专题05 平面解析几何-2022年高考真题和模拟题数学分项汇编(解析版)+（原卷版）

专题05  平面解析几何

1．【2022年全国甲卷】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.

【详解】

解：因为离心率，解得，，

分别为C的左右顶点，则，

B为上顶点，所以.

所以，因为

所以，将代入，解得，

故椭圆的方程为.

故选：B.

2．【2022年全国甲卷】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】

解：，

设，则，

则，

故，

又，则，

所以，即，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】

由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

4．【2022年全国乙卷】（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.

【详解】

解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，

若分别在左右支，

因为，且，所以在双曲线的右支，

又，，，

设，，

在中，有，

故即，

所以，

而，，，故，

代入整理得到，即，

所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，

故即，

代入，，，整理得到：，

故，故，

故选：AC.

5．【2022年北京】若直线是圆的一条对称轴，则（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

【详解】

由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．

故选：A．

6．【2022年新高考1卷】（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】

将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；

，所以直线的方程为，

联立，可得，解得，故B正确；

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

所以，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，得，

所以，所以或，，

又，，

所以，故C正确；

因为，，

所以，而，故D正确.

故选：BCD

7．【2022年新高考2卷】（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.

【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，

代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；

对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线得，解得，则，

则，B错误；

对于C，由抛物线定义知：，C正确；

对于D，，则为钝角，

又，则为钝角，

又，则，D正确.

故选：ACD.

8．【2022年全国甲卷】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

【答案】

【解析】

【分析】

设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】

解：∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

9．【2022年全国甲卷】记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

【答案】2（满足皆可）

【解析】

【分析】

根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.

【详解】

解：，所以C的渐近线方程为,

结合渐近线的特点，只需，即，

可满足条件“直线与C无公共点”

所以，

又因为，所以，

故答案为：2（满足皆可）

10．【2022年全国甲卷】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】

解：双曲线的渐近线为，即，

不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或（舍去）．

故答案为：．

11．【2022年全国乙卷】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

【答案】或或或；

【解析】

【分析】

设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】

解：依题意设圆的方程为，

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或；

12．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

【答案】或或

【解析】

【分析】

先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】

圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为

O到l的距离，解得，所以l的方程为，

当切线为m时，设直线方程为，其中，，

由题意，解得，

当切线为n时，易知切线方程为，

故答案为：或或.

13．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

【答案】13

【解析】

【分析】

利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】

∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

14．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】

解：关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

15．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；

【详解】

解：令的中点为，因为，所以，

设，，则，，

所以，即

所以，即，设直线，，，

令得，令得，即，，所以，

即，解得或（舍去），

又，即，解得或（舍去），

所以直线，即；

故答案为：

16．【2022年北京】已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；

【详解】

解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，

则，，又双曲线的渐近线方程为，

所以，即，解得；

故答案为：

17．【2022年浙江】已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．

【详解】

过且斜率为的直线，渐近线，

联立，得，由，得

而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.

故答案为：．

18．【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的定义可得，即可得解；

（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.

(1)

抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，

所以抛物线C的方程为；

(2)

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，

所以，

若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.

19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

(1)

解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

(2)

，所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】

求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

20．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；

（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．

(1)

因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线

易知直线l的斜率存在，设，，

联立可得，，

所以，，．

所以由可得，，

即，

即，

所以，

化简得，，即，

所以或，

当时，直线过点，与题意不符，舍去，

故．

(2)

不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，

因为，所以，即，

即，解得，

于是，直线，直线，

联立可得，，

因为方程有一个根为，所以， ，

同理可得，， ．

所以，，

点到直线的距离，

故的面积为．

21．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

(1)

右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．

∴C的方程为：；

(2)

由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线的斜率为,直线方程为,

则条件①在上，等价于；

两渐近线的方程合并为,

联立消去y并化简整理得：

设,线段中点为,则,

设,

则条件③等价于,

移项并利用平方差公式整理得：

，

,即,

即；

由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,

∴由,

∴,

所以直线的斜率,

直线,即,

代入双曲线的方程,即中，

得：,

解得的横坐标：,

同理：，

∴

∴,

∴条件②等价于，

综上所述：

条件①在上，等价于；

条件②等价于；

条件③等价于；

选①②推③:

由①②解得：,∴③成立；

选①③推②：

由①③解得：，，

∴，∴②成立；

选②③推①：

由②③解得：，，∴，

∴，∴①成立.

22．【2022年北京】已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；

（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；

(1)

解：依题意可得，，又，

所以，所以椭圆方程为；

(2)

解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，

由，消去整理得，

所以，解得，

所以，，

直线的方程为，令，解得，

直线的方程为，令，解得，

所以

，

所以，

即

即

即

整理得，解得

23．【2022年浙江】如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；

（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．

(1)

设是椭圆上任意一点,,则

       ，当且仅当时取等号，故的最大值是.

(2)

设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，

因为直线与直线交于,

则,同理可得,.则

，

当且仅当时取等号，故的最小值为.

【点睛】

本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．

1．（2022·全国·模拟预测）设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．

【详解】

设，，因为，，

所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．

故选：C．

2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．

【详解】

由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，

切点分别为A，B，使得，则，

在中，，

所以点 在圆上，

由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.

又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，

，

∴，

∴.

故选：D.

3．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线（，）一个虚轴的顶点为，右焦点为，分别以，为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于，两点，若，则该渐近线的斜率为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据渐近线倾斜角的正切值表达出，再化简得到求解即可

【详解】

由题意，如图，设，则因为该渐近线的斜率为，故，，，又因为圆与渐近线相切，故，，故，,所以，即，所以，即，故，即，故该渐近线的斜率为

故选：A

4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.

【详解】

记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E，

则C，E横坐标相等，则，

由，即，得，即，记C的横坐标为，则，

于是，得，同理的内心D的横坐标也为a，

则有轴，由直线的倾斜角为，则，，

在中，，可得，

在中，，可得，

可得．

故选：B

5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；

【详解】

解：设、，则，，

两式相减可得，

为线段的中点，，，

，又，，

，即，，

故选：D.

6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意求得a,b,c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.

【详解】

由题意可得 ，又，故 ，

所以 ，则双曲线方程为 ，

结合双曲线定义可得，

如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，

即Q在M位置时，取最小值，

此时直线方程为 ，联立，

解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，

故，

故选：B

7．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：

①；   

②；

③双曲线与双曲线一定没有公共点；   

④；

其中所有正确的结论序号是（       ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

【答案】B

【解析】

【分析】

对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断；对于②，举反例可说明；对于③，根据可推得，继而推得，可判断双曲线与双曲线一定没有公共点；对于④，举反例可判断.

【详解】

对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，

∴，即，故①正确；

对于②：若，，，，则，故②错误；

对于③：∵，∴，∴ ，即，

即，双曲线与双曲线一定没有公共点，故③正确；

对于④：∵，∴，

∵且，∴ ，

若，，，，则，故④错误.

故选：B

8．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由可得、，由双曲线定义可构造方程得到；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.

【详解】

在以为直径的圆上，，

，，，，

由双曲线定义知：，即，

；

，，，

则，，

即双曲线离心率的取值范围为.

故选：D.

9．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由双曲线定义可推导得，求得；在中，利用余弦定理可求得，进而得到，由可求得离心率.

【详解】

，，

又，，解得：，，

在中，由余弦定理得：，

解得：，即，，

双曲线的离心率.

故选：B.

10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．

【详解】

法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，

设是第一象限内使得为等腰三角形的点，

若，则，又，

消去整理得：，

解得(舍去)或，

由得，

所以，即，

若，则，又，

消去整理得：，

解得或，舍去．

所以，

所以，即，

时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．

综上，的范围是．

法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；

②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或

当时，则，即，则，

当时，则有，则，

综上所述，椭圆的离心率取值范围是.

故选：A.

11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（不与重合），是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【解析】

【分析】

（1）由椭圆的定义可求得的值，根据椭圆的离心率求得的值，再求出的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知，直线不与轴垂直，分两种情况讨论，一是直线与轴重合，二是直线的斜率存在且不为零，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出、，即可求得的值.

(1)

解：由椭圆的定义可得，则，因为，，则，

因此，椭圆的方程为.

(2)

解：若直线与轴垂直，此时，线段的垂直平分线为轴，不合乎题意；

若直线与轴重合，此时，线段的垂直平分线为轴，则点与坐标原点重合，

此时，；

若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，

由韦达定理可得，，

则，

所以，线段的中点为，

所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，

在直线方程中，令可得，

故点，所以，，

由弦长公式可得，

因此，.

综上所述，存在，使得恒成立.

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

12．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：，圆O：.

(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求；

(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值.

【答案】(1)

(2)最小值为，

【解析】

【分析】

（1）由得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出，最后由抛物线定义得出；

（2）由导数的几何意义得出切线l的方程，由点到切线的距离等于结合勾股定理得出，再由基本不等式得出的最小值及相应p的值.

(1)

由题意，得，从而C：.

解方程组，整理得，，解得

所以.

(2)

设，由得，故切线l的方程为，

注意到，故整理得

由且，即点到切线的距离等于得

所以，

整理，得且，

所以

，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为，此时.

13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.

【答案】(1)

(2)能，定点为（0，）

【解析】

【分析】

（1）由条件列方程求可得椭圆方程；

（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.

(1)

由已知可设椭圆方程为，

则，，

又

所以，

故椭圆C的标准方程为

(2)

设AB方程为，由，得，

设，则..

由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，

由得，则直线BM方程为，

令，则

又，

则，

所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点.

则点（0，）即为所求点.

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

14．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．

(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；

(2)请从①②两个问题中任选一个作答

①设与的斜率之积，求面积的值．

②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．

【答案】(1)距离为，证明见解析；

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明；

（2）若选①，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选②，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（1）中面积公式得到的表达式，平方整理，由含的项系数为0即可求解.

(1)

当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为；

当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足，

则点到直线的距离为；因为，

则；

(2)

若选①，设，设，直线与椭圆联立可得，

同理直线与椭圆联立可得，不妨令，则，

，

则；

若选②，设，设，直线与椭圆联立可得，则，

同理可得，则

，两边平方整理得，

由面积与无关，可得，解得，故时，无论与如何变动，面积保持不变．

15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线AE与BF的斜率分别为，，求的值；

(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

(3)P点的轨迹方程为

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得求解即可；（2）根据方程先求，再结合韦达定理求；（3）联立直线方程结合求点P的横坐标．

(1)

根据题意可得，解得

∴求椭圆C的方程为

(2)

根据题意可得，设直线l：，直线BE的斜率为，则

∵，整理得，则

联立方程，消去得

∴

∴

(3)

根据题意可得直线AE：，BF：

联立方程，解得

∴P点的轨迹方程为