2021-2022学年湖南省常德市澧县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省常德市澧县七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列方程组，是二元一次方程组的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算等于

A.  B.
C.  D.

4. 下列可以用完全平方公式因式分解的是

A.  B.  C.  D.

5. 我们在解二元一次方程组时，可将第二个方程代入第一个方程消去得从而求解，这种解法体现的数学思想是

A. 转化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想

6. 下列因式分解正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 已知，，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

8. 九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 多项式各项的公因式是______．
10. 比较大小______填“”，“”或“”
11. 计算： ______ ．
12. 因式分解：______．
13. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
14. 已知，，则的值为______．
15. 定义一种新运算“”，规定：，其中，为常数，已知，，则 ______ ．
16. 观察下列因式分解中的规律：
    ；
    ；
    ；
    ；
    利用上述系数特点分解因式______．

三．解答题（本题共7小题，共52分）

17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 已知与都是方程的解．求的值．
19. 因式分解：
    ；
    ．
20. 解方程组：
    ；
    ．
21. 如图，是某单位办公用房的平面结构示意图长度单位：米，图形中的四边形均是长方形或正方形．
    请分别求出会客室和会议厅的占地面积是多少平方米？
    如果，求会议厅比会客室大多少平方米？
    
     

22. 为预防新冠肺炎病毒，市面上等防护型口罩出现热销．已知个型口罩和个型口罩共需元；个型口罩和个型口罩共需元．
    求一个型口罩和一个型口罩的售价各是多少元？
    小红打算用元全部用完购买型，型两种口罩要求两种型号的口罩均购买，正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中型口罩售价上涨，型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
23. 阅读与思考

任务：
请根据以上阅读材料补充完整对因式分解的过程．
已知，，求的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是二元二次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B.是二元一次方程组，故此选项符合题意；
C.有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D.有一个方程的次数是，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出各项符号是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：是相同的项，互为相反项是与，
故结果是．
故选：．
本题是平方差公式的应用，是相同的项，互为相反项是与，故结果是．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
 

4.【答案】

【解析】解：不能用完全平方公式分解因式，故错误；
B.不能用完全平方公式分解因式，故错误；
C.，能用完全平方公式分解因式，故正确；
D.不能用完全平方公式分解因式，故错误．
故选：．
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在解二元一次方程组时，
将第二个方程代入第一个方程消去得，
从而将二元一次方程降次转化为一元一次方程求解，
这种解法体现的数学思想是：转化思想，
故选：．
通过代入消元法消去未知数，将二元一次方程转化为一元一次方程．
本题考查解二元一次方程组，理解消元法加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的方法是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，不是因式分解，故此选项错误；
D、，无法分解因式，故此选项错误；
故选：．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：

，
，
，
原式

．
故选：．
直接利用平方差公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而将已知变形代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：依题意，得．
故选：．
根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据公因式的定义即可得出答案．
本题考查了公因式，掌握多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
又，
．
故答案为：．
利用幂的乘方和积的乘方先计算与，再比较大小得结论．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解决本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的乘法，根据单项式的乘法，可得答案．
本题考查了积的乘方、单项式的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
把看作整体，提公因式即可得出答案．
本题考查了提公因式法，体现了整体思想，掌握公因式可以是单项式，也可以是多项式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
二元一次方程满足的条件：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
本题考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
当，时，


，
故答案为：．
根据完全平方公式可得，然后代入计算即可．
此题考查了完全平方公式变形计算的能力，关键是能将完全平方公式准确变形，并进行正确的计算．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
，
解得：，，
，
故答案为：．
根据题意得出关于、的方程组，求出、的值，再求出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出、的值是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：利用上述系数特点分解因式，
故答案为：．
根据上述因式分解的规律进行分解即可．
本题考查了因式分解十字相乘法，规律型：数字的变化类，理解上述因式分解的规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：

，
当，时，原式

．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：与都是方程的解，
，
解得：，



．

【解析】把与代入方程，求出、的值，再应用代入法，求出的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
．

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
先利用完全平方公式，再运用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的基本方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
得：，
解得．
把代入得：，
解得．
方程组的解是．
方程组整理得：，
得：，
解得．
把代入得：，
解得．
方程组的解是．

【解析】加减消元法消去求出，再将代入方程求出即可．
方程组先整理，再加减消元法消去求出，再将代入方程求出即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．
 

21.【答案】解：会客室：，
会议厅：；
答：会客室的占地面积是平方米，会议厅的占地面积是平方米；
，
由，得，
，
又，
平方米
答：会议厅比会客室大平方米．

【解析】分别根据会客室和会议厅的长与宽，根据长宽面积计算即可；
先计算出会议厅与会客室面积的差，把已知代入可得结论．
此题主要考查组合图形的面积的计算方法，明确包括哪几部分面积是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设一个型口罩和一个型口罩的售价各是元和元，
根据题意，得，
解得，
一个型口罩元，一个型口罩元．
设购买型口罩个，型口罩个，
根据题意，得，
即，
满足条件的，有：，或，，
小红有种购买方案：
第一种方案：型口罩购买个，型口罩购买个；
第二种方案：型口罩购买个，型口罩购买个；

【解析】根据题意，列二元一次方程组即可；
根据题意，可得，将二元一次方程中和分别取正整数值，即可得出购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列二元一次方程组是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：




；
，，
，
，
，




．

【解析】把化为的形式，先提取公因式、平方差公式，再提取公因式分解因式；
把，等式两边平方，求出，再根据的结论求出的值．
本题主要考查了因式分解的应用、因式分解的意义，掌握添加某项，可以达到因式分解的效果是解题关键．