2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期中数学试卷 题号一二三总分得分     一、选择题（本大题共10小题，共30分）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是A.  B.
C.  D. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，函数，自变量的取值范围是A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到的图象的解析式为A.  B.  C.  D. 已知正比例函数，下列结论正确的是A. 图象是一条射线 B. 图象必经过点
C. 图象经过第一、三象限 D. 随的增大而减小如图所示，甲渔船以海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里如图，在中，，是边的中点，若，则的长是A.
B.
C.
D. 在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，则下列结论中错误的是A.
B.
C.
D.
 下列各命题的逆命题是假命题的是A. 两直线平行，同旁内角互补
B. 若两个数，则这两个数为相反数
C. 对顶角相等
D. 如果，那么如图，平面直角坐标系中有点，直线交轴于点，，直线轴，垂足为，点为直线上一点，如果，则点坐标为A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）如图，点，分别是的边，的中点，，则的长为______．

  已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为______．若与成正比例，且当时，，则与之间的函数关系式为______．如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为______．

  如图，一次函数与图象的交点是，观察图象，直接写出方程组的解为______．


  如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是______．
 三、解答题（本大题共9小题，共72分）计算：．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．
求的长；
求证：是直角三角形．
直线与轴交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
若轴负半轴上存在点，使的面积等于，求点的坐标．

  如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：≌；
四边形是平行四边形．
如图所示，直线和直线相交于点，点的坐标为．
求直线的解析式；
当时，直接写出的取值范围．


  “疫情就是命令、防控就是责任”长沙市岳麓区某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元．
甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？若花费为，请求出的最小值及其应对方案．如图，已知四边形的对角线、交于点，，且．
求证：四边形是菱形；
为上一点，连接，若，，，求的长．
如图，如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、同样由轴对称知识可知．
如图，已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值；
如图，在条件成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标；
如图，函数与为守望函数，点为线段上一点不含端点，连接；一动点从出发，沿线段以单位秒的速度运动到点，再沿线段以单位秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为秒，求这两个守望函数的解析式．
已知正方形内有一动点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，为中点，连接．
如图，点在正方形的对角线上，求证：；
在的条件下连接，如果，，求的长度；
如图，求证：．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、矩形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、菱形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、正方形一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 2.【答案】【解析】解：、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用．理解判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理是解题的关键．
 3.【答案】【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
 4.【答案】【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到的图象的解析式为，
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律解答即可．
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 5.【答案】【解析】解：，
随的增大而减小．
故选：．
由，利用正比例函数的性质可得出随的增大而减小．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 6.【答案】【解析】解：由题意可得：海里，海里，，
故，
海里，
答：甲、乙两渔船相距海里，
故选：．
根据题意得出，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，得出是解题关键．
 7.【答案】【解析】解：在中，，是边的中点，，
则，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 8.【答案】【解析】解：，，，
≌，
故D正确．
≌，
．
，
，故C正确，
，
，

故B正确．
故选：．
正方形的四边相等，四个角都是直角，且，很容易证明≌，从而判断结论的正误．
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】【解析】解：、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；
D、逆命题为如果，那么，是真命题，不符合题意．
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
 10.【答案】【解析】解：点，直线交轴于点，，
，
，
点坐标为，
设点坐标为，
，

解得，
点坐标为，
故选：．
根据题意可求出点坐标，设点坐标为，根据，利用两点间距离公式列出关系式求出的值，即可求出点的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握直角三角形的性质、两点间距离公式是解答此题的关键．
 11.【答案】【解析】解：点，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 12.【答案】【解析】解：菱形，对角线，，
，
故答案为：．
根据，计算即可．
本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键．
 13.【答案】【解析】解：设，
当时，，
，
解得：，
，
故答案为：．
首先设，再代入，可得的值，进而可得函数解析式．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如的形式是正比例函数．
 14.【答案】【解析】解：四边形为长方形，
．
由折叠的特性可知：，．
，，且，
．
，
．
又，
．
，
，
，
故答案为：．
由、均与互余可知；由折叠特性可知可得出；再根据可得出，结合平行线的性质求得的度数．
本题考查了平行线的性质以及折叠问题，解决此类问题时，一定要注意到折叠时不变的量．
 15.【答案】【解析】解：一次函数与图象的交点是，
方程组的解为．
故答案为：．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 16.【答案】【解析】解：在中，


，


，
点表示的实数是．
故答案为：．
求出点到原点的距离即可．
本题考查的实数在数轴上的位置，解题的关键是求得表示数的点，离开原点的距离．
 17.【答案】解：


．【解析】首先计算乘方和开立方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 18.【答案】解：中，，，，
，
．
证明：在中，，，，
，
是直角三角形．【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
在中，根据勾股定理即可求得的长；
利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．
 19.【答案】解：设直线的解析式：，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式：；
，
，
的面积等于，
，
，
点在轴负半轴上，且，
．【解析】待定系数法求解析式即可；
根据的面积可得的长，再根据题意即可求出点坐标．
本题考查了一次函数，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 20.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌；
由得：≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形．【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 21.【答案】解：直线过点，
，
点的坐标为，
直线直线过点，
，
解得，
解析式为；
由可知：
直线和直线的交点坐标为，当时，直线对应的图象在直线对应的图象的上方，
当时，的取值范围是．【解析】根据直线过点，可以得到的值，再根据直线直线过点，即可求得的值，然后即可写出直线的解析式；
根据图象和点的坐标，可以写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 22.【答案】解：设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元．
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，，
该公司共有种购买方案，
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶；
方案：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶．
花费为，
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值元，
的最小值为元，其应对方案为：购买甲品牌消毒液瓶，乙品牌消毒液瓶．【解析】设甲品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，根据“若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲品牌消毒液瓶，则购买乙品牌消毒液瓶，利用总价单价数量，结合“可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，

，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
在和中，根据勾股定理得：，
设，
，，，，
，
解得：，
．【解析】根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明，进而可以解决问题；
根据菱形的对角线互相垂直，设，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 24.【答案】解：设守望函数与的守望点，
，
解得，
守望点的坐标是，的值为；
设，
函数与轴交点为，函数与轴交点，，
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得，
；
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得，
；
若、为对角线，则、中点重合，
，
解得
，
综上所述，的坐标为或或；
过作轴，过作轴，两平行线交于，交直线于，如图：

设守望函数与的守望点，
，
解得，
，
在中，令得，令得，
，，
，
，
轴，
，
，即，
，
，
当在上时，最小，最小值即为，
点在整个运动过程中所用最短时间为秒，
，
，
，
解得，
，
这两个守望函数的解析式为：，．【解析】设守望函数与的守望点，代入两个函数解析式，解方程组即得守望点的坐标是，的值为；
设，函数与轴交点为，函数与轴交点，，分三种情况：若、为对角线，则、中点重合，可得；若、为对角线，则、中点重合，可得；若、为对角线，则、中点重合，可得；
过作轴，过作轴，两平行线交于，交直线于，设守望函数与的守望点，可得，由，即知，从而知，，故当在上时，最小，最小值即为，即得，有，，即可得到答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，平行四边形，“胡不归”问题等，解题的关键是读懂新定义．
 25.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，，
，
，
；
解：过点作于点，

四边形是正方形，
，
，
；
证明：连接、，延长到，使得，连接，

是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
．【解析】根据正方形的性质与等腰直角三角形的性质得到，便可证明；
过作于，解直角三角形求得、，再由勾股定理求得；
连接、，延长到，使得，连接，由三角形的中位线定理得，再证明≌和≌，得，进而得结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形，关键是构造全等三角形．