2022年湖北省黄冈市中考数学试卷（含解析）

2022年湖北省黄冈市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是

A. 圆锥
B. 三棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱

3. 北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由个灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城．将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，对称轴条数最多的是

A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正方形 D. 圆

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是

A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
B. 检测一批灯的使用寿命
C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量
D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力

7. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
   四边形是菱形；
   ；
   ；
   若平分，则．
   其中正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 若分式有意义，则的取值范围是          ．
10. 如图，直线，直线与直线，相交，若，则______度．
    
    
     

11. 若一元二次方程的两个根是，，则的值是______．
12. 如图，已知，，请你添加一个条件______，使≌．
    
     

13. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是______．
14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为______
    ，结果保留整数．
15. 勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其弦是______结果用含的式子表示．
16. 如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元．
    买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
    已知该班共买份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过元，问至少买乙种快餐多少份？
19. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
    在扇形统计图中，组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
    若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．

20. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，两点，与轴交于点将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点．
    求与的解析式；
    观察图象，直接写出时的取值范围；
    连接，，若的面积为，则的值为______．

21. 如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
    求证：；
    若，求的长．

22. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．
    当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
    当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时．
    如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用元最少？最少是多少元？
    受投入资金的限制，种植总费用不超过元，请直接写出甲种花卉种植面积的取值范围．

23. 问题背景：
    一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
    尝试证明：
    请参照小慧提供的思路，利用图证明：；
    应用拓展：
    如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
    若，，求的长；
    若，，求的长用含，的式子表示．

24. 抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
    直接写出点和点的坐标；
    如图，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
    如图，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离．
此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的定义．
 

2.【答案】

【解析】解：由三视图可知，这个几何体是直三棱柱．
故选：．
从三视图的俯视图看是一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为矩形，可知这是一个三棱柱．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
 

3.【答案】

【解析】解：；
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：等边三角形有三条对称轴，矩形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，
所以对称轴条数最多的图形是圆．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数的幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

6.【答案】

【解析】解：、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：
 
，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
的长为：，
故选：．
连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，
，
≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据两直线平行，同位角相等和邻补角的定义解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及邻补角互补的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

11.【答案】

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
 

12.【答案】

【解析】解：添加条件：．
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一
添加条件：，根据即可证明≌．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：

由表格可知，共有种等可能情况．其中平局的有种：石头，石头、剪刀，剪刀、布，布．
小明和小强平局的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作于点，如图．

则，，，
在中，，
设，则，
，，
在中，
，
解得，
．
故答案为：．
过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

15.【答案】或

【解析】解：当为奇数，设其弦是，则股为，
根据勾股定理得，，
解得，
当为偶数，设其弦是，则股为，
根据勾股定理得，，
解得，
综上所述，其弦是或，
故答案为：或．
分两种情况：当为奇数，设其弦是，则股为，当为偶数，设其弦是，则股为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接，

由图可得，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，负值舍去，
，
故答案为：．
由图象可得，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

17.【答案】解：

，
当，时，原式．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：设购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元．
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
依题意得：，
解得：．
答：至少买乙种快餐份．

【解析】设购买一份甲种快餐需要元，购买一份乙种快餐需要元，根据“买份甲种快餐和份乙种快餐共需元，买份甲种快餐和份乙种快餐共需元”，即可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】   

【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：，
补全的条形统计图如右图所示：
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了个数据，第个数据和个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：，；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】

【解析】解：将点代入中，
，
，
在中，可得，
，
将点、代入，
，
解得，
；
一次函数与反比例函数交点为，，
时，；
在中，令，则，
，
直线沿轴向上平移个单位长度，
直线的解析式为，
点坐标为，
过点作交于点，连接，
直线与轴交点为，与轴交点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
将点代入中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出点坐标，然后将点、代入，即可求出一次函数的解析式；
通过观察图象即可求解；
由题意先求出直线的解析式为，过点作交于点，连接，由，求出，再求出，由平行线的性质可知，则，即可求．
本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
是直径，
，
，
．
解：连接，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
解得：，
在中，，，
．
故答案为：．

【解析】根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可；
根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：当时，；
当时，
设函数关系式为，
线段过点，，
，
，
，
即；

甲种花卉种植面积不少于，
，
乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
，
，
即；
当时，
由知，，
乙种花卉种植费用为元．
，
当时，；
当时，
由知，，
，
当时，，
，
种植甲种花卉，乙种花卉时，种植的总费用最少，最少为元；

当时，
由知，，
种植总费用不超过元，
，
，
即满足条件的的范围为，
当时，
由知，，
种植总费用不超过元，
，
不符合题意，舍去或，
即满足条件的的范围为，
综上，满足条件的的范围为或．

【解析】分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
先求出的范围；
分两段建立与的函数关系，即可求出各自的的最小值，最后比较，即可求出答案案；
分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，，
∽，
，
，，
，
，
．
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
；
将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，，
，
由可知，，
，
，
又，
，
，
．

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由折叠的性质可得出，，由可知，，由勾股定理求出，则可求出答案；
由折叠的性质得出，则，方法同可求出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，
解得或，
；
，
顶点．
如图，过点作轴于点，
，，
，
作，则点为直线与轴的交点；过点作于点，过点作轴的垂线，交所在直线于点，交轴于点，
≌，
，，
，，，
，
∽，
：：：：，
设，则，，，
，
四边形是矩形，
，
，解得，
，，

直线的解析式为，
令，解得，
．
点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为．

【解析】令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
过点作轴于点，易得，作，则点为直线与轴的交点；过点作于点，过点作轴的垂线，交所在直线于点，交轴于点，易证≌，∽，则，，：：：，设，则，，，又，则，解得的值可得出点的坐标，进而可得直线的解析式，令即可得出点的坐标；
分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．