2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的算术平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 在实数，，，，，中，无理数的个数为

A.  B.  C.  D.

3. 如果电影票上的“排号”记作，那么表示

A. 排号 B. 排号 C. 排号 D. 排号

4. 在平面直角坐标系中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 下列方程组是二元一次方程组的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列语句中，不是命题的是

A. 如果，那么 B. 同旁内角互补
C. 反向延长射线 D. 垂线段最短

7. 已知点和点，将线段平移至，点与点对应，若点的坐标为，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法：没有算术平方根；若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或；有理数和数轴上的点一一对应；负数没有立方根，其中错误的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论：平分；；平分；．
    其中正确的结论个数是

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知，则______．
12. 若的值在两个整数与之间，则______．
13. 已知，用含的式子表示，得______．
14. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是______．
15. 如图，，，分别在，上，为两平行线间一点，那么______
    
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，则的坐标是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 解方程组：．
19. 请补全证明过程及推理依据．
    已知：如图，，平分，平分．
    求证：．
    证明：平分，平分，
    ，______
    ，
    ____________
    ．
    ______
    ______

20. 如图，，，是数轴上三个点、、所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数．
    填空：______，______，______；
    先化简，再求值：．

21. 如图，已知直线，相交于点，，为射线，平分．
    若，求的度数．
    若，且，求证：．
22. 如图，的顶点，，若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，且点、点、点的对应点分别是点、点、点．
    画出；
    若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
    求的面积．

23. 如图，，，，是的平分线．
    与平行吗？请说明理由；
    试说明；
    求的度数．

24. 规定：若是以，为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于，的二元一次方程的相关问题．
    已知，，，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
    已知，为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
    已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
25. 如图，在平面直角坐标系中，、、，且满足，线段交轴于点．
    求、两点的坐标和的面积；
    若点在轴上，且位于原点上方，并且满足，求点的坐标；
    如图，点为轴正半轴上一点．若交轴于点，且、分别平分、，求的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的算术平方根是．
故选：．
根据算术平方根的定义求解即可求得答案．
此题考查了算术平方根的定义．题目很简单，解题要细心．
 

2.【答案】

【解析】解：是分数，、是整数，是有限小数，这些都属于有理数；
无理数有，，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】

【解析】解：“排号”记作，
表示排号．
故选：．
由于将“排号”记作，根据这个规定即可确定表示的点．
此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．
 

4.【答案】

【解析】解：点在第四象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】

【解析】解：此方程含有个未知数，此选项不符合题意；
B.第个方程未知数的最高次数是，此选项不符合题意；
C.第一个方程是方式方程，此选项不符合题意；
D.此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
故选：．
根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程．方程组中共含有两个未知数．每个方程都是一次方程．
 

6.【答案】

【解析】解：、如果，那么，是命题，本选项不符合题意；
B、同旁内角互补，是命题，本选项不符合题意；
C、反向延长射线，不是命题，本选项符合题意；
D、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据命题的定义一一判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题是判断一件事情的语句，属于中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形的变化 平移，解决问题的关键是运用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
根据平移的性质，以及点 ， 的坐标，可知点 的横坐标加上了 ，纵坐标减小了 ，所以平移方法是：先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，根据点 的平移方法与 点相同，即可得到答案．
【解答】
解： 平移后对应点 的坐标为 ，
点的平移方法是：先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，
点的平移方法与 点的平移方法是相同的，
平移后 的坐标是： ．
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：有算术平方根是，故不正确；
若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，故不正确；
实数和数轴上的点一一对应，故不正确；
负数有立方根，故不正确；
其中错误的有个，
故选：．
根据实数与数轴，平方根，算术平方根，立方根的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房 间，房客 人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房 间，房客 人；
根据题意得： ，
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：平分，
，
于，
，
，
，
，
平分；故正确，
平移恰好到，
四边形是平行四边形，
，；故正确；
，
，
，
，
，
平分；故正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，故正确，
正确的结论有个，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到平分；故正确，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，；故正确；根据平行线的性质得到，于是得到平分；故正确；根据矩形的性质得到，故正确．
本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，即，
由于，
所以，
故答案为：．
根据等式的性质得出，再根据平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根，理解平方根的定义是正确计算的前提．
 

12.【答案】

【解析】解：，
且，。
的值在两个整数与之间，
可得．
故答案为：．
利用夹逼法得出的范围，继而也可得出的值．
此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为．
利用等式的性质先移项，再方程两边同除以即可求解．
本题主要考查解二元一次方程，利用等式的性质求解是解题的关键．
 

14.【答案】相交和平行

【解析】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，
故答案为：平行和相交．
根据两直线的位置关系解答即可．
此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交重合除外．
 

15.【答案】

【解析】解：过点作，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
首先作出，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出的值．
此题主要考查了平行线的性质，作出是解决问题的关键．
 

16.【答案】．

【解析】解：由图可得，，，，，，
，
，即，
．
故答案为：．
先根据，，即可得到，，再根据，可得，进而得到．
本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到．
 

17.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原方程组可化简为：
，
得：
，
得：
，
把代入中可得：
，
解得：，
原方程组的解为：．

【解析】先将原方程组进行化简整理，然后再利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】角平分线的定义    两直线平行，同位角相等  等量代换  同位角相等，两直线平行

【解析】证明：平分，平分，
，角平分线的定义，
，
两直线平行，同位角相等，
，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
故答案为：角平分线的定义，，两直线平行，同位角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行．
根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质定理得出，求出，再根据平行线的判定定理推出即可．
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键，平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意得：
，，，
故答案为：，，；
由题意可得：
，，，



，
当，时，
原式

．
根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
根据题意可得，，，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：平分，，
，
．
平分，
，
，

，


，


，
．

【解析】利用对顶角相等．求解即可；
利用已知，求两个角的和为即可．
本题考查的是垂直的定义，角度的和与差，解题的关键是利用图形找到角与角的关系．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；

点．
．

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据平移变换的性质可得结论；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：，理由如下：
，，
，
又，
，
；

，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
；

，，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出即可；
求出，求出，求出，根据平行线的性质得出，再得出答案即可．
本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或．

【解析】根据“理想点”定义进行判断即可；
根据题意求出和的值，进一步求解即可；
解二元一次方程组，得出，再根据“理想点”定义求出和的值即可．
本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，，
，，
、，
；
点在轴上，且位于原点上方，连接，如图，

，
，
，
，
，
，
或；
如图，、分别平分、，
设，，

则，，
，
，
，

，
，
，
过点作，则，
，，
．

【解析】根据算术平方根的意义可确定，代入可得的值，从而得、两点的坐标，根据三角形面积公式可得结论；
先计算的面积，分类讨论：当点在轴上根据三角形面积公式列式可得结论；
设，，作平行线，可得，所以，，根据角的和与差可得结论．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长；也考查了三角形面积公式和平行线的性质，算术平方根成立的条件．