2022届山东省济南市高三下学期5月高考模拟考试（三模）数学试题

这是一份2022届山东省济南市高三下学期5月高考模拟考试（三模）数学试题，共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知圆等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2022届山东省济南市高三下学期5月高考模拟考试（三模）数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．2．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为（       ）A． B． C．1 D．33．已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为(       )A． B． C． D．4．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的(       )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（       ）A．648个 B．720个 C．810个 D．891个6．已知圆：，若圆与轴交于，两点，且，则（       ）A． B．2 C． D．17．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（       ）  图1 图2 A．91 B．169 C．175 D．1808．已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为(       )A．  B． C．  D．评卷人得分  二、多选题9．进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤碳能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（       ） A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨10．将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（       ）A．的最小正周期为B．图像的一个对称中心为C．的单调递减区间为D．的图像与函数的图像重合11．已知函数，．若实数a，b(a，b均大于1)满足，则下列说法正确的是(       )A．函数在R上单调递增B．函数的图象关于中心对称C．D．12．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（       ）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．已知正实数a，b满足，则的最小值为______．14．已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是______．（写出一个符合题意的答案即可）15．2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为______千米．16．在四面体ABCD中，已知，，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为，四面体内切球的球心到点A的距离为，则的值为______．评卷人得分  四、解答题17．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求的值．18．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求证：．19．如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC沿直线EF折起，使得平面平面ABEF．如图2，点M，N分别满足，．(1)求证：平面BMN；(2)求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．20．数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品．(1)若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．(2)抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．21．已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．22．已知函数，其中，．(1)当时，若存在大于零的极值点，求b的取值范围．(2)若存在，（其中，使得曲线在点与点处有相同的切线，求a的取值范围．
参考答案：1．D【解析】【分析】求出集合A和B，根据集合的交集的概念即可计算．【详解】，，所以{0,1}.故选：D.2．B【解析】【分析】由化简复数，即可得共轭复数.【详解】由，则.故选：B3．A【解析】【分析】将两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A．4．C【解析】【分析】根据双曲线标准方程的特征求出a的范围即可判断．【详解】方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件．故选：C．5．D【解析】【分析】5位“回文数”的万位与个位相同，千位与十位相同，所以只需确定前3位即可.【详解】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有种.故选：D.6．B【解析】【分析】根据题意设，，由垂径定理得，，求解即可.【详解】：的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，因为圆与轴交于，两点，且，所以设，，由垂径定理得，，即，解得，所以.故选：B.7．C【解析】【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至累加除以n即可得结果.【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为.故选：C8．C【解析】【分析】化简f(x)解析式，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，在同一个坐标系作出正弦和余弦函数图象，数形结合即可求解．【详解】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的图象：f(x)在上有4个零点，则，故a的最大值为．故选：C．9．ABD【解析】【分析】根据散点图即可判断A；根据决定系数越接近于1，拟合效果越好即可判断B；求出2019年所对应的样本点的残差即可判断C；由回归方程求出当时的估计值即可判断D.【详解】解：由散点图可得二氧化碳排放量y与时间x正相关，故A正确；因为，所以线性回归模型的拟合程度更好，故B正确；当时，，而，故C错误；当时，，即利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨，故D正确.故选：ABD.10．ABC【解析】【分析】先通过三角函数的平移变化得到，然后结合三角函数的图像和性质可以判断A,B,C，进而通过诱导公式可以判断D.【详解】根据题意，，则周期，A正确；对B，令，B正确；对C，令，即函数的减区间为，C正确；对D，因为，D错误.故选：ABC.11．AD【解析】【分析】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；B：f(x)向左平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；C：根据g(x)关于(-1，0)对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．【详解】对于A，，在上恒成立，定义域为，即的定义域关于原点对称，，为奇函数，函数的图象关于点中心对称，，，在上单调递增，函数在上单调递增，函数在上单调递增，故A正确；对于B，，，函数的图象关于点中心对称，故B错误；对于C，函数的图象关于点中心对称，，，，，相当于向左平移1个单位，和单调性相同，函数在上单调递增，，，，故C错误；对于D，令，，令，则在上单调递增，，，在上单调递减，，，，故D正确．故选：AD．12．ACD【解析】【分析】根据题意找出点Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项正误.【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】有一些复杂的概率模型可通过找寻与之间的递推关系，从而求出.13．3【解析】【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立.故答案为：314．（答案不唯一，不小于2的实数均正确）【解析】【分析】点在抛物线的内部或在抛物线上时，过点的直线l与抛物线恒有公共点，由此建立不等式即可.【详解】解：若点在抛物线的内部或在抛物线上，则过点的直线l与抛物线恒有公共点，所以当x=1时，，解得，故答案为：（答案不唯一，不小于2的实数均正确）.15．#【解析】【分析】利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】∵在四边形中，，，，∴,在△中，由余弦定理得,即,，，当且仅当时取等号，，,即，.故答案为：.16．##【解析】【分析】将四面体放在一个长方体中，即可求出外接球半径，再求出的外接圆半径，即可求出，判断出外接球的球心和内切球的球心重合即可求出.【详解】由题意可将四面体放在一个长方体中，如图所示，设长宽高为，则，解得，设外接球的半径为，则，在中，，则，设的外接圆半径为，则，则，所以，可得，设四面体内切球的半径为，因为四面体的各个面都相等，且，则，解得，因为，四面体的各个面都相等，则外接球的球心到各个面的距离相等，所以外接球的球心和内切球的球心重合，所以，所以.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合，可求出．（2）利用余弦定理，结合面积公式，得出．(1)因为，由正弦定理得：，因为，所以，又因为，，所以．(2)由（1）及余弦定理知，整理得：①由面积公式：，整理得：②，②相加得：，所以．18．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等差数列的概念即可判断为等差数列，求出，从而可求；（2）根据通项公式的特征，采用放缩思想和裂项相消法即可证明.(1)因为，所以；又因为，则，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则；(2)因为，所以．得证．19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接AE交BN于点G，连接MG，则由面面垂直的性质可得平面ABEF，由已知可得，则平面ABEF，，，再由线面垂直的判定可得结论，（2）分别以FA，FE，FD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可(1)连接AE交BN于点G，连接MG，设，因为平面平面ABEF，平面平面，平面CDFE，，所以平面ABEF，因为点N是EF的中点，，所以，又因为，所以，所以平面ABEF，因为平面ABEF，所以，又，，所以，因为，NB，平面BMN，所以平面BMN．(2)因为平面平面ABEF，平面平面，，所以平面，因为平面，所以，所以FA，FE，FD两两垂直，所以分别以FA，FE，FD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，所以，，设平面AFM的法向量为，由，令，得，由（1）知平面BMN的法向量为，设平面AFM与平面BMN的夹角为，所以，所以平面AFM与平面BMN夹角的余弦值为．20．(1)分布列见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由题意X的可能值为0，1，2，利用古典概率求法求对应概率值，进而写出分布列；（2）根据题意有，研究不等式左侧的单调性，进而求n的最小值．(1)由题意知，X的取值为0，1，2．，，．所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P (2)记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则，由题意，，所以，即，设，则，所以，则递减，因为，，所以当时，成立，故n的最小值为6．21．(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)根据离心率和椭圆过P即可列出关于a、b、c的方程组，解出a、b即可得椭圆方程；(2)直线PA与PB的倾斜角互补，则PA和PB斜率互为相反数(*).设直线AB为，，，联立AB方程和椭圆方程，结合韦达定理和(*)可得k的值，在根据弦长公式和三角形面积公式表示出△PAB面积，由此即可求其最大值．(1)由题意得：，解得：，，∴．(2)由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为，，，将代入得：，∴，，则===，===，∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴，化简可得：，即，即，∵直线AB不过点P，∴，∴，，则，又点P到直线AB的距离为，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴△PAB面积最大值为．22．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出时的导函数，根据单调性判断函数的极值点，即可求出b的取值范围；（2）利用导数的几何意义求出点与点处的切线方程，根据两者切线相同得出关于，的方程组有解，通过构造函数转化为函数存在零点的问题，即可求解.(1)函数的定义域为，由题意知，当时，，当时，，，则，①若，当时，，单调递增，无极值点；②若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；在上存在唯一的极大值点，则b的取值范围是．(2)由题意，在点处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为，因为两切线相同，所以，即方程组有解，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∵为偶函数，且，，故，令，，则在区间和单调递减，∵的奇函数，∴当时，，又∵，∴，∵，，∴当时，单调递减，，当时，单调递减，．故，所以．