2022年四川省眉山市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省眉山市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 实数，，，中，为负数的是

A.  B.  C.  D.

2. 截至年月日，全国共有共青团组织约万个．将万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列英文字母为轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是

A.  B.  C.  D.

6. 中考体育测试，某组名男生引体向上个数分别为：，，，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

9. 我国古代数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为

A.  B.
C.  D.

10. 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

11. 一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

12. 如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，以下结论：；；；其中正确结论的个数为

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式： ______ ．
14. 如图，已知，，则的度数为______．
    
    
     

15. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为______．
16. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
17. 将一组数，，，，，，按下列方式进行排列：，，，；，，，；
    若的位置记为，的位置记为，则的位置记为______．
18. 如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了名志愿者的测试成绩．成绩如下：
    
    整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
等级的频数为______，所对应的扇形圆心角度数为______；
该批志愿者有名，若成绩不低于分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
已知等级中有名男志愿者，现从等级中随机抽取名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

22. 数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．结果保留整数．参考数据：，

23. 已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
    求反比例函数的解析式；
    如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
    在的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：≌．

24. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
    求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
    年老旧小区改造的平均费用为每个万元．年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加如果投入资金年增长率保持不变，求该市在年最多可以改造多少个老旧小区？
25. 如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．
    求证：是的角平分线；
    若，，求的长；
    在的条件下，求阴影部分的面积．
    
     

26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为．
    
    求点的坐标；
    如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
    如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：
负数是：，
故选A．
根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．
本题主要考查实的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于零．
 

2.【答案】

【解析】解：万；
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】解：，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B.，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C.，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D.，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
 

5.【答案】

【解析】解：、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：．
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

6.【答案】

【解析】解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：，，，，，，，，，；
中位数为：；众数为；
故选：．
分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．
本题考查了中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，点，分别为各边的中点，
、、是的中位线，

，，，
的周长．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出的周长的周长．
本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
 

8.【答案】

【解析】解：

．
故选：．
先通分，根据分式的加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减法，把看成分母是的分数进行通分是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：头牛，只羊共两银子，
；
头牛，只羊共两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，
，
，
，
、切于、，
，，
，
；
．
故选：．
连接，由得，，；因为、分别相切于点、，则，利用四边形内角和即可求出．
本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
 

11.【答案】

【解析】解：一次函数的值随的增大而增大，
，
解得：，
在第二象限，
故选：．
根据一次函数的性质求出的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断点所处的象限即可．
本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：旋转得到，
，
为正方形，，，在同一直线上，
，
，故正确；
旋转得到，
，，
，
，
，
∽，
，
，故正确；
设正方形边长为，
，，
，
，
∽，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，即，解得：，
，
，故正确；
过点作交于点，

，
，
，
，
，
，，
，
，故正确
综上所述：正确结论有个，
故选：．
利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；利用三角形相似的判定及性质可知正确；证明∽，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明∽即可求出可知正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知正确．
本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
 

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如下图，

，，
，
与为对顶角，
．
故答案为：．
根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知，再借助与为对顶角即可确定的度数．
此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
多边形的内角和定理为，多边形的外角和为，根据题意列出方程求出的值．
本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
；
故答案为：．
由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握韦达定理得到，．
 

17.【答案】

【解析】解：题中数字可以化成：，，，；，，，；
规律为：被开数为从开始的偶数，每一行个数，
，是第个偶数，而，
的位置记为，
故答案为：．
先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，把被开方数全部统一成二次根式的形式是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，
四边形为矩形，
，，
在中，，，
，
，
由对称的性质可知，，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
是直角三角形，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．
 

19.【答案】解：

．

【解析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
 

20.【答案】解：，
方程两边同乘得：
，
解这个整式方程得：
，
检验：当时，，
是原方程的解．

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．
 

21.【答案】 

【解析】解：等级的频数，
所占的百分比为：，
所对应的扇形圆心角度数为：．
故答案是：，；
随机抽取的名志愿者的测试成绩中大于等于分的人数共有人，其占样本人数的百分比为：，
名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：人．
列出树状图如下所示：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率．
根据总人数为人，减去、、的频数即可求出等级的频数；求出等级所占的百分比再乘以即可得到对应的扇形圆心角的度数；
求出成绩大于等于分的人数所占的百分比，然后再乘以即可得到成绩达到优秀等级的人数；
画出树状图即可求解．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解频数、扇形统计图的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：在中，，
设为，
，
，
在中，，
，
解得．
答：此建筑物的高度约为．

【解析】在中，，设为，则，，在中，，解方程即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：直线过点，
，
将代入中，得，
反比例函数的解析式为；

解：由知，反比例函数的解析式为，
点在的图象上，
，
，
由平移得，平移后直线的解析式为，
将代入中，得；

证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点．

由知，反比例函数的解析式为，
点在的图象上，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
由知，，
平移后直线的解析式为，
又直线与轴、轴分别交于点，，
，，
，
在和中，
，
≌．

【解析】先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可；
先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据、坐标证明≌，得到，，再求出、坐标即可得到，即可证明≌．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
设该市在年可以改造个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：该市在年最多可以改造个老旧小区．

【解析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设该市在年可以改造个老旧小区，根据年改造老旧小区所需资金不多于年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：连接，如图，

与相切于点，为半径，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：如图，

平分，
，
是直径，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
或不符合题意，舍去，
的长为；
解：如图，作于，连接，

是直径，，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积为：．

【解析】连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；
根据题目中的条件，可以得到，，从而可以得到∽，利用相似三角形的性质即可求出的长度；
先证明是等边三角形，然后求出扇形和的面积，即可得到答案．
本题考查了圆的综合应用，掌握切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义等知识是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：点在抛物线的图象上，

，
点的坐标为；
过作于点，过点作轴交于点，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，最大为，
此时最大为，即点到直线的距离值最大；
存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．

【解析】把点的坐标代入，求出的值即可；
过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；
分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时分别求解即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．