专题05导数及其应用解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

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大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）
专题05导数及其应用解答题
真题汇总命题趋势

1．【2022年全国甲卷文科20】已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线．
(1)若x1=−1，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)−1,+∞
【解析】
(1)由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2，则y=f(x)在点−1,0处的切线方程为y=2(x+1)，
即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；
(2)f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为y−x13−x1=3x12−1(x−x1)，整理得y=3x12−1x−2x13，
设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2，则切线方程为y−x22+a=2x2(x−x2)，整理得y=2x2x−x22+a，
则3x12−1=2x2−2x13=−x22+a，整理得a=x22−2x13=3x122−122−2x13=94x14−2x13−32x12+14，
令ℎ(x)=94x4−2x3−32x2+14，则ℎ'(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1)，令ℎ'(x)>0，解得−130，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)0，f(x)单调递增；
在(1a,1)上，f'(x)0，
又f(1an)=1an−1−an+n(a+1)lna，当n趋近正无穷大时，f(1an)趋近负无穷，
所以f(x)在(0,1a)有一个零点，在(1a,+∞)无零点，
所以f(x)有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为(0,+∞).
3．【2021年全国甲卷文科20】设函数f(x)=a2x2+ax−3lnx+1，其中a>0.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）f(x)的减区间为(0,1a)，增区间为(1a,+∞)；（2）a>1e.
（1）函数的定义域为(0,+∞)，
又f'(x)=(2ax+3)(ax−1)x，
因为a>0,x>0，故2ax+3>0，
当00；
所以f(x)的减区间为(0,1a)，增区间为(1a,+∞).
（2）因为f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图与x轴没有公共点，
所以y=f(x)的图象在x轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得f(x)min=f(1a)=3−3ln1a=3+3lna，
故3+3lna>0即a>1e.
4．【2021年全国乙卷文科21】已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和(−1，−1−a).
(1)由函数的解析式可得：f'(x)=3x2−2x+a，
导函数的判别式Δ=4−12a，
当Δ=4−12a≤0,a≥13时，f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增，
当时，的解为：x1=1−1−3a3,x2=1+1−3a2，
当x∈(−∞,1−1−3a3)时，单调递增；
当x∈(1−1−3a3,1+1−3a3)时，单调递减；
当x∈(1+1−3a3,+∞)时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在(−∞,1−1−3a3)，(1+1−3a3,+∞)上
单调递增，在[1−1−3a3,1+1−3a3]上单调递减.
(2)由题意可得：f(x0)=x03−x02+ax0+1，f'(x0)=3x02−2x0+a，
则切线方程为：y−(x03−x02+ax0+1)=(3x02−2x0+a)(x−x0)，
切线过坐标原点，则：0−(x03−x02+ax0+1)=(3x02−2x0+a)(0−x0),
整理可得：2x03−x02−1=0，即：(x0−1)(2x02+x0+1)=0，
解得：，则，f'(x0)=f'(1)=1+a
切线方程为：y=(a+1)x,
与联立得x3−x2+ax+1=(a+1)x，
化简得x3−x2−x+1=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，∴(x−1)是x3−x2−x+1的一个因式，∴该方程可以分解因式为(x−1)(x2−1)=0,
解得x1=1,x2=−1,
f(−1)=−1−a，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和(−1，−1−a).
5．【2020年全国1卷文科20】已知函数f(x)=ex−a(x+2).
（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞)；（2）(1e,+∞).
【解析】
（1）当a=1时，f(x)=ex−(x+2)，f'(x)=ex−1，
令f'(x)0，得xk3，所以f(x)在(−k3,k3)上单调递减，在
(−∞,−k3)，(k3,+∞)上单调递增.
（2）由（1）知，f(x)有三个零点，则k>0，且f(−k3)>0f(k3)0k2−23kk30，则ℎ'x=x−1ex−x−1x2.
由（1）可知当x>0时，ex−x−1>0.
由ℎ'x>0，得x>1，由ℎ'x0时，令f'x=0，解得x=2a2a或−2a2a（舍），令f'x>0，解得00，函数f(x)单调递增；
当x>12时，f'(x)0
∴φ(x)在(−π,−π3)，(π3,π)上单调递减，在(−π3,π3)上单调递增．
当x=−π3时，φ(x)取极小值φ(−π3)=−3+12e−π3
当x=π3时，φ(x)取极大值φ(π3)=3−12eπ3
∵φ(−π)=−2e−π，φ(π)=−2eπ ∴φ(π3)>φ(−π)>φ(−π3)>φ(π)
要使y=−m与φ(x)=ex(sinx+cosx−1)在(−π,π)内有2个公共点
需满足−m=φ(−π3)或φ(−π)≤−m0，∴ℎ'(x)在(0,+∞)递增.
ℎ'(1)=−20，ℎ(x)递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(x0).
又∵x0∈(1,e)，ℎ'(x0)=0，∴lnx0−2x02=0，
∴ℎ(x0)=x0lnx0+2−x0+2x0=2x0+2−x0+2x0=2−x0+4x0>2−e+4e>0，
∴ℎ(x)>0，∴f(x)>x−2x.
6．已知函数fx=ex−ax−1a∈R．
(1)当a=1时，求函数y=fx的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)+lnx−e在1,+∞无零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为2，无极大值
(2)a∈−∞,e+1
【解析】
(1)由题知，当a=1时，f(x)=ex−(x−1)，x∈R
∴f'x=ex−1，令f'x=0，x=0．
∴x∈−∞,0时，f'x1；令ℎx=ex−a+1x，x>1
∴ℎ'x=ex−1x2，∵x>1，∴ℎ'x>0恒成立，
∴ℎx单调递增，即g'x单调递增．
①当a≤e+1时，∴g'x>g'1=e+1−a≥0，∴gx单调递增
∴gx>g1=0恒成立，即gx在1,+∞上无零点，∴a∈−∞,e+1．
②当a>e+1时，令g'x=0，x=x0，x0∈1,+∞，又g'x单调递增，
∴x∈1,x0时，g'x0，当00，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以ℎ(x)min=ℎ(1)=4，
即a≤4，
故a的取值范围是(−∞,4].
10．已知函数fx=ex−ax（其中e为自然对数的底数，e≈2.718…）．
(1)当a=2时，求函数y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx≥1恒成立，求实数a的值．
【答案】(1)y=−x+1
(2)1
【解析】
(1)解：当a=2时，f(x)=ex−2x，则f(0)=1，即切点为0,1，
又由f'(x)=ex−2，则切线的斜率k=f'0=−1，
所以函数y=fx在点0,f0处的切线方程为y=−x+1．
(2)
解：设ℎ(x)=f(x)−1=ex−ax−1，则ℎ'x=ex−a．
当a≤0时，ℎ'x=ex−a>0，ℎx单调递增，ℎ−1=e−1+a−10时，ℎx在−∞,lna上单调递减．ℎx在x∈lna,+∞上单调递增．
所以ℎx的最小值为ℎ(lna)=a−alna−1≥0,即1−lna−1a≥0，
即lna+1a−1≤0，
设φ(a)=lna+1a−1，可得φ'(a)=a−1a2，
所以φx在0,1上单调递减，φx在(1,+∞)上单调递增，
即φamin=φ1=0，故lna+1a−1≤0的解只有a=1．
综上可得，实数a的值为1．
11．已知函数fx=x3−3ax+aa∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若函数fx在区间0,3上的最大值与最小值之差为ga，求ga的最小值．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)63
【解析】
(1)因为fx=x3−3ax+aa∈R，所以f'x=3x2−3a=3x2−a．
①当a≤0时，f'x≥0恒成立，fx在R上单调递增；
②当a>0时，x∈−∞,−a∪a,+∞时，f'x>0；x∈−a,a时，f'x0，可得a−1−alnx>0，则lnx0，gx为增函数，
所以g(x)≥g3a3=13+13ln3a−13alna−1.
令ℎ(a)=13+13ln3a−13alna−1(a>0)，
ℎ'(a)=13+13ln3−13(lna+1)=13(ln3−lna)，
当a∈0,3时，ℎ'a>0，ℎa为增函数，
当a∈3,+∞时，ℎ'a0，f（x）在0，π2上单调递增，
当x∈π2，3π2时，f'(x)0，t∈λ2,1时，m't0，
令gx=ex−lnx+1x，其中x>0，则g'x=ex+lnxx2=x2ex+lnxx2，
令ℎx=x2ex+lnx，其中x>0，则ℎ'x=x2+2xex+1x>0，
故函数ℎx=x2ex+lnx在0,+∞上为增函数，
因为ℎ12=e4−ln20，
所以，存在x0∈12,1使得ℎx0=x02ex0+lnx0=0，
则x0ex0=−1x0lnx0=1x0ln1x0=eln1x0ln1x0，
令px=xex，其中x>0，则p'x=x+1ex>0，故函数px在0,+∞上为增函数，
因为px0=pln1x0，所以，x0=−lnx0，可得x0+lnx0=lnx0ex0=0，则x0ex0=1，
当00，此时函数gx单调递增，
所以，gxmin=gx0=x0ex0−lnx0−1x0=1+x0−1x0=1，∴a≤1.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）∀x∈D，m≤fx⇔m≤fxmin；
（2）∀x∈D，m≥fx⇔m≥fxmax；
（3）∃x∈D，m≤fx⇔m≤fxmax；
（4）∃x∈D，m≥fx⇔m≥fxmin.
16．已知函数fx=ax3−3x2+a+b.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当fx有三个零点时a的取值范围恰好是−3,−2∪−2,0∪0,1,求b的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)b=3
【解析】
(1)fx的定义域为R，
f'x=3ax2−6x=3xax−2,
若a=0，则f'x>0⇒−6x>0⇒x0⇒x2a，
f'x>0⇒00⇒x0，
∴fx在−∞,2a单调递减，2a,0单调递增，0,+∞单调递减.
(2)
可知fx要有三个零点，则a≠0，
且f(0)f2a0，
故ℎ(x)为增函数，故ℎ(0)0，ℎ(x)单调递增，
当e