即可求解.【详解】设等差数列的公差为，所以，所以，，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，即，，构成等比数列，所以，解得，（舍去），所以.故选：A.5．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，，，若存在实数使是等差数列，则的公差为（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用得的递推关系，从而求得与公差的关系，再由求得．【详解】设公差为，因为，所以时，，两式相减得：，因为，所以，由得．从而，，故选：B．6．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，，可得，由已知、，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.7．（2022·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（       ）A． B．存在，使C． D．数列不具有单调性【答案】C【解析】【分析】根据题意求得，进而得到与同号，结合作差法比较法，可判定B、D错误；由，得到，利用叠加法，可判定A错误；化简得到，利用裂项法求和，可判定C正确.【详解】由于，则，又由，则与同号．又由，则，可得，所以数列单调递增，故B、D错误；又因为，由数列单调递增，且，所以，所以，累加得，所以，故A错误；由可得，因为，所以，故C正确．故选：C．8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析数列的单调性，计算、，即可得出结论.【详解】因为，，则，故数列为递增数列，因为，，且当时，，所以，当时，，所以，满足当时，的最大值为.故选：C.9．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（       ）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据的关系即可确定答案.【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， .故选：C.10．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足对任意的，总存在，使得，则可能等于（       ）A． B．2022n C． D．【答案】B【解析】【分析】A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到，m不存在，A错误；B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程，取即可，C选项，利用平方和公式得到，当n＝2时，，m不存在；D选项，当n＝2时，，m不存在.【详解】对于选项A：当时，则是等比数列，因为所以，当n＝2时，，m不存在，A错误；对于选项B：当时，是等差数列，因为，则，取即可，B正确；对于选项C：当时，，则，当n＝2时，，m不存在，C错误；对于选项D：当时，，则，当n＝2时，，m不存在，D错误．故选：B．11．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足，(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由得时，， ①②得，分奇偶项即可求出 （2）由得，当时，，当时，当时，取得最小值(1)①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数(2)，当时，，当时，当时，取得最小值12．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意得公差为整数，且，，分析求出即可；（2），再利用裂项相消法求和即可.(1)由，为整数知，等差数列的公差为整数.又，故，.于是，，解得，因此，故数列的通项公式为.(2)，于是.13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．(1)求数列、的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算；（2）利用错位相减法可得，令，由为递增数列，结合恒成立思想可得答案．(1)解：因为数列是等比数列，则可得，解得，所以．因为数列是等差数列，且，，则公差，所以．故，；(2)解：由（1）得：，数列的前n项和为①所以②由①-②得：，所以．不等式恒成立，化为不等式恒成立，令且为递增数列，即转化为当时，，所以．综上可得：实数的取值范围是．14．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.【答案】(1)，判断答案见解析(2)1926【解析】【分析】（1）根据等数列的前n项和公式和通项公式可求出的通项公式，根据等比数列的定义可判断是否为等比数列；（2）结合等差数列的前n项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.(1)∵是等差数列，，且前四项和为28，∴，解得 ∴.∵，∴当时，，两式相减得，即，又∴∴当时，数列的通项公式为.不是等比数列当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，∴.(2)由（1）知，则 因为，所以，所以，中要去掉的项最多4项，即3,9,27,81，其中9,81是和的公共项，所以数列的前30项和由的前32项和，去掉9,81，所以数列的前30项和为1926.15．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在数列中，，且对任意的，都有．(1)求数列的通项公式；(2)若，定义集合A的长度为．已知数列的通项公式为，若关于x不等式的解集A，求集合A的长度．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)构造等比数列结合累加法即可求通项；(2)根据不等式特点，巧用作差转换成高次不等式求解.(1)，，所以，，即；(2)因为，即就是，，，，，即，根据数轴标根法可知不等式的解集为或或或，集合A的长度为.【点睛】数列求通项分方法有构造等比或等差数列法，累加法，累乘法等.