2023年新高考数学一轮复习课时4.6《正弦定理与余弦定理》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时4.6

《正弦定理与余弦定理》达标练习

一 、选择题

1.在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB=(　　)

A.          B.        C.          D.2

【答案解析】答案为：C；

解析：由余弦定理得AB2=22＋32－2×2×3×cos 60°=7，∴AB=，故选C.

2.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=，c=4，cos B=，则△ABC的面积为(　　)

A.3          B.        C.9          D.

【答案解析】答案为：B；

解析：由余弦定理b2=c2＋a2－2accos B，得7=16＋a2－6a，解得a=3，

∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=casin B=×4×3×=.故选B.

3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2=ab=，则△ABC的面积为(　　)

A.          B.             C.           D.

【答案解析】答案为：B；

解析：依题意得cos C==，C=60°，

因此△ABC的面积等于absin C=××=.

4.在△ABC中，A=，b2 sin C=4sin B，则△ABC的面积为(　　)

A.1          B.2         C.3          D.4

【答案解析】答案为：B

解析：因为b2sin C=4sin B，所以b2c=4b，即bc=4，故S△ABC=bcsin A=2.

5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=bc，且b=a，

则下列关系一定不成立的是(　　)

A.a=c　         B.b=c        C.2a=c          D.a2＋b2=c2

【答案解析】答案为：B

解析：由余弦定理，得cos A===，则A=30°.又b=a，

由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=，所以B=60°或120°.

当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；

当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.

6.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A=，a=3，S△ABC=2，

则b的值为(　　)

A.6          B.3        C.2          D.2或3

【答案解析】答案为：D

解析：因为S△ABC=2=bcsin A，所以bc=6，又因为sin A=，所以cos A=，

又a=3，由余弦定理得9=b2＋c2－2bccos A=b2＋c2－4，b2＋c2=13，可得b=2或b=3.

7.△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsin B－asin A=asin C，

则sin B的值为(　　)

A.          B.           C.          D.

【答案解析】答案为：C；

解析：由正弦定理，得b2－a2=ac，又c=2a，所以b2=2a2，

所以cos B==，所以sin B=.

8.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，

则=(　　)

A.2          B.3         C.          D.

【答案解析】答案为：A；

解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cos A=asin B，

由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B，

∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A=，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，

∴a2=4b2，∴=2.故选A.

9.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sin A=(　　)

A.        B.        C.        D.

【答案解析】答案为：D.

解析：过A作AD⊥BC于D，设BC=a，由已知得AD=.∵B=，∴AD=BD，∴BD=AD=，DC=a，

∴AC=a，在△ABC中，由正弦定理得=，∴sin ∠BAC=，故选D.]

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＋sin A－=0，

则的值是(　　)

A.1          B.           C.          D.2

【答案解析】答案为：B；

解析：因为cos A＋sin A－=0，

所以(cos A＋sin A)(cos B＋sin B)=2，

所以cos Acos B＋sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B=2，

即cos(A－B)＋sin(A＋B)=2，所以cos(A－B)=1，sin(A＋B)=1，

又A，B分别为三角形的内角，所以A=B，A＋B=，所以a=b，C=，

所以==，故选B.

11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A=b，

且a>b，则B=(　　)

A.          B.        C.          D.

【答案解析】答案为：A；

解析：∵asin Bcos C＋csin Bcos A=b，

∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A=sin B，

即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)=sin B.

∵sin B≠0，∴sin(A＋C)=，即sin B=.

∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B=，故选A.

12.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)

A.      B.     C.      D.

【答案解析】答案为：C；

解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，

即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A=≥=，又0＜A＜π，

所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.

二 、填空题

13.在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝_____.

【答案解析】答案为：

解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC.

∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.

∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝sin(C＋45°).①

∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，

2sinB＝sin(90°－).∴2sinB＝cos.

∴4sincos＝cos.∴sin＝.∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA=2ctanB，且a=5，

△ABC的面积为2，则b＋c的值为       .

【答案解析】答案为：7.

解析：由正弦定理及btanB＋btanA=2ctanB，得sinB·＋sinB·=2sinC·，

即cosAsinB＋sinAcosB=2sinCcosA，亦即sin(A＋B)=2sinCcosA，故sinC=2sinCcosA.

因为sinC≠0，所以cosA=，所以A=.由面积公式，知S△ABC=bcsinA=2，

所以bc=8.由余弦定理，知a2=b2＋c2－2bccosA=(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c=7.

15.在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5 ，CD=5，BD=2AD，则AD的长为________.

【答案解析】答案为：5.

解析：如图，在△ABC中，BD=2AD，设AD=x(x＞0)，则BD=2x.在△BCD中，

因为CD⊥BC，CD=5，BD=2x，所以cos∠CDB==.在△ACD中，AD=x，CD=5，AC=5 ，

则cos∠ADC==.因为∠CDB＋∠ADC=π，

所以cos∠ADC=－cos∠CDB，即=－，解得x=5，所以AD的长为5.

16.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，a＋c=4，(2－cos A)tan =sin A，则△ABC的面积的最大值为__________.

【答案解析】答案为：

解析：(2－cos A)tan =sin A⇒=tan ===

⇒sin A＋sin Acos B=2sin B－sin Bcos A⇒(sin Acos B＋sin Bcos A)＋sin A=2sin B

⇒sin(A＋B)＋sin A=2sin B⇒sin C＋sin A=2sin B⇒a＋c=2b=4，所以b=2，

所以cos B====，又ac≤=4(a=c时取等号)，

所以S=acsin B=ac=ac·=

=≤×2=.