专题04 立体几何-2022年高考真题和模拟题数学分项汇编(解析版)+（原卷版）

专题04  立体几何

1．【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8 B．12 C．16 D．20

2．【2022年全国甲卷】在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（       ）

A． B．AB与平面所成的角为

C． D．与平面所成的角为

3．【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）

A． B． C． D．

4．【2022年全国乙卷】在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

5．【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ）

A． B． C． D．

6．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（       ）

A． B． C． D．

7．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

9．【2022年北京】已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（       ）

A． B． C． D．

10．【2022年浙江】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（       ）

A． B． C． D．

11．【2022年浙江】如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（       ）

A． B． C． D．

12．【2022年新高考1卷】（多选）已知正方体，则（       ）

A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为

13．【2022年新高考2卷】（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（       ）

A． B．

C． D．

14．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

15．【2022年全国甲卷】在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

16．【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

17．【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

18．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

19．【2022年新高考2卷】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

20．【2022年北京】如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

21．【2022年浙江】如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

1．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（       ）

A． B．与可能垂直

C．直线与平面所成角的最大值是 D．四面体的体积的最大是

4．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（       ）

A．2 B． C． D．

5．（2022·浙江·模拟预测）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点P在线段上，给出下列命题：

①存在点P，使得直线平面

②存在点P，使得直线平面

③直线与平面所成角的正弦值的取值范围是

④三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是

其中所有真命题的序号是（       ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④

6．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（       ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

7．（2022·北京·北大附中三模）已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

8．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使得二面角的大小为90°.若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

9．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（       ）个．

①若E为的中点，则直线平面

②三棱锥的体积为定值

③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为

④过点，C，E的截面的面积的范围是

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（       ）

A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为

B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为

C．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为

D．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则线段长度为定值

11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

12．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)若，求证：；

(2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.

13．（2022·湖北·模拟预测）如图，四棱台中，上底面是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且

(1)求证：平面平面；

(2)若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积．

14．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图，四棱锥中，平面.M是CD中点，N是PB上一点.

(1)若求三棱锥的体积；

(2)是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.

15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．

(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；

(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角平面角为．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．