2021-2022学年四川省眉山市仁寿县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省眉山市仁寿县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列代数式中是分式的是

A.  B.  C.  D.

2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 点关于轴对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 如果把分式中的和都扩大倍，则分式的值

A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小倍

6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

7. 已知点在第四象限，则点所在的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 已知一次函数，随的增大而减小，则的值可能是

A.  B.  C.  D.

9. 把直线向上平移单位长度后，其直线解析式为

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是

A. 且 B. 且 C.  D. 且

11. 已知不经过第四象限，下列选项正确的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

12. 如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：；；；不等式的解集是或其中正确的结论有个．

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 计算：          ．
14. 要使分式的值为零，则______．
15. 从年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径大约在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为______．
16. “绿水青山就是金山银山”，为改善环境，某村计划在荒山上种植棵树苗，实际比原计划每天多种棵树苗，结果提前天完成任务，原计划每天种树苗多少棵？设原计划每天种树苗，根据题意可列出方程为______．
17. 已知，则分式的值是______．
18. 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点，，，，在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为，，，，，横坐标分别为，，，，共个偶数，过点，，，分别作轴的垂线，与的图象交点依次为，，，，，则______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 先化简，再求值：，其中
20. 解方程：．
21. 为了做好学校疫情防控工作，某校从药店购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知乙种型号的口罩每袋单价比甲种型号的口罩每袋单价少元，购买元的甲种口罩的数量和购买元的乙种口罩的数量相同．
    求甲、乙两种口罩每袋的售价；
    根据学校防疫需要，学校拟从该药店购进甲、乙两种型号口罩共袋，其中乙种型号的数量不超过甲种型号的倍．问学校应如何购买，才能使得购买口罩所需费用最少？并求出所需的最少费用．
22. 甲、乙两车分别从、两地同时出发，甲车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；乙车匀速前往地，设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为时，与之间的函数图象如图所示．
    
    求甲车从地到达地的行驶时间；
    求甲车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    求乙车到达地时甲车距地的路程．
23. 如图，一次函数  的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
    Ⅰ试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
    Ⅱ连，在轴上取点，使，并求的面积；
    Ⅲ直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
     

24. 如果关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围．
25. 如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
    求的值及的解析式；
    求的值；
    一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．

26. 如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．
    求线段的长；
    求直线的解析式；
    若点是平面内任意一点，点是直线上的一个动点，过点作轴，垂足为点在点的运动过程中是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是分式，故A不符合题意；
B、不是分式，故B不符合题意；
C、是分式，故C符合题意；
D、不是分式，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的定义，即可判断．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由代数式有意义可知：，
，
故选：．
根据分式有意义的条件即可求出的范围；
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：根据乘方的定义以及分式的乘法法则，由，故A中等式不正确，那么不符合题意．
B.根据分式的加法法则，由，故B中的等式不正确，那么不符合题意．
C.根据分式的基本性质，由，故C中的等式不正确，那么不符合题意．
D.根据分式的基本性质，由，故D中的等式正确，那么符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质约分、分式的加法运算、分式的乘法运算以及乘方解决此题．
本题主要考查分式的基本性质进行约分、分式的加法运算、分式的乘法运算以及乘方，熟练掌握分式的基本性质进行约分、分式的加法运算、分式的乘法运算以及乘方是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选A．
根据关于轴的对称点的坐标特点即可求解．
本题考查了关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 

5.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
把分式中的和都扩大倍，则分式的值不变，
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、由函数的图象可知，，故错误；
B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故错误；
D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故正确；
故选：．
先根据一次函数的图象判断出的取值，再根据反比例函数的图象判断出的取值，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

7.【答案】

【解析】解：点在第四象限，
，
解得：，，
则点所在的象限是第一象限．
故选：．
应先判断出所求的点的横纵坐标的取值范围，进而判断所在的象限．
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

8.【答案】

【解析】解：随的增大而减小，
，
，
故选：．
利用随的增大而减小可得的范围，再选出符合条件的答案即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据题干信息求出的范围．
 

9.【答案】

【解析】解：平移前后直线解析式中是值相同，
把直线向上平移单位长度后，其直线解析式，
即．
故选：．
利用直线平行的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数图象的几何变换，正确利用平移前后直线解析式中是值相同解答是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：去分母得：
．
去括号得：
．
．
分式方程有可能产生增根，
．
．
关于的分式方程的解为正实数，
．
．
综上，实数的取值范围是且．
故选：．
求得分式方程的解，依据题意列出不等式即可得出结论．
本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，正确求得分式方程的解，考虑分式方程的增根的情况是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：当时，为一次函数，
不经过第四象限，
，，
，，
当时，，
不经过第四象限，
，
，，
综上，，的取值范围为，．
故选：．
分和两种情况考虑，由不过第四象限，可得，求解即可．
本题考查一次函数图象的位置与系数的关系，需要注意的系数分为两种情况分别进行考虑．
 

12.【答案】

【解析】解：由图象知，，，
，故错误；

把、代入中得，
，故正确；

把、代入得，
解得，
，
，
已知直线与轴、轴相交于、两点，
，，
，，
，，
，故正确；

由图象知不等式的解集是或，故正确；
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质得到，故错误；把、代入中得到故正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故正确；根据图象得到不等式的解集是或，故正确．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质结合负整数指数幂的性质分别化简求出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质和负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得，，
解方程得，，
当时，，
所以是增根，应舍去，
即当时，分式的值为零．
故答案为．
分式的值为的条件：分子为，分母不为首先求出使分子为的的值，然后代入分母，使分母不等于的值即为所求．
解分式方程首先在方程两边乘以最简公分母，化为整式方程再求解，注意一定要检验．
 

15.【答案】

【解析】解：  米米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此解答即可．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

16.【答案】

【解析】解：设原计划每天种植棵，根据题意得：
，
故答案是：．
首先根据题意可知原计划每天种植棵，则实际每天种植棵，根据题意可得等量关系：原计划种棵树所用的时间实际种棵所用的时间，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划种棵树所用的时间与实际种棵树所用的时间，根据时间关系列出方程即可．
 

17.【答案】

【解析】解：由题意：，
将两边同除以得：
，
，
．
，
．
故答案为：．
将两边同除以，得到，将式子两边平方整理得到；计算分式的倒数的值，则结论可求．
本题主要考查了分式的值，将条件适当变形，利用整体的思想解答是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：点，，，，在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，，共个连续偶数，纵坐标分别是，，，，，
，，，，
把代入反比例函数得，，
故答案为：．
根据点，，，，在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，，共个连续偶数，纵坐标分别是，，，，，可求出相应的，，，，，再把代入反比例函数，可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线的性质，找出点的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必须检验．
 

21.【答案】解：设甲种口罩每袋的售价为元，则乙种口罩每袋的售价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲、乙两种口罩每袋的售价分别为元，元；
设该学校购进甲种口罩袋，则购进乙种口罩袋，总费用为元，
由题意，得：，
解得：，
，

随的增大而增大，
当时，最小，最小费用为：元，
此时袋．
答：学校购买甲种口罩袋，乙种口罩袋所需费用最少，最少费用为元．

【解析】设甲种口罩每袋的售价为元，则乙种口罩每袋的售价为元，根据“购买元的甲种口罩的数量和购买元的乙种口罩的数量相同”列分式方程解答即可；
设学校购进甲种口罩袋，费用为元，根据题意得出与的关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：小时，
答：甲车从地到达地的行驶时间是小时；

设甲车返回时与之间的函数关系式为，
，
解得：，
甲车返回时与之间的函数关系式是；

小时，
当时，千米，
答：乙车到达地时甲车距地的路程是千米．

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
根据题意结合图象列算式即可得到结论；
根据题意，利用待定系数法即可求解；
先求得乙车到达地时的值，代入所求得的解析式即可得出答案．
 

23.【答案】解：Ⅰ把代入得：，
；
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：，
，
．
答：反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是．

Ⅱ作轴于，
，
．
，，
．

Ⅲ一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围是：或 ．

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式，求出，得出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
过作于，求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形的面积公式求出即可；
根据一次函数与反比例函数的图象，即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

24.【答案】解：方程两边同乘，得，解得．
当时，，；
当时，，．
故当或时有．
方程的解为，其中且．
解不等式组得解集．
由题意得，解得．
又
的取值范围是．

【解析】先将分式方程化为整式方程，求得其解，然后求出不等式组的解，进而求出的取值范围．
解分式方程时要先把分式方程化为整式方程再求解，求得结果后必须验根，因为分式的分母不得为．
求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

25.【答案】解：把代入一次函数，可得
，
解得，
，
设的解析式为，则，
解得，
的解析式为；
如图，过作于，于，则，，
，令，则；令，则，
，，
，，
；

一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
当经过点时，；
当，平行时，；
当，平行时，；
故的值为或或．

【解析】先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；
过作于，于，则，，再根据，，可得，，进而得出的值；
分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或或．
本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
 

26.【答案】解：由可得，．
由四边形是矩形

由勾股定理可得：

设，则由题意可得：，，，
在直角三角形中由勾股定理可列：
即
解得
所以
设直线的解析式为由，
可列：
解得，
所以直线的解析式为：

当时， 或 ，此时分别将和代入，
得点的坐标为或
当时，，把代入，得点的坐标为
当为对角线时，把代入，得点的坐标为
综上所述：在点的运动过程中存在以、、、为顶点的四边形是菱形．点的坐标为：或或或

【解析】由矩形的性质得出，，，由勾股定理即可得出答案；
由折叠的性质得到，，，进而求出的长，设，则有，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，进而得到的坐标，设直线解析式为，把与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式；
分当当时；当时；当为对角线时；三种情况进行解答即可．
本题是一次函数综合题目，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形性质，菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．